6. Мобильные манипуляторы в жидкости: минимизация работы сил сопротивления

В [15,29,30] представлены модели однозвенного, двухзвенного и многозвенного транспортных манипуляторов (ТМ) для перемещения грузов в жидкости (см. рис. 3). Считается, что ТМ состоят из последовательно соединенных при помощи цилиндрических шарниров осесимметрических звеньев. Шарниры располагаются в центрах масс звеньев, и их оси параллельны друг другу, оси звеньев находятся в одной плоскости, называемой плоскостью ТМ. Однозвенный транспортный манипулятор (ОТМ) статически уравновешен (за счет изменяемой длины его выдвижной части) и его часть - противовес - находится в корпусе носителя. Предполагается, что в шарнирах ТМ действуют создаваемые внутренними усилиями управляющие моменты так, что действующий на $k$-е звено момент ${\bf U}_k$ сопровождается действующим на $k-1$-е звено моментом $-{\bf U}_k$, $k=1,\dots ,n$. Движение носителя ТМ осуществляется при помощи действующей в его плоскости горизонтальной силы ${\bf F}$. Рассматриваемая механическая система находится в жидкости. Поэтому помимо управляющих воздействий и сил тяжести $m_k{\bf g}$ ($m_k$ - масса $k$-го звена) на звенья действуют также силы Архимеда и гидродинамические силы. Последние могут быть приведены к силам ${\bf D}_k+{\bf D}^l_k$, приложенным к центрам масс звеньев, и моментам ${\bf M}_k$. При этом силы лобового сопротивления ${\bf D}_k$ и подъемные силы ${\bf D}^l_k$ действуют в плоскости ТМ, а моменты ${\bf M}_k$ ей перпендикулярны. Эти моменты обусловлены несовпадением в общем случае центров давления гидродинамических сил с центрами масс звеньев. На основе описанной физической модели ТМ можно рассматривать эквивалентные плоские механические системы точечных масс, последовательно соединенных бесконечно тонкими абсолютно жесткими стержнями. Перечисленные выше силы приложены к этим точечным массам. Дифференциальные уравнения движения ТМ получены в форме уравнений Лагранжа 2-го рода для эквивалентных систем точечных масс (см. раздел 7). Литература по робототехнике содержит достаточно полное описание приводов различного типа, создающих угловые управляющие моменты. В работе рассмотрены два типа приводов. Первый из них реализует угловой момент ${\bf U}_k$, имеющий природу момента, создаваемого парой сил. Этому, например, соответствует случай, когда момент ${\bf U}_k$ создается электродвигателем со статором на одном звене и ротором, жестко связанным с соседним звеном. Во втором случае угловой момент ${\bf U}_k$ создается посредством выходного штока переменной длины с фиксированным шарнирным закреплением на предыдущем звене. Для ОТМ установлено, что форма обобщенной силы $Q_\varphi$ ($\varphi$ - угловая координата манипулятора) является инвариантной по отношению к способу реализации углового момента манипулятора.

Рис. 3. Многозвенный транспортный манипулятор.

Таким образом, в [29] указаны формулы для составляющих обобщенных сил, соответствующих действующим на звенья ТМ силам лобового сопротивления и подъемным силам. Установлена инвариантность формы обобщенных сил, соответствующих обобщенным угловым координатам, по отношению к способам реализации приложенных к звеньям ТМ управляющих моментов.

Во введении были перечислены три особенности рассматриваемых задач энергетической оптимизации. Третья из них состоит в проблеме подсчета энергетических затрат. Формально для ее решения надо определить корректный с точки зрения теории обобщенных функций способ умножения разрывных обобщенных скоростей на импульсные управляющие воздействия (см. раздел 7). Однако в [29] выбран другой подход. Именно с использованием схем, описанных в [10,13], исходные задачи редуцируются к вспомогательным классическим задачам динамической оптимизации. Такой подход соответствует строгой математической формализации указанных нелинейных операций над обобщенными функциями (см. раздел 7). Редукция опирается на то, что движение ТМ происходит в потенциальном поле силы тяжести, и при этом часть работы расходуется на изменение кинетической энергии ТМ. Поскольку граничные условия заданы, варьируемая часть работы - это энергетические затраты на преодоление сил сопротивления. Вычисление мощности, соответствующей этим затратам, приводит к вспомогательной задаче минимизации таких затрат при ограничениях в виде кинематических связей ТМ и уравнения для энергетических затрат на преодоление сил сопротивления. Так построенная вспомогательная задача по форме принадлежит к числу задач классического вариационного исчисления. Так оно и есть в тех случаях, когда ТМ состоит из тел с гладкой поверхностью. Если в состав ТМ входят тела с кусочно-гладкой поверхностью (например, цилиндрические тела), то в пространстве обобщенных координат и скоростей исходной задачи появляются многообразия, на которых проекция этих тел на плоскость, перпендикулярную вектору скорости их центра масс, а следовательно, и гамильтониан теряют свойство дифференцируемости.

Общий итог проведенных исследований можно сформулировать так. На оптимальном перемещении ТМ мощность сохраняет постоянное значение. Если в точках оптимальной фазовой траектории мощность дифференцируема по обобщенным скоростям звеньев ТМ, то ее частная производная по скорости носителя остается постоянной.

Более подробно, вводятся следующие обобщенные координаты многозвенного транспортного манипулятора (МТМ): $q_0=x_0$ - смещение носителя по горизонтали, $q_k=\varphi_k$, $k=1,\dots ,n$ - угол между вертикалью и $k-$ым звеном. Тогда выражение для мощности гидродинамических сил имеет вид

$$\dot Y=\sigma^\top (C(q,\sigma)D+\hat M)\,,\quad Y(\tau)=Y_\tau\,.$$ (6.1)

Здесь $D=(D_0,D_1,\dots ,D_n)^\top$, $D_0$, $D_1,\dots$, $D_n$ - величины сил лобового сопротивления, приложенных к центрам инерции звеньев $O_0$, $O_1,\dots$, $O_n$ соответственно, $\hat M=(0,M_1,\dots ,M_n)^\top$, $M_k$ - момент действующих на $k-$е звено гидродинамических сил, $k=1,\dots ,n$, $C(q,\sigma)$ - $(n+1)\times (n+1)$-матрица (см. раздел 7),

$$\dot q=\sigma\,,\quad q(\tau)=q_{\tau}\,.$$ (6.2)

Задача 6.1. Решить задачу минимизации $Y(t_p)$ при динамических связях (7.1), (7.2) и краевых условиях $q(t_p)=q_p$.

Пусть звенья МТМ имеют гладкую поверхность.

Задача 6.2. Найти начальные скорости

$$\sigma_i(\tau+0)=\sigma_i^0(q_\tau ,\tau )\,,\quad i=0,\dots ,n$$

реализующие для системы

$$\dot q=\sigma\,,\quad \frac{\displaystyle d}{\displaystyle... ...= \frac{\displaystyle\partial\dot Y}{\displaystyle\partial q}$$ (6.3)

граничные условия $q(t_p)=q_p$.

Стандартная процедура Эйлера-Лагранжа приводит к утверждению.

Теорема 6.1. Пусть выполнены ограничения L1-L3 и гипотеза 1.
Тогда

-

задача 6.1 и граничная задача 6.2 равносильны;

-

на промежутке $(\tau ,t_p)$ оптимальная фазовая траектория МТМ
принадлежит многообразию, описываемому уравнением

$$\sigma=\sigma^0(q,t)\,,\quad \sigma^0=(\sigma^0_0,\dots ,\sigma^0_n)^{\top}\,;$$ (6.4)

-

на многообразии (7.4) выполняются соотношения $\frac{\displaystyle\partial\dot Y}{\displaystyle\partial v}=\mathop{\rm const}\nolimits ,$ $\dot Y-\frac{\displaystyle\partial\dot Y}{\displaystyle\partial\sigma}\sigma=\mathop{\rm const}\nolimits .$

Замечание. Многообразия типа (7.4) согласно принятой терминологии называют сингулярными [8,9].

В предположении гипотезы 2 согласно теореме Эйлера об однородных функциях третье утверждение теоремы 6.1 имеет вид

$$\dot Y=\mathop{\rm const}\nolimits \,,\quad \frac{\displaysty... ...ot Y}{\displaystyle\partial v}=\mathop{\rm const}\nolimits \;.$$

Итак, установлено, что программы оптимальных переходов имеют
двухимпульсную структуру. Цель начального импульсного воздействия - сбросить фазовое изображение МТМ на особое многообразие, вдоль которого движение происходит до тех пор, пока не будет достигнуто состояние, из которого конечный импульс переводит МТМ в заданное положение. В результате исходная задача сведена к граничной задаче. Такая задача решается численно обычно так называемым методом стрельбы [14].

В условиях неопределенных флуктуаций жидкости управляющие воздействия входят в уравнения движения МТМ с аддитивными помехами. Возникает задача о построении позиционного алгоритма управления МТМ, который обладал бы свойством: в случае исчезновения возмущений алгоритм обеспечивает оптимальное по отношению к сложившейся позиции завершение процесса управления. В качестве такого алгоритма в работе используется позиционная процедура импульсной коррекции, в результате которой осуществляется сброс фазового изображения МТМ на особую поверхность (7.4). С уменьшением времени между последовательными коррекциями фазовая точка все чаще начинает попадать на многообразие (7.4). В результате в процесс управляемого движения МТМ вносится эффект типа скольжения вдоль особой поверхности. Один из естественно возникающих здесь вопросов следующий: будет ли с увеличением частоты коррекции фазовая траектория МТМ стремиться к траектории, соответствующей [17] так называемому идеальному скольжению? Такое скольжение описывается исходной возмущенной системой с управлением, превращающим многообразие (7.4) в интегральное. Так как эта система совпадает с системой оптимальных движений (7.2), (7.3), то положительный ответ на поставленный вопрос позволил бы сделать вывод о том, что процедура импульсной коррекции с неограниченно возрастающей частотой обеспечивает оптимальное поведение МТМ при любых возмущениях $\delta U_i(t)$ $(i=1,\dots ,n)$, $\delta F(t)$, $0<t<t_p$, и, в частности, она решает задачу синтеза. Так оно и есть, поскольку уравнения движения МТМ и особая поверхность (7.4) удовлетворяют условиям теоремы 2.2 [17].

Ниже граничная задача, к которой сведено решение исходной задачи энергетической оптимизации, описана более подробно для мобильных двухзвенных манипуляторов [30]. Рассмотрение ведется в рамках подхода Стокса.

В этом случае силы сопротивления жидкости звеньев прямо пропорциональны скоростям перемещения их центров инерции, т.е. существуют $a_0, a_1, a_2$ такие, что ${\bf D}_i=-a_i{\bf V}_i$, $i=0,1,2$. Отсюда выражение для мощности сил лобового сопротивления (7.1) будет иметь вид

$$\begin{array}{l} \dot Y=(a_0+a_1+a_2)v^2+ (a_1+a_2)(l_1^2\om... ...l_1l_2\omega_1\omega_2\cos\psi +l_2^2\omega_2^2)\,. \end{array}$$ (6.5)

С учетом этого для интеграла $\partial\dot Y/\partial v=C_1$ получается формула

$$2(a_0+a_1+a_2)v-2(a_1+a_2)l_1\cos\varphi\omega_1- 2a_2l_2\cos\vartheta\omega_2=C_1\,.$$ (6.6)

Интегрирование (7.6) по промежутку $(\tau, t)$, приводит к соотношению

$$\begin{array}{l} (a_0+a_1+a_2)(x-x_{\tau})-(a_1+a_2)l_1(\sin... ...eta-\sin\vartheta_{\tau})={1\over 2} C_1(t-\tau)\,. \end{array}$$ (6.7)

Подстановка в (7.7) $t=t_p$ и граничных значений дает константу $C_1$, соответствующую оптимальной траектории:

$$\begin{array}{l} C_{1\tau}^0=C_1^0(x_{\tau},\varphi_{\tau},\... ...2l_2(\sin\vartheta_p-\sin\vartheta_{\tau})\bigr)\,. \end{array}$$ (6.8)

В результате получено точное выражение смещения носителя двухзвенного ТМ в функции текущего времени и угловых координат его звеньев, задаваемое формулами (7.7), (7.8).

Формула (7.8) позволяет при помощи (7.6) вывести выражение для скорости носителя:

$$\begin{array}{l} v=\bigl((a_1+a_2)l_1\cos\varphi\omega_1+a_2... ...varphi,\vartheta,\omega_1, \omega_2,C_{1\tau}^0)\,. \end{array}$$ (6.9)

Соотношение (7.9) дает возможность исключить из (7.5) линейную скорость носителя ТМ и записать интеграл $\dot Y=C_2$ в виде

$$\alpha\omega_1^2+2\beta\omega_1+\gamma=0\,,$$ (6.10)

где

$$\begin{array}{l} \alpha=(a_1+a_2)(a_0+a_1+a_2)l_1^2-(a_1+a_2... ...\\ \quad \mbox{}+(a_0+a_1+a_2)a_2l_2^2\omega_2^2\,. \end{array}$$ (6.11)

Из (7.10) и (7.11) можно получить выражение для $\omega_1$ вида

$$\omega_1=f_{1}(\varphi,\vartheta,\omega_2,C_{1\tau}^0,C_2)$$

.

Подстановка выражения (7.5) во второе из уравнений (7.3) приводит к линейной по ускорениям системе

$$A(q)\ddot q +\sum_{k=1}^{3}\dot q_k\Bigl(\frac{\displaystyle... ...tial A_k}{\displaystyle\partial q}\Bigr)^\top\Bigr)\dot q=0\,,$$ (6.12)

где $A_k$ - $k$-й столбец симметричной матрицы $A=(a_{ij})$ c элементами

$$\begin{array}{lll} a_{00}=a_0+a_1+a_2\,,& a_{01}=-(a_1+a_2)l... ...,,& a_{12}=a_2l_1l_2\cos\psi\,,& a_{22}=a_2l_2^2\,. \end{array}$$

Из (7.12) можно получить выражение $\omega_2=f_2(\varphi,\vartheta,\omega_1,\omega_2)$.

Таким образом, получена следующая система оптимальных движений

$$\begin{array}{l} \dot\varphi=f_{1}(\varphi,\vartheta,\omega_... ...ega_2=f_{2}(\varphi,\vartheta,\omega_1,\omega_2)\,. \end{array}$$

Для решения задачи 6.2 необходимо выбрать начальные значения скоростей $\omega_{1\tau},\omega_{2\tau}$ и константу $C_2$ так, чтобы фазовое изображение ТМ оказалось в последний момент $t_p$ в заданном состоянии.

Задача об оптимальном перемещении однозвенного транспортного [15] манипулятора формулируется и исследуется аналогично. Поэтому можно ограничиться указанием лишь дополнительных фактов, обусловленных небольшой размерностью фазового пространства, равной четырем, и тому, что рассмотрение ведется для случая малых чисел Рейнольдса, т.е. в приближении Стокса. Система дифференциальных уравнений, описывающая оптимальное движение ОТМ в промежуточные моменты процесса управления, допускает три интеграла. Эти интегралы позволяют вычислить начальные условия и выписать непрерывные составляющие оптимальных управлений в функции текущего значения угла поворота манипулятора $\varphi(t)$. Сама же программа оптимального изменения угла $\varphi(t)$ - решение задачи Коши

$$\dot\varphi=\omega^0\,\left({R(\varphi)\over R(\varphi_\tau)}\right)^{1/2},\quad \varphi(\tau)=\varphi_\tau\,,$$

где $R=c^2(1+c^2\sin^2\varphi)^{-1}$, $c$ - константа, зависящая только от геометрических характеристик ОТМ. Для ее решения можно воспользоваться таблицами для эллиптических интегралов. Особая поверхность задается уравнениями

$$\begin{array}{l} \displaystyle (t_p-t)\dot\varphi -(R(\varph... ...ver n_{11}}(\sin\varphi_p\!-\!\sin\varphi)\!=\!0\,, \end{array}$$

где приняты обозначения: $n_{11}\!=\!b(an_{22})^{-1}n_{12}^2$, $n_{12}\!=\!al/\cos\beta$, $n_{22}\!=\!al^2$.