4. Общая схема адаптивного минимаксного управления для процесса преследования-уклонения

Зафиксируем промежуток времени $\overline{\tau,\vartheta}\subseteq\overline{0,\rm T}~ (\tau<\vartheta)$. Для фиксированных фазовых векторов $y(t-1)\in {\bf R}^{r}, t\in \overline{1,\rm T}$ и $y_{*}(t)\in {\bf R}^{r}, t\in \overline{0,\rm T}$ объекта $I$, набора $(t-1,$ $Z(t-1))\in \overline{\tau,\vartheta-1} \times{\bf 2}^{{\bf R}^s}$ и сигнала $\omega_{*}(t)\in {\bf R}^m, t\in \overline{0,\rm T}$, определим в силу (2.1)-(2.6) множества

$${\bf Y}(t-1,y(t-1),t) = \{y(t) :~y(t)\in {\bf R}^{r},$$

$$y(t)=A(t-1)y(t-1)+B(t-1)u(t-1),~ u(t-1)\in {\rm U}_1\},$$ (4.1)

$${\bf Z}(t-1,Z(t-1),t) = \{z(t) :~z(t)\in {\bf R}^{s},$$

$$z(t)=C(t-1)z(t-1)+D(t-1)v(t-1),$$

$$z(t-1)\in Z(t-1),~v(t-1)\in {\rm V}_1\},$$ (4.2)

$${\bf H}(y_{*}(t),{\omega}_{*}(t)) = \{z(t) :~z(t)\in {\bf R}^s,$$

$$(z(t)\in Z^*) \wedge ({\omega}_{*}(t) = E(y_{*}(t))z(t)+ F(t){\xi}(t)),~{\xi}(t)\in {\rm\Xi}_1\}.$$ (4.3)

Для фиксированных $\tau$-позиции $w(\tau)=\{\tau,y(\tau), Z(\tau)\}\in {\hat W}(\tau)~(w(0)=w_0),$ реализаций управления $u(\cdot)=\{u(t)\}_{t\in\overline{\tau,\vartheta-1}}\in U(\overline{\tau,\vartheta}),$ и сигнала ${\omega}(\cdot)= \{{\omega}(t)\}_{t\in\overline{\tau+1,\vartheta}}\in {\hat\Omega}(\overline{\tau,\vartheta})~({\omega}(\tau)=\omega_\tau),$ сконструируем в силу (2.1), (4.2) и (4.3) $\vartheta$-позицию ${\tilde w}^{(e)}(\vartheta)= \{\vartheta,{\tilde y}^{(e)}(\vartheta),{\tilde Z}^{(e)}(\vartheta)\}\in {\hat W}(\vartheta)$ преследователя $P,$ используя рекуррентные формулы

$${\tilde y}^{(e)}(t)=A(t-1){\tilde y}^{(e)}(t-1)+B(t-1)u(t-1),~\ \ t\in\overline{\tau+1,\vartheta}$$

$$(t=\tau=0 :~{\tilde y}^{(e)}(0)=y_0,~ t=\tau>0 :~{\tilde y}^{(e)}(\tau)=y(\tau)),$$ (4.4)

$${\tilde Z}^{(e)}(t) = \{z(t) :~z(t)\in\ {\bf R}^{s},$$

$$(t=\tau=0 :~{\tilde Z}^*_0=\{Z_0~\bigcap~Z^*~\bigcap~ {\bf H}(y_0,\omega_0)\})~\vee$$

$$\vee~(t=\tau>0 :~Z(\tau)~\bigcap~Z^*~\bigcap~ {\bf H}(y(\tau),{\omega}(\tau)))~\vee$$

$$\vee~(t\in \overline{\tau+1,\vartheta} :~ {\bf Z}(t-1,{\tild... ...cap~Z^*~\bigcap~ {\bf H} ({\tilde y}^{(e)}(t),{\omega}(t)))\}.$$ (4.5)

Аналогично определению из [4], назовем систему одношаговых соотношений (4.2)-(4.5) информационно-сопряженной для дискретной динамической системы (2.1)-(2.6). Принимая во внимание (3.1)-(3.10), (4.2)-(4.5) и условия, которые оговорены для системы (2.1)-(2.6), можно доказать [5], что справедливо следующее утверждение.

Теорема 1   Для любой возможной в силу $(\ref{eq1})$-$(\ref{eq6})$ реализации набора $(w(\tau),u(\cdot),{\omega}(\cdot))\in {\hat W}(\tau)\times U(\overline{\tau,\vartheta})\times \hat{\Omega}(\overline{\tau,\vartheta})$ $(w(\tau)=\{\tau,y(\tau),Z(\tau)\}\in {\hat W}(\tau),~w(0)=w^*_0=\{0,y_0,Z^*_0\}),$ соответствующего промежутку времени $\overline{\tau,\vartheta}\subseteq \overline{0,{\rm T}}~(\tau<\vartheta)$, многошаговое отображение ${\bf F}_{\overline{\tau,\vartheta}}$ конструируется с помощью информационно-сопряженной системы рекуррентных соотношений $(\ref{eq22})$-$(\ref{eq25})$ как реализация последовательности только одношаговых операций, а именно

$$w^{(e)}(\vartheta) = {\bf F}_{\overline{\tau,\vartheta}} (w(\tau),u(\cdot),{\omega}(\cdot)) = {\tilde w}^{(e)}(\vartheta),$$

где ${\tilde w}^{(e)}(\vartheta)= \{\vartheta,{\tilde y}^{(e)}(\vartheta),{\tilde Z}^{(e)}(\vartheta)\}\in {\hat W}(\vartheta)$ и ${\tilde Z}^{(e)}(0)={\tilde Z}^*_0=Z^*_0\neq \emptyset.$ Здесь информационное множество $Z^{(e)}_{\vartheta}(\overline{\tau,\vartheta}, w(\tau),u(\cdot),{\omega}(\cdot))={\tilde Z}^{(e)}(\vartheta)$ непусто и является выпуклым компактным подмножеством пространства ${\bf R}^s$.

Отметим, что теорема 1 дает возможность разрабатывать конструктивные численные алгоритмы, реализующие отображение ${\bf F}_{\overline{\tau,\vartheta}}$ на промежутке времени $\overline{\tau,\vartheta}\subseteq\overline{0,\rm T}~ (\tau<\vartheta)$ в форме последовательности только одношаговых операций, т.е. решающих многошаговую задачу 1. В результате этого имеется описание $\vartheta$-позиции $w(\vartheta)=w^{(e)}(\vartheta)= {\tilde w}^{(e)}(\vartheta)= \{\vartheta,{\tilde y}^{(e)}(\vartheta),{\tilde Z}^{(e)}(\vartheta)\in {\hat W}(\vartheta)$ преследователя $P$, которая формирует состояние процесса преследования-уклонения в системе (2.1)-(2.6), не противоречащее информации, доступной к моменту времени $\vartheta$, и является основным элементом реализации процесса апостериорной минимаксной фильтрации на промежутке времени $\overline{\tau,\vartheta}$ (см. [4,5]), генерируемым на выходе фильтра.

Зафиксируем промежуток времени $\overline{\tau,\vartheta}\subseteq\overline{0,\rm T}~ (\tau<\vartheta)$ и набор $(t-1,Z(t-1))\in \overline{\tau,\vartheta-1} \times{\bf 2}^{{\bf R}^s}$, где $Z(t-1)$ есть выпуклый, замкнутый и ограниченный многогранник (с конечным числом вершин) пространства ${\bf R}^s$. Пусть множество $Z(t)={\bf Z}(t-1,Z(t-1),t)$ соответствует (4.2). Тогда из определения (4.2) и сделанных выше предположений следует, что для всех $t\in\overline{\tau+1,\vartheta}$ множество $Z(t)$ есть выпуклый, замкнутый и ограниченный многогранник (с конечным числом вершин) пространства ${\bf R}^s$. Известно также (см., например, [9]), что точка $z$ выпуклого, замкнутого и ограниченного многогранника $Z(t)$ представима в виде

$$z=\sum\limits^{s_{t}}_{i=1}a_{i}z^{(i)}_*,~\ \ \sum\limits^{s_{t}}_{i=1}a_{i}=1,~\ a_{i}\ge 0,~\ i\in \overline{1,s_t},$$

где $\{z^{(i)}_*\}_{ i\in\overline{1,s_t}}$ есть множество всех вершин многогранника $Z(t)$ и $s_{t}$ есть число его вершин. Тогда если известны вершины многогранника $Z(t)$, то это множество сконструировано.

Предположим, что множество $Z(t-1)$ уже сконструировано. Тогда легко доказать следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 2   Пусть для $t\in\overline{\tau+1,\vartheta}$

$${\bar Z}_{s}(t)=\{{\bar z}(t) :\ {\bar z}(t)\in {\bf R}^s,~ {\bar z}(t)=C(t-1)z(t-1),~ z(t-1)\in Z(t-1)\};$$

$${\hat Z}_{s}(t)=\{{\hat z}(t) :\ {\hat z}(t)\in {\bf R}^s,~ {\hat z}(t)=C(t-1)z(t-1), z(t-1)\in {\bf\Gamma}_{s}(Z(t-1))\}.$$

Тогда ${\bf\Gamma}_{s}({\bar Z}_{s}(t)) = {\bf\Gamma}_s({\rm co}_{s}{\hat Z}_{s}(t))$ (здесь и ниже ${\bf\Gamma}_{n}(M)$ есть множество всех вершин многогранника $M\subset {\bf R}^{n}, n\in {\bf N}$, и ${\rm co}_{n}M$ есть выпуклая оболочка этого множества).

Сформулируем подобное утверждение для управляющей части уравнения (2.2).

Лемма 3   Пусть для $t\in\overline{\tau+1,\vartheta}$

$${\bar X}_{s}(t)=\{{\bar x}(t) :\ {\bar x}(t)\in {\bf R}^s,~ {\bar x}(t)=D(t-1)v(t-1),~v(t-1)\in {\rm V}_{1}\};$$

$${\hat X}_{s}(t)=\{{\hat x}(t) :~{\hat x}(t)\in {\bf R}^s,~ {... ... x}(t)=D(t-1)v(t-1),~v(t-1)\in {\bf\Gamma}_{q}({\rm V}_{1})\}.$$

Тогда ${\bf\Gamma}_{s}({\bar X}_{s}(t)) = {\bf\Gamma}_{s}({\rm co}_s{\hat X}_{s}(t))$.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2   Пусть $Z(t)={\bf Z}(t-1,Z(t-1),t),~t\in \overline{\tau+1,\vartheta}$ и пусть множество ${\tilde Z}(t)$ определено в виде

$${\tilde Z}(t) = \{{\tilde z}(t) :\ {\tilde z}(t)\in {\bf R}^... ...at z}(t)\in {\hat Z}_{s}(t),~{\hat x}(t)\in {\hat X}_{s}(t)\}.$$

Тогда имеет место следующее равенство:

$$Z(t) = {\rm co}_{s}{\tilde Z}(t).$$

Доказательство этой теоремы дано в [5].

Для фиксированного вектора $y(t)\in {\bf R}^{r}$, матрица $E(y(t))$, фигурирующая в (2.5), по предположению имеет ранг $m~(m\le s)$. Пусть $m<s$ и ${\bar E}(y(t))$ есть матрица размера $m\times m,$ соответствующая базисному минору матрицы $E(y(t))$. Без уменьшения общности, предположим, что минор, соответствующий матрице ${\bar E}(y(t)),$ находится в верхнем левом углу матрицы $E(y(t))$, т.е. первые $m$ координат $(z_{1}(t),z_{2}(t),\cdots,z_{m}(t))$ вектора $z(t)=(z_{1}(t),z_{2}(t),\cdots,z_{m}(t),z_{m+1}(t),\cdots, z_s(t))^\prime\in {\bf R}^s$ - базисные переменные векторного уравнения (2.5). Тогда для фиксированных векторов $y(t)\in {\bf R}^{r}$ и ${\omega}(t)\in {\bf R}^{m}, t\in \overline{\tau+1,\vartheta},$ которые допустимы в силу (2.1)-(2.6), соотношение (2.5) представимо в виде

$${\omega}(t) = \{(m<s :~ {\bar E}(y(t)){\bar z}(t)+E^*(y(t))z^*(t)+F(t){\xi}(t))~\vee$$

$$\vee~(m=s : E(y(t))z(t)+F(t){\xi}(t))\},$$ (4.6)

где $E^*(y(t))$ есть матрица размера $m\times (s-m)$ такая, что $E(y(t))=({\bar E}(y(t)),$
$E^*(y(t)))$, т.е. матрица $E^*(y(t))$ присоединенная к матрице ${\bar E}(y(t))$ совпадает с $E(y(t))$; кроме того, ${\bar z}(t)=(z_{1}(t),z_{2}(t),\cdots, z_{m}(t))^\prime \in {\bf R}^{m}$ и $z^*(t)=(z_{m+1}(t),z_{m+2}(t),\cdots,z_s(t))^\prime\in {\bf R}^{s-m}$. Здесь $z^*(t)\in Z^*_{s-m}\subset{\bf R}^{s-m} (m<s)$, где многогранник $Z^*_{s-m}$ есть проекция многогранника $Z^*\subset {\bf R}^s$, фигурирующего в ограничении (2.4), на пространство ${\bf R}^{s-m}$, а именно:

$$Z^*_{s-m}=\{z^*(t) :~z^*(t) = (z^*_{ m+1}(t),z^*_{ m+2}(t),\cdots, z^*_s(t))^\prime\in {\bf R}^{s-m},$$

$$\exists~{\tilde z}(t)= (z_{1}(t),z_{2}(t),\cdots,z_{m}(t))^\prime\in {\bf R}^{m},~ z(t)=({\tilde z}(t),z^*(t))^\prime=$$

$$=(z_{1}(t),z_{2}(t),\cdots,z_{m}(t),~ z^*_{m+1}(t),z^*_{m+2}(t),\cdots, z^*_s(t))^\prime \in Z^*\}.$$ (4.7)

Принимая во внимание (4.6), (4.7), (4.3) и введенные выше предположения, для фиксированных и допустимых в силу (2.1)-(2.6) векторов $y(t)\in {\bf R}^{r}$ и ${\omega}(t)\in {\bf R}^{m}, t\in\overline{\tau+1,\vartheta}$ имеем

$${\bf H}(y(t),{\omega}(t)) = \{(m<s : \{z(t) :~ z(t)=({\bar z}(t),z^{*}(t))^\prime \in {\bf R}^s,$$

$${\bar z}(t)={\bar E}^{-1}(y(t))[{\omega}(t)-E^*(y(t))z^*(t)- F(t){\xi}(t)],~z^*(t)\in Z^*_{s-m},$$

$${\xi}(t)\in \Xi_1\})~\vee (m=s :~\{z(t) :~z(t)\in {\bf R}^s,~(z(t)\in Z^*)~\wedge~ (z(t)=$$

$$=E^{-1}(y(t))[{\omega}(t)-F(t){\xi}(t)],~ {\xi}(t)\in \Xi_1)\})\},$$ (4.8)

где ${\bar E}^{-1}(y(t))$ и $E^{-1}(y(t))$ есть обратные матрицы для матриц ${\bar E}(y(t))$ и $E(y(t))$ соответственно. Следовательно, из этого факта и сделанных выше предположений вытекает, что для фиксированных и допустимых $y(t)\in {\bf R}^{r}$ и ${\omega}(t)\in {\bf R}^{m}, t\in \overline{\tau+1,\vartheta},$ множество ${\bf H}(y(t),{\omega}(t))$ есть выпуклый, замкнутый и ограниченный многогранник (с конечным числом вершин) пространства ${\bf R}^s$. Тогда аналогично леммам 2 и 3, нетрудно показать справедливость следующих утверждений.

Лемма 4   Пусть для $t\in\overline{\tau+1,\vartheta}$ и $m<s$

$${\bar Z}_{m}(t) = \{{\bar z}(t) :~{\bar z}(t)\in {\bf R}^{m},~ {\bar z}(t)= - {\bar E}^{-1}(y(t))E^*(y(t)){\bar z}^*(t),$$

$${\bar z}^*(t)\in Z^*_{s-m}\};$$

$${\hat Z}_{m}(t) = \{{\hat z}(t) :~{\hat z}(t)\in {\bf R}^{m},~ {\hat z}(t)= - {\bar E}^{-1}(y(t))E^*(y(t)){\hat z}^*(t),$$

$${\hat z}^{*}(t)\in {\bf\Gamma}_{s-m}(Z^*_{s-m})\}.$$

Тогда ${\bf\Gamma}_{m}({\bar Z}_{m}(t)) = {\bf\Gamma}_{m}({\rm co}_{m}{\hat Z}_{m}(t))$.

Лемма 5   Пусть для $t\in\overline{\tau+1,\vartheta}$

$$\bar\Xi_{m}(t) = \{{\bar\xi}(t) :~{\bar\xi}(t)\in {\bf R}^{m... ...= - {\tilde E}^{-1}(y(t))F(t){\xi}(t),~ {\xi}(t)\in \Xi_{1}\};$$

$$\hat\Xi_{m}(t) = \{{\hat\xi}(t) :~{\hat\xi}(t)\in {\bf R}^{m... ...1}(y(t))F(t){\xi}(t),~ {\xi}(t)\in {\bf\Gamma}_{l}(\Xi_{1})\},$$

где

$${\tilde E}(y(t)) = \{(m<s :~{\bar E}(y(t)))~\vee~ (m=s :~E(y(t)))\}.$$

Тогда ${\bf\Gamma}_{m}(\bar\Xi_{m}(t)) = {\bf\Gamma}_{m}({\rm co}_{m}{\hat \Xi}_{m}(t))$.

На основании соотношения (4.8), лемм 4 и 5 аналогично доказательству теоремы 2 нетрудно показать справедливость следующего утверждения.

Теорема 3   Пусть множество ${\bf H}(y(t),{\omega}(t))$ для всех фиксированных и допустимых $y(t)\in {\bf R}^{r}$ ${\omega}(t)\in {\bf R}^{m}, t\in\overline{\tau+1,\vartheta}$ определяется соотношением $(\ref{eq23})$ и множество $\tilde{\bf H}(y(t),{\omega}(t))$ определяется формулой

$$\tilde{\bf H}(y(t),{\omega}(t)) = \{(m<s :~\{{\tilde z}(t) :~ {\tilde z}(t)=({\bar z}(t),{\hat z}^*(t))^\prime \in{\bf R}^s,$$

$${\bar z}(t)=\hat{\omega}(t)+{\hat z}(t)+\hat{\xi}(t),~ {\hat... ...}_m(t),~ {\hat z}^*(t)\in {\bf\Gamma}_{s-m}(Z^*_{s-m})\})~\vee$$

$$\vee~(m=s :~\{{\tilde z}(t) :~{\tilde z}(t)\in {\bf R}^s, ({\tilde z}(t)\in Z^*)~\wedge$$

$$\wedge~({\tilde z}(t)=\hat{\omega}(t)+\hat{\xi}(t),~ \hat{\xi}(t)\in \hat\Xi_{m}(t))\})\},$$

где $\hat{\omega}(t) = \tilde{E}^{-1}(y(t)){\omega}(t)$.

Тогда имеет место следующее равенство:

$${\bf H}(y(t),{\omega}(t)) = {\rm co}_s\tilde{\bf H}(y(t),{\omega}(t)).$$

Используя предыдущие леммы 1-5, теоремы 1-3, рекуррентные соотношения (4.4) и (4.5) нетрудно показать индукцией по числу шагов $n_{\overline{\tau,\vartheta}}=\vartheta - \tau$, соответствующих промежутку времени $\overline{\tau,\vartheta}\subseteq\overline{0,\rm T}~ (\tau<\vartheta)$, на котором рассматривается процесс преследования-уклонения, справедливость следующего утверждения.

Теорема 4   Для фиксированных $\tau$-позиции $w(\tau)=\{\tau,y(\tau),Z(\tau)\}$
$\in {\hat W}(\tau)~ (w(0)=w_{0})$, где $Z(\tau)$ для $\tau\in \overline{1,T-1}$ есть выпуклый замкнутый и ограниченный многогранник (с конечным числом вершин) пространства ${\bf R}^s$, реализаций управления $u(\cdot)=\{u(t)\}_{t\in\overline{\tau,\vartheta-1}}\in U(\overline{\tau,\vartheta}),~\overline{\tau,\vartheta}\subseteq \overline{0,\rm T}~(\tau<\vartheta)$ и сигнала ${\omega}(\cdot)=\{{\omega}(t)\}_{t\in \overline{\tau+1,\vartheta}}\in {\Omega}(\overline{\tau,\vartheta},w(\tau),u(\cdot))~ ({\omega}(\tau)=\omega_{\tau})$ информационное множество процесса апостериорной минимаксной фильтрации для системы $(\ref{eq1})$-$(\ref{eq6})$ $Z^{(e)}_{\vartheta}(\overline{\tau,\vartheta}, w(\tau),u(\cdot),{\omega}(\cdot))=Z^{(e)}(\vartheta)= {\tilde Z}^{(e)}(\vartheta)$ $({\tilde Z}^{(e)}(0)={\tilde Z}^*_{0}=Z^*_{0})$ непусто и есть выпуклый замкнутый и ограниченный многогранник (с конечным числом вершин) пространства ${\bf R}^s$.

Нетрудно доказать, что справедливо следующее утверждение.

Лемма 6   Пусть для $t\in\overline{\tau+1,\vartheta}$

$${\bar X}_{r}(t)=\{{\bar x}(t) :~{\bar x}(t)\in {\bf R}^r,~ {\bar x}(t)=B(t-1)u(t-1),~u(t-1)\in {\rm U}_{1}\};$$

$${\hat X}_{r}(t)=\{{\hat x}(t) :~{\hat x}(t)\in {\bf R}^r,~ {... ...x}(t)=B(t-1)u(t-1),~ u(t-1)\in {\bf\Gamma}_{p}({\rm U}_{1})\}.$$

Тогда ${\bf\Gamma}_{r}({\bar X}_{r}(t)) = {\bf\Gamma}_{r}({\rm co}_{r}{\hat X}_{r}(t))$.

Теорема 5   Пусть для вектора $y(t-1)\in {\bf R}^{r},~ t\in\overline{\tau+1,\vartheta},$ множество $Y(t)={\bf Y}(t-1,y(t-1),t)$ конструируется на основании рекуррентного соотношения $(\ref{eq21})$ и пусть множество ${\tilde Y}(t)$ определяется по формуле

$${\tilde Y}(t) = \{{\tilde y}(t) :~{\tilde y}(t)\in {\bf R}^r,~ {\tilde y}(t)={\hat y}(t)+{\hat x}(t),$$

$${\hat y}(t)=A(t-1)y(t-1),~{\hat x}(t)\in {\hat X}_{r}(t)\}.$$

Тогда $Y(t)={\rm co}_{r}{\tilde Y}(t)$ и множество $Y(t)$ есть выпуклый замкнутый и ограниченный многогранник (с конечным числом вершин) простран-
ства ${\bf R}^r$.

Зафиксируем начальную позицию $w(0)=w_0=\{0,y_0,Z_0\}\in {\hat W}_0$, где множество $Z_0$ есть выпуклый замкнутый и ограниченный многогранник (с конечным числом вершин) пространства ${\bf R}^s$ и реализации управления $u(\cdot)= \{u(t)\}_{t\in \overline{0,\tau-1}} \in U(\overline{0,\tau})$ и сигнала $\omega(\cdot)= \{{\omega}(t)\}_{t\in \overline{1,\tau}}\in {\Omega}(\overline{0,\tau},w_0,u(\cdot))$ $({\omega}(0)={\omega}_{0})$ на промежутке времени $\overline{0,\tau}\subseteq \overline{0,\rm T-1}~(\tau>0).$

Тогда с учетом введенных выше определений и сформулированных утверждений, общая схема решения задачи 2 конструирования стратегии адаптивного минимаксного управления для процесса преследования-уклонения в дискретной динамической системе (2.1)-(2.6) может быть представлена как реализация последовательности следующих только одношаговых операций.

I. Для $t\in\overline{0,\tau}$ вычисляются следующие элементы решения.

1.1. Пусть ${\tilde y}^{(e)}(0)=y_0;$ если $t=0$, то перейти на пункт II; иначе - перейти на пункт 1.2.

1.2. Вектор ${\tilde y}^{(e)}(t)$ вычисляется по рекуррентным формулам (4.4), используя вектор ${\tilde y}^{(e)}(t-1)$ и управление $u(t-1)\in {\rm U}_1$.

1.3. Область достижимости ${\bf Z}(t-1, {\tilde Z}^{(e)}(t-1),t)= Z(t)={\rm co}_s{\tilde Z}(t)$ вычисляется при предположении, что ${\tilde Z}^{(e)}(t-1)=Z(t-1)$ есть выпуклый замкнутый и ограниченный многогранник (с конечным числом вершин), который уже определен $({\tilde Z}^{(e)}(0)=Z^*_{0})$, т.е. известно множество ${\bf\Gamma}_s({\tilde Z}^{(e)}(t-1))$ всех вершин многогранника (общая схема построения этого множества описывается в пункте III алгоритма). На основании изложенного выше, эта область может быть сконструирована с использованием следующей схемы.

1.3.1. Используя известные матрицы $C(t-1)$ и $D(t-1)$, множества ${\bf\Gamma}_{s}({\tilde Z}^{(e)}(t-1))$ и ${\bf\Gamma}_{q}({\rm V}_{1})$ всех вершин многогранников ${\tilde Z}^{(e)}(t-1)$ и ${\rm V}_{1}$ соответственно, конструируем следующие множества

$${\hat Z}_{s}(t) = \{{\hat z}(t) :~{\hat z}(t)\in {\bf R}^s,~... ...-1)z(t-1),~z(t-1)\in {\bf\Gamma}_{s}({\tilde Z}^{(e)}(t-1))\};$$

$${\hat X}_{s}(t) = \{{\hat x}(t) :~{\hat x}(t)\in {\bf R}^s,~... ... x}(t)=D(t-1)v(t-1),~v(t-1)\in {\bf\Gamma}_{q}({\rm V}_{1})\};$$

$${\tilde Z}(t) = \{{\tilde z}(t) :~{\tilde z}(t)\in {\bf R}^s... ...at z}(t)\in {\hat Z}_{s}(t),~{\hat x}(t)\in {\hat X}_{s}(t)\}.$$

1.3.2. Пусть ${\tilde Z}(t) = \{{\tilde z}^{(i)}(t)\}_{i\in \overline{1,{\tilde s}_t}}$; тогда рассматривается следующая задача линейного программирования.

З а д а ч а 3. Для фиксированных $i\in \overline{1,{\tilde s}_t}$ и набора переменных ${\lambda}_j\in {\bf R}^{1},~ j\in \overline{1,{\tilde s}_t},~j\neq i$ требуется установить совместность следующей системы линейных соотношений:

$$\sum\limits_{j\ne i}{\lambda}_j{\tilde z}^{(j)}(t) = {\tilde... ...)}(t),~ \sum\limits_{j\ne i}{\lambda}_j = 1,~{\lambda}_j\ge 0.$$ (4.9)

Эта задача решается с помощью модифицированного симплекс-метода (см., например, [10]), который используется для задачи линейного программирования с ограничениями (4.9) и поиска минимума целевой функции $\alpha :~{\bf R}^{{\tilde s}_t -1}\longrightarrow {\bf R}^{1}$ достаточно произвольного вида, например,

$${\alpha}(\cdot) = \sum\limits_j{\lambda}_j,$$

где $j\in \overline{1,{\tilde s}_ t},~j\neq i$.

Отметим, что такой выбор целевой функции значительно упрощает проверку совместности ограничений (4.9) на первом шаге модифицированного симплекс-метода. При этом из свойств системы (4.9) следует, что если она совместна, то точка ${\tilde z}^{(i)}(t)$ не является вершиной многогранника ${\rm co}_s{\tilde Z}(t)$; в противном случае имеем ${\tilde z}^{(i)}(t)\in {\bf\Gamma}_{s}({\rm co}_s{\tilde Z}(t))$.

Тогда, решая задачу 3 для всех значений параметра $i\in \overline{1,{\tilde s}_t}$, найдем все вершины многогранника $Z(t)={\bf Z}(t-1,{\tilde Z}^{(e)}(t-1),t)$, так как в силу теоремы 2 имеет место равенство ${\bf\Gamma}_{s}(Z(t))={\bf\Gamma}_{s}({\rm co}_s{\tilde Z}(t))$.

II. Для фиксированных ${\tilde y}^{(e)}(t)\in {\bf R}^{r}~ ({\tilde y}^{(e)}(0)=y_0),~{\omega}(t)\in {\bf R}^{m}~ ({\omega}(0)={\omega}_0)$ и $t\in\overline{0,\tau}$ множество $\tilde{\bf H}({\tilde y}^{(e)}(t),{\omega}(t))$ вычисляется в соответствии со следующей схемой.

2.1. В соответствии с изложенным выше по известной матрице
$E({\tilde y}^{(e)}(t))$ находится матрица ${\tilde E}^{-1}({\tilde y}^{(e)}(t))$ размера $m\times m$, которая существует в силу сделанных предположений и имеет вид

$${\tilde E}^{-1}({\tilde y}^{(e)}(t)) = \{(m<s :~ {\bar E}^{-... ...lde y}^{(e)}(t)))~\vee~ (m=s :~E^{-1}({\tilde y}^{(e)}(t)))\};$$

для $m<s$ формируется матрица $E^{*}({\tilde y}^{(e)}(t))$ размера $m\times (s-m)$ такая, что справедливо соотношение $E({\tilde y}^{(e)}(t))=({\bar E}({\tilde y}^{(e)}(t)), E^{*}({\tilde y}^{(e)}(t)))$.

2.2. Используя матрицы ${\tilde E}^{-1}({\tilde y}^{(e)}(t)),~ E^{*}({\tilde y}^{(e)}(t))$ и $F(t)$, множества
${\bf\Gamma}_{s-m}(Z^*_{s-m})$ и ${\bf\Gamma}_{l}(\Xi_{1})$ всех вершин многогранников $Z^*_{s-m}$ и ${\Xi}_{1}$ соответственно, конструируем множества

$${\hat Z}_{m}(t) = \{{\hat z}(t) :~{\hat z}(t)\in {\bf R}^{m}... ...\tilde y}^{(e)}(t))E^{*} ({\tilde y}^{(e)}(t)){\hat z}^{*}(t),$$

$${\hat z}^{*}(t)\in {\bf\Gamma}_{s-m}(Z^{*}_{s-m})\}~(m<s);$$

$$\hat\Xi_{m}(t) = \{\hat\xi(t) :~\hat{\xi}(t)\in {\bf R}^{m},... ...y}^{(e)}(t)) F(t)\xi(t),~\xi(t)\in {\bf\Gamma}_{l}(\Xi_{1})\};$$

$$\tilde{\bf H}({\tilde y}^{(e)}(t), {\omega}(t)) = \{(m<s :\{... ...tilde z}(t)=({\bar z}(t),{\hat z}^{*}(t))^\prime\in {\bf R}^s,$$

$${\bar z}(t)={\hat \omega}(t)+{\hat z}(t)+\hat{\xi}(t),~ {\hat z}(t)\in {\hat Z}_{m}(t),~ \hat{\xi}(t)\in \hat\Xi_{m}(t),$$

$${\hat z}^{*}(t)\in {\bf\Gamma}_{s-m}(Z^{*}_{s-m})\})~\vee~ (... ...t) :~{\tilde z}(t)\in {\bf R}^s, ({\tilde z}(t)\in Z^*)~\wedge$$

$$\wedge~({\tilde z}(t)=\hat{\omega}(t)+\hat{\xi}(t),~ \hat{\xi}(t)\in\hat\Xi_m(t))\})\},$$

где $\hat{\omega}(t)= {\tilde E}^{-1}({\tilde y}^{(e)}(t)){\omega}(t)$.

2.3. Пусть $\tilde{\bf H}({\tilde y}^{(e)}(t), {\omega}(t))=\{{\tilde z}^{(i)}_*(t)\}_{i\in \overline{1,n_t}}$; тогда, решая задачу 3 для этого множества и для всех значений параметра $i\in \overline{1,n_{t}}$, найдем все вершины многогранника ${\bf H}({\tilde y}^{(e)}(t), {\omega}(t))={\rm co}_{s} \tilde{\bf H}({\tilde y}^{(e)}(t), {\omega}(t))$, так как в силу теоремы 3 имеет место равенство ${\bf\Gamma}_{s}({\bf H}({\tilde y}^{(e)}(t), \ {\omega}(t))) \ = \ {\bf\Gamma}_{s}({\rm co}_s\tilde{\bf H}({\tilde y}^{(e)}(t),$
${\omega}(t))).$

III. Используя модифицированные рекуррентные формулы (4.5), вычисляем следующие множества:

$${\tilde Z}^{(e)}(t) = \{(t=0 :~Z_0~\bigcap~{\rm co}_s\tilde{\bf H}(y_{0},\omega_{0}))~\vee~ (t\in\overline{1,\tau} :$$

$${\rm co}_s{\tilde Z}(t)~\bigcap {\rm co}_s\tilde{\bf H}({\tilde y}^{(e)}(t), {\omega}(t)))\},$$ (4.10)

и в итоге, с учетом теоремы 4, конструируем информационное множество ${\tilde Z}^{(e)}(\tau)= Z^{(e)}(\tau)= Z^{(e)}_{\tau}(\overline{0,\tau},w_0,u(\cdot), {\omega}(\cdot))$ процесса апостериорной минимаксной фильтрации для системы (2.1)-(2.6), которое является основным элементом решения задачи 1. Процесс конструирования множества ${\tilde Z}^{(e)}(\tau)$ реализуется следующим образом.

3.1. Используя множества ${\bf\Gamma}_{s}(Z_0)$ или ${\bf\Gamma}_{s}(Z(t))= {\bf\Gamma}_{s}({\rm co}_s{\tilde Z}(t)) ,~t\in \overline{1,\tau}$ всех вершин многогранников $Z_0$ или ${\rm co}_s{\tilde Z}(t)= {\bf Z}(t-1,{\tilde Z}^{(e)}(t-1),t)=Z(t)$ соответственно, которые известны к началу этого пункта, вычисляем крайние опорные гиперплоскости [9] соответствующего многогранника.

В связи с этим напомним, что опорной гиперплоскостью выпуклого многогранника $X(t)\subset {\bf R}^n~(n\in {\bf N})$ называется гиперплоскость вида $\{x: x\in {\bf R}^{n}, <a,x>_{n}=b\}$, где $a=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})^\prime \neq~(\underbrace{0,0,\ldots,0}_n)^\prime\in {\bf R}^n,$ $<a,x>_{n}\le~b$ для всех $x\in X(t)$ и $<a,x>_{n}=b$ хотя бы для одного $x\in X(t)$. Если опорная гиперплоскость содержит $n$ аффинно-независимых [9] точек множества $X(t)$, то она называется крайней опорной гиперплоскостью этого множества.

3.2. Крайние опорные гиперплоскости многогранника ${\rm co}_{s}\tilde{\bf H}({\tilde y}^{(e)}(t),$
${\omega}(t))={\bf H}({\tilde y}^{(e)}(t),{\omega}(t))$ вычисляется с использованием известного множества ${\bf\Gamma}_{s}({\rm co}_s\tilde{\bf H} ({\tilde y}^{(e)}(t),{\omega}(t))),~ t\in \overline{0,\tau}$ всех его вершин.

3.3. Используя сконструированные гиперплоскости многогранников $Z_0$ или ${\rm co}_{s}{\tilde Z}(t),~t\in \overline{1,\tau}$ и ${\rm co}_{s}\tilde{\bf H}({\tilde y}^{(e)}(t),{\omega}(t)),~ t\in \overline{0,\tau},$ находим общее решение системы неравенств, состоящей из всех неравенств, порожденных крайними опорными гиперплоскостями этих многогранников, соответствующих фиксированному моменту времени $t\in \overline{0,\tau},$ которое описывает в частном случае множество ${\bf\Gamma}_{s}({\tilde Z}^{(e)}(t))$ - всех вершин многогранника ${\tilde Z}^{(e)}(t).$

В результате реализации предыдущих пунктов для всех $t\in \overline{0,\tau},$ вычисляется $\tau$-позиция $w^{(e)}(\tau)=$ $\{\tau,y^{(e)}(\tau),Z^{(e)}(\tau)\}\in W(\overline{0,\tau},w_0,u(\cdot))$ преследователя $P$, где $y^{(e)}(\tau)={\tilde y}^{(e)}(\tau)$ и $Z^{(e)}(\tau)={\rm co}_{s}{\bf\Gamma}_{s} ({\tilde Z}^{(e)}(\tau))=Z^{(e)}_{\tau}(\overline{0,\tau},$ $w_0,u(\cdot),{\omega}(\cdot))$ есть информационное множество процесса апостериорной минимаксной фильтрации для дискретной динамической системы (2.1)-(2.6). Отметим, что это есть множество все допустимых реализаций фазовых векторов $z(\tau)\in Z^{(e)}(\tau)$ объекта $II$ в момент времени $\tau$, которые совместимы со всей информацией об этой системе, известной преследователю $P$ на промежутке времени $\overline{0,\tau}$.

IV. В этом пункте вычисляются все параметры стратегии адаптивного минимаксного управления ${\bf U}^{(e)}_{a}={\bf U}^{(e)}_{a}(w(\tau))\in {\bf U}^*$ преследователя $P$ для некоторого момента времени $\tau\in\overline{0,{\rm T}-1}$.

Эта процедура реализуется следующим образом.

4.1. Используя известные матрицы $A(\tau)$ и $B(\tau),$ вектор ${\tilde y}^{(e)}(\tau)\in {\bf R}^r$ и множество ${\bf\Gamma}_{p}({\rm U}_{1})$ всех вершин многогранника ${\rm U}_{1},$ конструируем следующие множества:

$${\hat X}_{r}(\tau+1)=\{{\hat x}(\tau+1) :~{\hat x}(\tau+1)\i... ...1)=B(\tau)u(\tau),~ u(\tau)\in {\bf\Gamma}_{p}({\rm U}_{1})\};$$

$${\tilde Y}(\tau+1) = \{{\tilde y}(\tau+1) : ~{\tilde y}(\tau... ...f R}^r,~{\tilde y}(\tau+1)= {\hat y}(\tau+1)+{\hat x}(\tau+1),$$

$${\hat y}(\tau+1)=A(\tau){\tilde y}^{(e)}(\tau),~ {\hat x}(\tau+1)\in {\hat X}_{r}(\tau+1)\}.$$

4.2. Пусть ${\tilde Y}(\tau+1) = \{{\tilde y}^{(i)}(\tau+1)\}_{i\in \overline{1,r_{\tau+1}}}$, тогда, решая задачу 3 для этого множества и для всех значений параметра $i\in \overline{1,r_{\tau+1}},$ найдем все вершины многогранника $Y(\tau+1)={\bf Y}(\tau,{\tilde y}^{(e)}(\tau),\tau+1)$, так как из теоремы 5 следует справедливость равенства ${\bf\Gamma}_{r}(Y(\tau+1))= {\bf\Gamma}_{r}({\rm co}_r{\tilde Y}(\tau+1))$.

Используя это множество, можно вычислить также множество
${\bf\Gamma}_{k}(\{Y(\tau+1)\}_k)$ всех вершин многогранника $\{Y(\tau+1)\}_k\in {\rm comp}({\bf R}^k)$ (например, путем решения соответствующей задачи 3) и множество всех его крайних опорных гиперплоскостей.

Тогда множество $\{Y(\tau+1)\}_k$ описывается следующей системой линейных неравенств

$$M(\tau+1)\{y(\tau+1)\}_{k}~\le~ g(\tau+1)~\ \ (\{y(\tau+1)\}_{k}\in {\bf R}^{k}),$$ (4.11)

соответствующей множеству всех его крайних опорных гиперплоскостей. Здесь $M(\tau+1)$ - действительная матрица размера ${\tilde k}_{\tau+1}\times k$, ${\tilde k}_{\tau+1}\in {\bf N}$ - число всех его крайних опорных гиперплоскостей и $g(\tau+1)\in {\bf R}^{{\tilde k}_{\tau+1}}$ - вектор свободных членов.

4.3. Используя известные матрицы $C(\tau)$ и $D(\tau)$, множества
${\bf\Gamma}_{s}({\tilde Z}^{(e)}(\tau))$ и ${\bf\Gamma}_{q}({\rm V}_{1})$ всех вершин многогранников ${\tilde Z}^{(e)}(\tau)$ и ${\rm V}_{1}$ соответственно, сконструируем множества

$${\hat Z}_{s}(\tau+1) = \{{\hat z}(\tau) :~{\hat z}(\tau)\in ... ...\tau),~ z(\tau)\in {\bf \Gamma}_{s}({\tilde Z}^{(e)}(\tau))\};$$

$${\hat X}_{s}(\tau+1) = \{{\hat x}(\tau) :~{\hat x}(\tau)\in ... ...au)=D(\tau)v(\tau),~v(\tau)\in {\bf\Gamma}_{q}({\rm V}_{1})\};$$

$${\tilde Z}(\tau+1) = \{{\tilde z}(\tau+1) :~{\tilde z}(\tau+... ...bf R}^s,~{\tilde z}(\tau+1)={\hat z}(\tau+1)+{\hat x}(\tau+1),$$

$${\hat z}(\tau+1)\in {\hat Z}_{s}(\tau+1),~ {\hat x}(\tau+1)\in {\hat X}_{s}(\tau+1)\}.$$

Пусть ${\tilde Z}(\tau+1) = \{{\tilde z}^{(i)}(\tau+1)\}_{i\in \overline{1,{\tilde s}_{\tau+1}}}$, тогда, решая задачу 3 для этого множества и для всех значений параметра $i\in \overline{1,{\tilde s}_{\tau+1}}$, найдем все вершины многогранника $Z(\tau+1)={\bf Z}(\tau,{\tilde Z}^{(e)}(\tau),\tau+1)$, так как из теоремы 2 следует справедливость равенства ${\bf\Gamma}_{s}(Z(\tau+1)) = {\bf\Gamma}({\rm co}_{s}{\tilde Z}(\tau+1))$.

4.4. Используя множество ${\bf\Gamma}_{s}(Z(\tau+1)) = \{z^{(i)}(\tau+1)\}_{ i\in \overline{1,s_{\tau+1}}}$ всех вершин многогранника $Z(\tau+1)$, сформированного в предыдущем пункте, можно вычислить множество ${\bf\Gamma}_{k}(\{Z(\tau+1)\}_{k}) = \{\{{\bar z}^{(i)}(\tau+1)\}_{k}\}_{i\in\overline {1,k_{\tau+1}}}$ всех вершин многогранника $\{Z(\tau+1)\}_{k}\subset {\bf R}^k$ и ввести для $i\in \overline{1,k_{\tau+1}}$ функционалы

$$\delta_i :~{\bf R}^k\longrightarrow {\bf R}^{1},$$

значения которых для $\{y\}_{k}=(y_{1},y_{2},\cdots,y_{k})^\prime \in {\bf R}^k~(y\in {\bf R}^{r})$ описываются формулой

$$\delta_{i}(\{y\}_{k}) = \parallel \{y\}_{k} - \{{\bar z}^{(i)}(\tau+1)\}_{k} \parallel_{k}\ \ \ (i\in \overline{1,k_\tau+1}).$$

4.5. Вводится дополнительная переменная ${\tilde c}\in {\bf R}^{1}$ и используя функционалы $\delta_i,~i\in \overline{1,k_{\tau+1}},$ и соотношения (4.11) конструируется система выпуклых и линейных неравенств

$$\delta_{i}(\{y\}_{k})~\le~ {\tilde c}~\ \ (i\in \overline{1,... ...\tau+1)\{y\}_{k}~\le~g(\tau+1),~\ \ {\tilde c}\in {\bf R}^{1},$$

которую можно представить в виде

$${\tilde Y}(\tau+1)_{\vert k+1} = \{{\tilde y}_{\vert k+1} :~... ...de c})^\prime= (\{y\}_{k},{\tilde c})^\prime\in {\bf R}^{k+1},$$

$$(\sum\limits^k_{j=1}(y_j - {\bar z}^{(i)}_{j}(\tau+1))^{2})^... ...in \overline{1,k_{\tau+1}}),~ M(\tau+1)\{y\}_{k}~\le~g(\tau+1)$$

$$(\{{\bar z}^{(i)}(\tau+1)\}_{k}=({\bar z}^{(i)}_{1}(\tau+1),... ...1),\cdots, {\bar z}^{(i)}_{k}(\tau+1))^\prime\in {\bf R}^k)\}.$$ (4.12)

4.6. Рассматривается следующая задача выпуклого программирования

$${\tilde c}~\longrightarrow~\min$$

при ограничениях (4.12).

Эта задача решается с использованием, например, алгоритма метода Зойтендейка (случай нелинейных ограничений-неравенств)  (см., например, [10]).

Пусть $\{{\tilde y}^{(e)}(\tau+1)\}_{\vert k+1}= ({\tilde y}^{(e)}_{1}(\tau+1),{\tilde y}^{(e)}_{2}(\tau+1),\cdots, {\tilde y}^{(e)}_{k}(\tau+1),$
${\tilde c}^{(e)}_{a}(\overline{\tau,\tau+1}))^\prime\in {\tilde Y}(\tau+1)_{\vert k+1}$ есть решение этой задачи, которое удовлетворяет соотношению

$${\tilde c}^{(e)}_{a}(\overline{\tau,\tau+1}) = \min\limits_{... ...y}_{\vert k+1}\in {\tilde Y}(\tau+1)_{\vert k+1}}~ {\tilde c}.$$

Тогда для $\{Y(\tau+1)\}_{k}\ne\emptyset$, используя приведенные выше леммы 1-6, теоремы 1-5 и соотношения (4.10)-(4.12) нетрудно доказать справедливость следующих равенств:

$$\min\limits_{\{y(\tau+1)\}_{k}\in \{Y(\tau+1)\}_{k}} \max\li... ...1,k_\tau+1}}~\delta_{i} (\{{\tilde y}^{(e)}(\tau+1)\}_{k}) ={}$$

$${}= {\tilde c}^{(e)}_{a}(\overline{\tau,\tau+1}) = \max\limi... ...e y}^{(e)}(\tau+1)\}_{k} - \{z(\tau+1)\}_{k} \parallel_{k} ={}$$

$${}= \min\limits_{\{y(\tau+1)\}_{k}\in \{Y(\tau+1)\}_{k}} \ma... ...rallel \{y(\tau+1)\}_{k} - \{z(\tau+1)\}_{k} \parallel_{k} ={}$$

$${}= \min\limits_{u(\tau)\in {\rm U}_{1}} \max\limits_{\omega... ...erline{\tau,\tau+1},w^{(e)}(\tau), u(\tau),\omega(\tau+1)) ={}$$

$${}= {\gamma}(\overline{\tau,\tau+1},{\tilde u}^{(e)}(\tau), ... ...e\omega}^{(e)}(\tau+1)) = c^{(e)}_{a}(\overline{\tau,\tau+1}),$$ (4.13)

где ${\tilde y}^{(e)}(\tau+1)=y_{\tau+1}(\overline{\tau,\tau+1}, {\tilde y}^{(e)}(\... ...}^{(e)}_{2}(\tau+1),\cdots, {\tilde y}^{(e)}_{k}(\tau+1))^\prime\in {\bf R}^k,$ ${\Omega^{(1)}(u(\tau))=\Omega(\overline{\tau,\tau+1}, w^{(e)}(\tau),u(\tau))},$ ${\tilde\omega}^{(e)}(\tau+1)\in \Omega(\overline{\tau,\tau+1}, w^{(e)}(\tau),{\tilde u}^{(e)}(\tau)).$

Используя этот алгоритм с пункта I до пункта IV, и снова с пункта I для всех моментов времени $\tau\in \overline{0,\rm T-1}$ и всех $\tau$-позиций $w^{(e)}(\tau)=\{\tau,y^{(e)}(\tau),Z^{(e)}(\tau)\}\in {\hat W}(\tau)$ можно сконструировать следующие множества

$$\tilde{\bf U}^{(e)}(w^{(e)}(\tau)) = \{{\tilde u}^{(e)}(\tau) :~ {\tilde u}^{(e)}(\tau)\in {\rm U}_{1},$$

$$\{{\tilde y}^{(e)}(\tau+1)\}_{k}= \{A(\tau)y^{(e)}(\tau)+ B(... ...ilde u}^{(e)}(\tau)\}_{k}\},~\ \ \tau\in \overline{0,\rm T-1}.$$

Тогда определим стратегию управления $\tilde{\bf U}^{(e)}_{a}= \tilde{\bf U}^{(e)}_{a}(w(\tau))\in {\bf U}^{*}~ (\tau\in\overline{0,{\rm T}-1},~w(\tau)\in {\hat W}(\tau), w(0)=w_{0})$ преследователя $P$ для процесса преследования-уклонения (2.1)-(2.6) на промежутке времени $\overline{0,\rm T}$ из класса допустимых стратегий управления ${\bf U}^*$, которая формально описывается следующими соотношениями:

1) для всех $\tau\in\overline{0,{\rm T}-1}$ и $\tau$-позиций $w^{(e)}(\tau)= \{t,y^{(e)}(\tau),Z^{(e)}(\tau)\} \in W(0,w_{0},\tau,$ ${\tilde u}^{(e)}_{\tau}(\cdot))$ $(w^{(e)}(0)=w^*_{0})$ пусть

$$\tilde{\bf U}^{(e)}_{a}(w^{(e)}(\tau))= \tilde{\bf U}^{(e)}(w^{(e)}(\tau))\subseteq {\rm U}_1;$$ (4.14)

2) для всех $\tau\in\overline{0,{\rm T}-1}$ и $\tau$-позиций $w^{*}(\tau)=\{\tau,y^{*}(\tau),Z^{*}(\tau)\}\in \{{\hat W}(\tau)\setminus W(0,w_{0},\tau,{\tilde u}^{(e)}_{\tau}(\cdot))\}~(w^{*}(0)\ne w^*_0)$ пусть

$$\tilde{\bf U}^{(e)}_{a}(w^{*}(\tau))={\rm U}_1,$$ (4.15)

где ${\tilde u}^{(e)}_{\tau}(\cdot)= \{{\tilde u}^{(e)}(t)\}_{t\in {\overline{0,\tau-1}}}.$

Пусть набор $({\tilde u}^{(e)}(\cdot), {\tilde\omega}^{(e)}(\cdot))\in U(\overline{0,\rm T}) \times {\Omega}(\overline{0,\rm T},w^{*}_{0},{\tilde u}^{(e)} (\cdot)),$ состоящий из реализаций управления ${\tilde u}^{(e)}(\cdot)=\{{\tilde u}^{(e)}(t)\}_{t\in \overline{0,{\rm T}-1}}$ преследователя $P$ и сигнала ${\tilde\omega}^{(e)}(\cdot)=\{{\tilde\omega}^{(e)}(t)\}_{t\in \overline{1,{\rm T}}}$ соответственно, сформирован в результате использования этой стратегии на промежутке времени $\overline{0,{\rm T}}$ и такой, что ${\tilde u}^{(e)}({\rm T}-1)$ и ${\tilde\omega}^{(e)}({\rm T})$ удовлетворяют соотношению (4.13) при $\tau={\rm T}-1.$ Тогда можно вычислить следующее число

$${\tilde c}^{(e)}_{a}(\overline{0,\rm T})= {\gamma}(\overline... ...{*}_{0},{\tilde u}^{(e)}(\cdot), {\tilde\omega}^{(e)}(\cdot)).$$ (4.16)

Из приведенного выше алгоритма и соотношений (4.12)-(4.16) получим следующее утверждение, которое является основным результатом данной работы.

Теорема 6   Для начальной позиции $w(0)=w_0= \{0,y_0,Z_0\}\in {\hat W}_{0}$ преследователя $P$ в дискретной динамической системе $(\ref{eq1})$-$(\ref{eq6})$ стратегия управления $\tilde{\bf U}^{(e)}_{a} \in {\bf U}^*$ преследователя $P$ на промежутке времени $\overline{0,\rm T}$ будет стратегией адаптивного минимаксного управления для задачи $2$, т.е. $\tilde{\bf U}^{(e)}_{a}= {\bf U}^{(e)}_{a}\in {\bf U}^{*},$ и число ${\tilde c}^{(e)}_{a}(\overline{0,\rm T})$ есть оптимальный гарантированный результат для этой задачи, т.е. ${\tilde c}^{(e)}_{a}(\overline{0,\rm T})= c^{(e)}_{a}(\overline{0,\rm T}),$ который соответствует реализации этой стратегии на промежутке времени $\overline{0,\rm T}$ для процесса преследования-уклонения, и оба элемента конструируются путем реализации последовательности только одношаговых операций.

Необходимо также отметить, что для реализаций управления ${\tilde u}^{(e)}(\cdot)= \{{\tilde u}^{(e)}(t)\}_{t\in\overline{0,{\rm T}-1}}\in U(\overline{0,{\rm T}})$ преследователя $P$ и сигнала ${\tilde\omega}^{(e)}(\cdot)=$
$\{{\tilde\omega}^{(e)}(t)\}_{t\in\overline{1,\rm T}}\in {\Omega}(\overline{0,{\rm T}},w^{*}_{0},{\tilde u}^{(e)}(\cdot)),$ которые являются результатом использования стратегии адаптивного минимаксного управления ${\bf U}^{(e)}_{a}\in {\bf U}^*$ на промежутке времени $\overline{0,\rm T}$ и для всех $t=\tau~ (\tau\in\overline{0,{\rm T}-1})$ удовлетворяют соотношению (4.13), для всех допустимых реализаций сигналов $\omega(\cdot)=\{\omega(t)\}_{t\in\overline{1,\rm T}}\in {\Omega}(\overline{0,{\rm T}},w^{*}_{0},{\tilde u}^{(e)}(\cdot)),$ для всех допустимых реализаций управления $u(\cdot)=\{u(t)\}_{t\in\overline{0,{\rm T}-1}}\in U(\overline{0,{\rm T}})$ преследователя $P$ существует сигнал $\tilde\omega(\cdot)= \{\tilde\omega(t)\}_{t\in\overline{1,\rm T}}\in \Omega(\overline{0,\rm T},w^{*}_{0},u(\cdot))$ такой, что для всех $\tau\in\overline{0,{\rm T}-1}$ в силу (3.6) и (4.13) имеют место следующие соотношения:

$$Z^{(e)}_{\tau+1}(\overline{0,\tau+1},w^{*}_0, {\tilde u}^{(e)}_{\tau+1}(\cdot),{\tilde\omega}^{(e)}_{\tau+1}(\cdot)) ={}$$

$${}= Z^{(e)}_{\tau+1}(\overline{\tau,\tau+1},{\tilde w}^{(e)}(\tau), {\tilde u}^{(e)}(\tau),{\tilde\omega}^{(e)}(\tau+1)),$$

$$c^{(e)}_{a}(\overline{\tau,\tau+1}) = {\gamma}(\overline{\ta... ...tau),{\tilde u}^{(e)}(\tau), {\tilde\omega}^{(e)}(\tau+1))~\le$$

$$\le~{\gamma}(\overline{\tau,\tau+1}, {\tilde w}^{(e)}(\tau),{\tilde u}^{(e)}(\tau),\omega(\tau+1)),$$

$$c^{(e)}_{a}(\overline{\tau,\tau+1})~\le~ \gamma(\overline{\t... ...au+1}, {\tilde w}^{(e)}(\tau),u(\tau),{\tilde\omega}(\tau+1)),$$

где $\tau$-позиция ${\tilde w}^{(e)}(\tau)=\{\tau,{\tilde y}^{(e)}(\tau), {\tilde Z}^{(e)}(\tau)\}\in$ $W(0,w^{*}_{0},\tau,{\tilde u}^{(e)}_{\tau}(\cdot))$ $({\tilde u}^{(e)}_{\tau}(\cdot)= \{{\tilde u}^{(e)}(t)\}_{t\in\overline{0,\tau-1}}\in U(\overline{0,\tau}))$ преследователя $P$ формируется в силу (3.9), а именно

$${\tilde w}^{(e)}(\tau) = \{\tau,{\tilde y}^{(e)}(\tau),{\til... ...e u}^{(e)}_{\tau}(\cdot), {\tilde\omega}^{(e)}_{\tau}(\cdot));$$

${\tilde u}^{(e)}_{\tau+1}(\cdot)= \{{\tilde u}^{(e)}(t)\}_{t\in\overline{0,\ta... ...(e)}_{\tau+1}(\cdot)= \{{\tilde\omega}^{(e)}(t)\}_{t\in\overline{1,\tau+1}}\in$
$\Omega(\overline{0,\tau+1},w^{*}_0, {\tilde u}^{(e)}_{\tau+1}(\cdot)),~ {\tild... ...1,\tau}} \in \Omega(\overline{0,\tau},w^{*}_0,{\tilde u}^{(e)}_{\tau}(\cdot)).$