2 Описание задачи

На заданном целочисленном промежутке времени  $\overline{0,\rm T}= \{0,1,\cdots,$ $\rm T\}~(\rm T>0)$ рассматривается многошаговая динамическая система, которая состоит из двух управляемых объектов - объекта $I$ (управляемого преследователем $P$) и объекта $II$ (управляемого уклоняющимся $E$). Движение объекта $I$ описывается линейным дискретным рекуррентным векторным уравнением

$$y(t+1)=A(t)y(t)+B(t)u(t)$$ (2.1)

и движение объекта $II$ описывается аналогичным уравнением

$$z(t+1)=C(t)z(t)+D(t)v(t).$$ (2.2)

Здесь $t\in\overline{0,\rm T-1}$; $y\in{\bf R}^r$ и $z \in{\bf R}^s$ - фазовые векторы объектов $I$ и $II$, соответственно ($r,s\in{\bf N}$, где N - множество всех натуральных чисел; для $n\in{\bf N}$, ${\bf R}^n$ - n-мерное евклидово векторное пространство); $u(t)\in{\bf R}^p$ и $v(t)\in{\bf R}^q$ - управления преследователя $P$ и уклоняющегося $E$, соответственно, стесненные множествами

$$u(t)\in{\rm U_1}\subset{\bf R}^p,\quad v(t)\in{\rm V_1}\subset{\bf R}^q \quad (p,q\in{\bf N});$$ (2.3)

$A(t), B(t), C(t)$ и $D(t)$ есть действительные матрицы размера $r\times r, r\times p, s\times s$ и $s\times q,$ соответственно; предполагается, что для всех $t\in\overline{0,\rm T}$ фазовый вектор $z(t)\in{\bf R}^s$ объекта $II$, формируемый согласно (2.2), (2.3), удовлетворяет ограничению

$$z(t)\in{\rm Z}^*\subset{\bf R}^s;$$ (2.4)

все множества ${\rm U}_1$, ${\rm V}_1$ и ${\rm Z}^*$ - выпуклые замкнутые и ограниченные многогранники (с конечным числом вершин) в пространствах ${\bf R}^p$, ${\bf R}^q$ и ${\bf R}^s$ соответственно.

Опишем информационные возможности преследователя $P$ в процессе преследования-уклонения (адаптивного минимаксного управления в процессе преследования объекта $II$ объектом $I$).

Предполагается, что для некоторого $\vartheta\in\overline{1,\rm T}$ и некоторого целочисленного промежутка времени ${\overline{0,\vartheta}\subseteq \overline{0,\rm T}}$ к моменту времени $\vartheta$ в процессе преследования-уклонения преследователем $P$ измеряются и запоминаются следующие величины: $y(0)=y_0$ - начальное фазовое состояние объекта $I$; $u(\cdot)=\{u(t)\}_{t\in\overline{0,\vartheta-1}}$ - история реализации управления преследователя $P$ на промежутке $\overline{0,\vartheta}$; $\omega(\cdot)=\{\omega(t)\}_{t\in\overline{0,\vartheta}}$ ( $\omega(t)\in{\bf R}^m$; $m\in\bf N$, $m\le s$) - история реализации сигнала на промежутке $\overline{0,\vartheta},$ значения которого $\omega(t)$ ( $\omega(0)=\omega_0$ - фиксировано) для всех $t\in\overline{0,\vartheta}$ генерируются дискретным векторным уравнением

$$\omega(t)=E(y(t))z(t)+F(t)\xi(t),$$ (2.5)

где $\xi(t)$ есть ошибка измерений, удовлетворяющая ограничению

$$\xi(t)\in\Xi_1\subset{\bf R}^l~~\ (l\in\bf N).$$ (2.6)

Для всех $t\in\overline{0,\rm T}$ и фазовых векторов $y(t)\in{\bf R}^r$ объекта $I$ предполагается, что $E(y(t))$ и $F(t)$ - действительные матрицы размера $m\times s$ и $m\times l$ соответственно и для всех $y(t)$ матрица $E(y(t))$ имеет ранг $m,$ который равен размерности вектора $\omega(t)$; $\Xi_1$ - выпуклый, замкнутый и ограниченный многогранник (с конечным числом вершин) в пространстве ${\bf R}^l$. В течение процесса преследования-уклонения преследователь $P$ также знает множество ${Z(0)=Z_0 \subseteq{\rm Z}^*\subset{\bf R}^s}$ возможных начальных состояний объекта $II$, которые совместимы [1] с начальным сигналом $\omega_0$. Все уравнения и ограничения (2.1)-(2.6) для него также известны.

Рассматриваемый процесс преследования-уклонения оценивается значением расстояния между обоими объектами $I$ и $II$ в пространстве ${\bf R}^k$ (где $k\in{\bf N}; k\le r$; $k\le s$) в момент времени $\rm T$.

Тогда для системы (2.1)-(2.6) цель адаптивного минимаксного управления для процесса преследования-уклонения с точки зрения преследователя $P$ может быть сформулирована следующим образом: на заданном промежутке времени $\overline{0,\rm T}$ требуется, чтобы преследователь $P$ организовал управление $u(\cdot)=\{u(t)\}_{t\in\overline{0,\rm T-1}}$ (для всех $t\in\overline{0,\rm T-1}$, $u(t)\in{\rm U}_1$) позиционным образом (как реализацию адаптивной минимаксной стратегии из выбранного класса допустимых адаптивных стратегий), используя возможную (в силу (2.1)-(2.6)) реализацию сигнала $\omega(\cdot)=\{\omega(t)\}_{t\in\overline{0,\rm T}}$ совместно со всей другой доступной информацией об этом процессе, таким образом, чтобы было минимальным максимальное значение расстояния между реализациями векторов $\{y(\rm T)\}_k=(y_1(\rm T),y_2(\rm T), \cdots,y_k(\rm T))^{\prime}\in{\bf R}^k$ и $\{z(\rm T)\}_k= (z_1(\rm T),z_2(\rm T),\cdots,z_k(\rm T))^{\prime}\in{\bf R}^k$ (где $y(\rm T)$ есть реализация фазового вектора объекта $I$ в момент $\rm T$, соответствующая управлению $u(\cdot)$ и $z(\rm T)$ есть допустимая реализация фазового вектора объекта $II$ в момент $\rm T$, который можно оценить в этом процессе только как элемент его информационного множества [2]-[5]).

Предполагается, что уклоняющийся $E$ может иметь полную информацию о параметрах системы (2.1)-(2.6) на промежутке времени $\overline{0,\rm T}$ и его цель в процессе преследования-уклонения является диаметрально противоположной цели преследователя $P$.