7. Вопросы обоснования: уравнения движения многозвенного транспортного манипулятора и представление энергии в случае импульсных ускорений

Для составления уравнений Лагранжа второго рода, описывающих движение МТМ, необходимо вычислить кинетическую энергию МТМ. Она складывается из кинетической энергии носителя и кинетической энергии звеньев. По формуле Кенига кинетическая энергия $k$-го звена, $k=1,\dots ,n$, равна величине

$$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\,m_k V_k^2+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\,J_{ck}\omega_k^2\,,$$

где $J_{ck}$ - момент инерции $k$-го звена. Отсюда кинетическая энергия МТМ может быть представлена в виде $2K=\dot q^\top A(q)\dot q$. Здесь $q=(q_0,q_1,\dots ,q_n)^\top$, $A(q)=(a_{ij})$ - симметричная $(n+1)\times (n+1)$-матрица с элементами

$$\begin{array}{l} \displaystyle a_{00}=\sum\limits_{k=0}^{n}... ...,\quad (\,1\leqslant i\leqslant j\leqslant n\,)\,, \end{array}$$

где $\delta_{ij}$ - символ Кронекера.

Далее приступим к вычислению обобщенных сил. Понадобятся обозначения: ${\bf V}_k$ - вектор скорости центра масс $k$-го звена МТМ, $V_k$ - величина этой скорости. Согласно лемме 1.1 справедливы формулы

$${\bf D}_k=-D_k\,\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle V_k}\,{\... ...l\,\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle V_k}\,{\bf V}_k^\bot\,,$$

$$s_k=(({\bf V},{\bf e}_k)({\bf V},{\bf e}_k^\bot)),$$

где ${\bf e}_k=-\sin\varphi_k\,{\bf i}+\cos\varphi_k\,{\bf j}$ - направляющий вектор оси $k$-го звена.

Пусть $Q_q=(Q_{x_0}, Q_{\varphi_1^{}},\dots ,Q_{\varphi_n})^\top$ - матрица-столбец обобщенных сил, соответствующих обобщенным координатам $x_0$, $\varphi_1^{},\dots$, $\varphi_n$. Используя выписанные выше формулы для составляющих гидродинамических сил, можно получить выражение:

$$Q_q=B(q)P-C(q,\dot q)D+E(q,\dot q)D^l+M+NU\,.$$

Здесь приняты обозначения: $P=(k_0 m_0 , k_1 m_1,\dots , k_n m_n)^\top g$, где $k_i$ - поправочные коэффициенты, учитывающие силы Архимеда,

$$\begin{array}{l} D=(D_0,D_1,\dots ,D_n)^\top\;,\quad D^l=(D_... ...ots ,M_n)^\top\;,\quad U=(F,U_1,\dots ,U_n)^\top\;. \end{array}$$

Матрицы, фигурирующие в формуле для матрицы-столбца обобщенных сил, определяются следующим образом: $B(q)=(b_{ij})$ - $(n+1)\times (n+1)$-матрица с элементами

$$\begin{array}{l} b_{0j}=0\,,\quad(\,0\leqslant j\leqslant n... ...i_i\quad(\,1\leqslant i\leqslant j\leqslant n\,)\,, \end{array}$$

$C(q,\dot q)=(c_{ij})$ - $(n+1)\times (n+1)$-матрица с элементами

$$\begin{array}{l} \displaystyle c_{00}=\mathop{\rm sgn}\nolim... ...,\quad (\,1\leqslant i\leqslant j\leqslant n\,)\,, \end{array}$$

$E(q,\dot q)=(e_{ij})$ - $(n+1)\times (n+1)$-матрица с элементами

$$\begin{array}{l} \displaystyle e_{00}=0\,,\quad e_{0j}=\frac... ...,\quad (\,1\leqslant i\leqslant j\leqslant n\,)\,, \end{array}$$

$N=(\nu_{ij})$ - треугольная $(n+1)\times (n+1)$-матрица с элементами

$$\begin{array}{l} \nu_{ii}=1\,,\quad (\,1\leqslant i\leqslant... ...nt j\leqslant n\,,\,0\leqslant i\leqslant n-2\,)\,. \end{array}$$

Приведенной информации достаточно, чтобы получить уравнения движения МТМ в виде

$$A(q)D_t^2 q+\sum\limits_{j=0}^{n}\dot q_j \Bigl(\frac{\displ... ...artial A_j}{\displaystyle\partial q}\Bigr)^\top\Bigr)\,\dot q=$$

$$=B(q)P-C(q,\dot q)D+E(q,\dot q)D^l+M+NU\,, \eqno{(7.1)}$$

где $A_j$ - $j$-й столбец матрицы $A(q)$, $\partial A_j/\partial q$ - матрица производной Фреше, т.е. матрица, $i$-я строка которой имеет вид $\partial a_{ij}/\partial x$, $\partial a_{ij}/\partial\varphi_1^{},$ $\dots,$ $\partial a_{ij}/\partial\varphi_n$, ( $0\leqslant i,j\leqslant n$), $D_t$ - операция дифференцирования в смысле теории обобщенных функций. Использование этой операции отражает ожидание в составе оптимального управления импульсных составляющих.

Выражение для мощности управляющих сил и моментов имеет вид

$$\dot W = \dot q^\top\,NU\,. \eqno{(7.2)}$$

Затруднение, связанное с перемножением в (7.2) импульсных воздействий на одновременно претерпевающие скачки обобщенные скорости было преодолено в рамках физического анализа совершаемой работы. Однако существует и возможность придания выражению (7.2) строгого смысла.

Теорема 7.1. Работа действующих на МТМ управлений допускает представление

$$W=K+\Pi+Y+\mathop{\rm const}\nolimits \;,\quad \dot Y=\dot q^\top (CD+\hat M)\;, \eqno{(7.3)}$$

где $\Pi$ - потенциальная энергия МТМ, равная величине

$$\Pi=\sum\limits_{i=1}^{n}\Bigl( \sum\limits_{j=1}^{n}k_j m_j g\Bigr)l_i \cos\varphi_i\,.$$

Действительно, чтобы обосновать данное утверждение следует разрешить уравнения Лагранжа (7.1) относительно управляющих воздействий и подставить результат в (7.2). Затем в полученном соотношении

$$D_t W=\Bigl(D_t\bigl(\frac{\displaystyle\partial K} {\display... ...bigl(C(q,\dot q)D+\hat M-E(q,\dot q)D^l-B(q)P\bigr)^\top\dot q$$

надо по определению положить

$$\frac{\displaystyle\partial K}{\displaystyle\partial\dot q}D... ...splaystyle\partial K}{\displaystyle\partial\dot q}\dot q\Bigr)$$

что соответствует подходу [13] к проблеме умножения обобщенных функций. Наконец, применяя теорему Эйлера об однородных функциях, имеем $\partial K / \partial \dot q\,\dot q = 2K$. Последнее позволяет записать выражение для работы в виде $W=K+\Pi-\Pi(0-0)+Y+\mathop{\rm const}\nolimits$ $(Y$ - решение системы (7.3)), если учесть тождество $(v,\omega_1,\dots ,\omega_n)\,E(q,\dot q)=0$. Надо отметить, что выписанные формулы умножения в случае обычных управляющих воздействий имеют классический смысл.

В заключение обсудим технический смысл исследованных выше задач динамической оптимизации. Участок фазовой траектории тела, на котором мощность каждого из управляющих воздействий неотрицательна, естественно назвать разгонным. Задачи, рассмотренные в этой работе, с содержательной точки зрения состоят в минимизации разности энергетических в техническом смысле затрат на разгон и торможение при заданных расстоянии и времени перемещения. Отсюда если интервал $[0,t_p]$ процесса оптимального управления является разгонным, то можно говорить о решении задачи заданного перемещения тела с минимальными энергетическими в техническом смысле затратами. Очевидно, гипотеза 1 о квазистационарности оптимального обтекания гарантирует этот факт.

Поступила 15.11.99