2. Динамическая реструктуризация портфеля: методы теории гарантированного управления

Соотношения, описывающие изменения параметров $x$ и $V$, характеризующие случайные доходности активов, могут быть представлены стохастическими уравнениями. Данный подход был реализован , в частности, в работе [7], где уравнения для компонент вектора $x$ имеют вид

$$dx_i=a_idt +b_id\eta_i,\ \ \ i=1, \ldots, N,$$

$\eta_i$ - независимые стандартные винеровские процессы.

Мы будем рассматривать следующую постановку, также предполагая, что $x_i$ меняются во времени, но их динамика описывается дифференциальным включением

$$\frac{d\hat x}{dt}\in A(t)\hat x+Q(t),\ \ \ t_0 \le t\le \theta,$$ (2.1)

$$\hat x(t_0)=\hat x^0.$$ (2.2)

Многозначная функция $Q(t)$ отражает неопределенность в изменении доходностей. Будем предполагать, что отображение $Q(t)$ кусочно непрерывно по $t$ и при каждом фиксированном $t$ множества $Q(t)$ - выпуклые компакты, причем $0\in Q(t)$. Матрицу $V$ по-прежнему считаем постоянной и положительно определенной.

Допустим, что можно менять структуру портфеля в каждый момент $t\in [t_0, \theta]$ с ограниченной скоростью. Динамика изменения портфеля в этом случае описывается уравнением ${\displaystyle {\frac{dy}{dt}}}=u, y_0=1-(e,y)$, где $u$ - управляющее воздействие, стесненное ограничением: $u\in P(t)$; $P(t)$ обладает свойствами, аналогичными свойствам отображения $Q(t)$.

Цель управления состоит в поддержании эффективности портфеля и обеспечении его заданных характеристик по критериям риск-доходность. Содержательная постановка задачи предполагает выбор стратегии управления, реализующейся в виде управляющего воздействия $u=u[t]$, которое формируется по доступной к моменту времени $t$ информации и обеспечивает требуемые свойства портфеля. Названная стратегия представляет собой правило, определяющее динамику вектора распределения вложений в рисковые и безрисковый активы.

Формально допустимую стратегию управления определим как многозначное отображение $U=U(t, \hat x, \hat y)$, измеримое по $t$, полунепрерывное сверху по $\hat x, \hat y$, с выпуклыми компактными значениями $U(t, \hat x, \hat y)\subseteq P(t)$.

Динамическая реструктуризация портфеля формализуется следующим образом. Включения (2.1) и

$$\frac{dy}{dt}\in U(t, \hat x, \hat y)$$ (2.3)

при указанных предположениях имеют абсолютно непрерывное решение $\hat x(t), \hat y(t)$, где $y_0(t)=1-(e, y(t))$, $t_0\le t\le\theta$, для любых начальных условий (2.2) и

$$\hat y(t_0)= \hat y^0, \qquad y^0_0 =1-(e, y^0),$$ (2.4)

причем решение продолжимо на весь промежуток $[t_0, \theta]$.

Для каждого решения $\hat x(t)=(x_0(t), x(t))^T, \hat y(t)=(y_0(t), y(t))^T$ можно рассмотреть эволюцию характеристик портфеля, отражающую риск и доходность:

$$\mu(t)=y_0(t)x_0(t) +(y(t), x(t)),$$

$$\sigma(t)= (y^T(t)V^{-1}y(t))^{1/2}.$$

Множеству эффективных портфелей на плоскости $\mu, \sigma$ соответствует прямая, меняющаяся во времени. Для того чтобы портфель был эффективным, величины $\mu(t)$ и $\sigma(t)$ должны быть связаны соотношением

$$\mu(t)=x_0(t)+g(t)\sigma(t),$$

где $g(t, \hat x)=\sqrt{(x(t)-x_0(t)e)^TV^{-1}(x(t)-x_0(t)e)}= \Vert x(t)-x_0(t)e \Vert _{V^{-1}}$.

Цель управления - поддержать эффективность портфеля в рассматриваемом интервале времени. Рассмотрим случай, когда безрисковая ставка постоянна $x_0(t)=r_0$, т.е. ${\displaystyle {\frac{dx_0}{dt}}}=0$ и, кроме того, $A(t)\equiv 0$.

Тогда

$$\begin{array}{l} \mu(\hat x(t), \hat y(t)) = y_0(t)r_0+ (x(t... ...(y(t)) = \sqrt{(y^T(t)V y(t))}= \Vert y(t)\Vert _V .\end{array}$$

Динамическая эффективность портфеля обеспечивается равенством
$\mu(\hat x(t)$, $\hat y(t))=r_0+g(t)\sigma(t)$.

Пусть $\hat y^0$ - эффективный портфель для $\hat x^0$ с ожидаемым значением доходности $\mu^0=\mu^0(\hat x^0, \hat y^0)$ и риском $\sigma^0=\sigma(y^0)$.

Рассмотрим следующие задачи.

Задача 1. Указать допустимую стратегию управления $U=U(t, \hat x, \hat y)$, гарантирующую эффективность портфеля $\hat y(t)$ для $\hat x(t) \ \ (t_0\le t\le \theta)$, каковы бы ни были решения $\hat x(t), \hat y(t)$ дифференциальных включений (2.1)-(2.2), (2.3)-(2.4).

Задача 2. Указать допустимую стратегию управления, которая решает задачу 1 и обеспечивает предписанный уровень риска $\sigma(y(t))\le \sigma^0$.

Задача 2*. Указать допустимую стратегию управления, которая решает задачу 1 и обеспечивает предписанный уровень доходности
$\mu(\hat x(t),\hat y(t))\ge \mu^0$.

Будем предполагать выполненным следующее условие регулярности:

$$\Vert x^0-er_0\Vert _{V^{-1}}-\max\limits_{\Vert l\Vert _{V^{-1}}=1} \int\limits^\theta_ {t_0} \rho(l\mid V^{-1} Q(t))dt=d>0,$$ (2.5)

где $\rho(l\mid Q(t))$ - опорная функция множества $Q(t), \ \rho(l\mid Z)=\max\{(l,z)\mid z\in Z\}$.

Лемма 3   Неравенство $(\ref{eq25})$ обеспечивает соотношение

$$\Vert x(t)-r_0e\Vert _{V^{-1}}\ge d,$$ (2.6)

при всех $t\in [t_0, \theta]$, что означает невозможность ситуации, когда доходности всех рисковых активов одновременно близки к безрисковой процентной ставке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим величину $\Vert x(t)-r_0e\Vert _{V^{-1}}$.

Обозначим $v(\tau)$ производную функции $x(\tau)$, которая существует почти всюду на отрезке $[t_0, \theta], v(\tau)=\dot{x}(\tau)\in Q(\tau)$.

Так как $x(t)=x^0+ {\displaystyle {\int\limits^t_{t_0}}}v(\tau)d\tau$, то

$$\Vert x(t)-r_0e\Vert _{V^{-1}} \ge \Vert x^0-r_0e\Vert _{V^{... ...style {\int\limits^t_{t_0}}}v(\tau)d\tau\right\Vert _{V^{-1}}.$$ (2.7)

Учитывая, что $\Vert a\Vert _{V^{-1}}=\max\limits_{\Vert l\Vert _{V^{-1}}=1}(l,V^{-1}a)$, оценим последнее слагаемое:

$$\left\Vert\int\limits^t_{t_0}v(\tau)d\tau\right\Vert _{V^{-1... ...{V^{-1}}=1} \int\limits^\theta_{t_0}\rho(l\mid V^{-1} Q(t))dt.$$

Расширение промежутка интегрирования до $[t_0, \theta]$ возможно в силу того, что $Q(t)$ содержит ноль и подынтегральная функция в последнем равенстве неотрицательна.

Подставляя полученную оценку в (2.7) с учетом (2.5) приходим к требуемому соотношению (2.6).

Условия разрешимости задач 1 - 2* определяются соотношением между многозначными отображениями $Q(t)$ и $P(t)$. Ниже будет показано, что достаточным условием разрешимости задачи 2 является неравенство:

$$d\cdot\rho(l\mid P(t)) - \sigma^0\rho(l\mid V^{-1}Q(t)) \ge \sigma^0\max\limits_{\Vert q\Vert _V=1}\rho(q\mid Q(t))$$ (2.8)

$$\forall l:\Vert l\Vert _{V^{-1}}= 1\ \ \forall t:t\in [t_0; \theta],$$

а достаточным условием разрешимости задачи 2* - неравенство

$$d^2\cdot \rho(l\mid P(t))- (\mu^0-r_0) \rho(l\mid V^{-1}Q(t)) \ge{}$$

$${}\ge (\mu^0-r_0) \max\limits_{\Vert q\Vert _V=1}\rho(q\mid Q(t))$$ (2.9)

$$\forall l:\Vert l\Vert _{V^{-1}}= 1 \ \ \forall t:t\in [t_0; \theta].$$

Пусть $\hat x(t)=(r_0,x(t))^T$ - произвольное абсолютно непрерывное решение включения (2.1)-(2.2) (по предположению $x_0(t)\equiv r_0$).

Обозначим $z(t)={\displaystyle {\frac{V^{-1}(x(t)-r_0e)}{\Vert x(t)-r_0e\Vert _{V^{-1}}}}}\sigma^0$. Полагая $\tilde{x}(t)=x(t)-r_0e$, получим $z(t)= {\displaystyle {\frac{V^{-1}\tilde x(t)}{\Vert\tilde x(t)\Vert _{V^{-1}}}}}\sigma^0$. Обозначим через $R(t)$ множество значений ${\displaystyle {\frac{dz(t)}{dt}}}$, отвечающих возможным реализациям $z(t)$ при фиксированном значении $t$. В силу абсолютной непрерывности $x(t)$ и предположения (2.5) функция $z(t)$ имеет почти всюду производную ${\displaystyle {\frac{dz(t)}{dt}}}$, множество $R(t)$ составлено из значений производной тех реализаций, для которых производная существует при данном $t$.

Лемма 4   Пусть выполнены условие регулярности $(\ref{eq25})$ и неравенство $(\ref{eq6})$. Тогда $R(t)\subseteq P(t)$ при почти всех $t\in [t_0; \theta]$.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточным условием включения $R(t)\subseteq P(t)$ является условие $\rho(l\mid P(t))\ge \rho(l\mid R(t))$ для всех $l\in \Bbb{R}^N$.

Пусть выполнено условие (2.8). Тогда для $l:\Vert l\Vert _{V^{-1}}= 1$, имеем

$$d\cdot\rho(l\mid P(t))\ge\sigma^0\left[ \rho(l\mid V^{-1} Q(t))+ \max\limits_{\Vert q\Vert _V=1}\rho(q\mid Q(t))\right],$$

и так как $d>0$, то

$$\rho(l\mid P(t))\ge\frac{\sigma^0}{d}\left[ \rho(l\mid V^{-1}Q(t))+ \max\limits_{\Vert q\Vert _V=1}\rho(q\mid Q(t))\right].$$

По условию (2.6) $\Vert\tilde{x}(t)\Vert _{V^{-1}}\ge d$, поэтому

$$\rho(l\mid P(t))\ge\frac{\sigma^0}{\Vert\tilde{x}(t)\Vert _{... ...its_{v\in Q(t)}\max\limits_{\Vert q\Vert _V=1} (v,q)\right]\ge$$

$$\ge \frac{\sigma^0}{\Vert\tilde{x}(t)\Vert _{V^{-1}}} \max\l... ...-1}}}\right)\right\vert\max_{\Vert q\Vert _V=1} (v,q) \right).$$

Последнее неравенство справедливо, так как для $l$ таких, что $\Vert l\Vert _{V^{-1}}=1$ скалярное произведение $\vphantom{\displaystyle \int\limits {a^b}{a^b}} {\displaystyle { \left( l, \frac{V^{-1}\tilde{x}(t)}{\Vert\tilde{x}(t)\Vert _{V^{-1}}}\right)}}$ не превосходит $1$ по абсолютной величине как произведение двух $\vphantom{\int\limits {a^b}{a^b}}$ единичных векторов в пространстве с соответствующей нормой. Выберем в качестве $q$ вектор: $q^*=-{\displaystyle {\frac{V^{-1} \tilde{x}(t)}{\Vert\tilde{x}(t)\Vert _{V^{-1}}}}}$ - при ${\displaystyle {\left(l, \frac{V^{-1}\tilde{x}(t)}{\Vert\tilde{x}(t)\Vert}\right)}}>0$ и $q=-q^*$ в противном случае.

Имеем

$$\rho(l\mid P(t))\ge$$

$$\ge \frac{\sigma^0}{\Vert\tilde{x}(t)\Vert _{V^{-1}}} \max\l... ...tilde{x}(t)}{\Vert\tilde{x}(t)\Vert _{V^{-1}}}\right) \right).$$

Из равенства

$$\frac{dz}{dt}= \frac{\sigma^0}{\Vert\tilde{x}(t)\Vert _{V^{-... ...\tilde{x}(t)}{\Vert\tilde{x}(t)\Vert _{V^{-1}}}\right)\right),$$

справедливого при почти всех $t\in [t_0, \theta]$, выводим $\rho(l\mid P(t))\ge \rho(l\mid R(t))$ для любого $l\in R^N$.

В случае, когда $z(t)= {\displaystyle {\frac{V^{-1}\tilde{x} (t)}{\Vert\tilde{x}(t)\Vert^2_{V^{-1}}}}}(\mu^0-r_0)$, справедливо следующее утверждение.

Лемма 5   Пусть выполнены условия $(\ref{eq25})$ и $(\ref{eq7})$, тогда $R(t)\subseteq P(t)$ для почти всех $t\in [t_0; \theta]$.

Доказательство аналогично доказательству леммы 4.

Из неравенства (2.5) и (2.9) выводим:

$$\rho(l\mid P(t))\ge \frac{(\mu^0-r_0)}{\Vert\tilde{x}(t)\Ver... ...ts_{v\in Q(t)} \max\limits_{\Vert q\Vert _V=1}(v, q)\right]\ge$$

$$\ge \frac{(\mu^0-r_0)}{\Vert\tilde{x}(t)\Vert^2_{V^{-1}}}\m... ...-1}}}\right)\right\vert\max_{\Vert q\Vert _V=1}( v,q) \right).$$

Далее, учитывая, что

$$\frac{dz}{dt}= \frac{(\mu^0-r_0)}{\Vert\tilde{x}(t)\Vert^2_{... ...\tilde{x}(t)}{\Vert\tilde{x}(t)\Vert _{V^{-1}}} \right)\right)$$

при почти всех $t\in [t_0; \theta]$, приходим к неравенству $\rho(l\mid P(t))\ge \rho(l\mid R(t))$, откуда и следует справедливость утверждения леммы.

Используя леммы 4 и 5, можно установить следующий результат.

Теорема 2   При выполнении условия регулярности $(\ref{eq25})$ и условия
$(\ref{eq6})$ существует допустимая стратегия, решающая задачу $2$. Если выполнены условия $(\ref{eq25})$ и $(\ref{eq7})$, то найдется допустимая стратегия, решающая задачу $2^*$.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим многозначную функцию:

$$U^e(t,z,y)= \left\{ \begin{array}{lll} P(t), & \mbox{ если }... ...l_l\rho(z-y\mid P(t)),&\mbox{ если }&z\ne y,\end{array}\right.$$

где $z,y\in {\mathbb{R}}^N, \partial_l\rho(l\mid P(t))$ - субдифференциал функции $\rho(l\mid P(t))$ по аргументу $l$ .

Полагая

$$z=z^{(1)}=\frac{V^{-1}\tilde{x}}{\Vert\tilde{x}\Vert _{V^{-1... ...c{V^{-1}\tilde{x}}{\Vert\tilde{x}\Vert^2_{V^{-1}}}(\mu^0-r_0),$$

где $\tilde{x}=x-r_0e$, строим стратегии $U_0=U_0(t,\hat x,\hat y)=U^e(t,z^{(1)},y)$ и $U_0^*=U_0^*(t,\hat x,\hat y)=U^e(t,z^{(2)},y)$ соответственно.

Из определения $U^e$ и свойств отображения $P(t)$ следует полунепрерывность сверху отображений $U_0$ и $U_0^*$ по аргументам $\hat x, \hat y$ в области $\Vert x-r_0e\Vert _{V^{-1}}>0$ и измеримость по $t$. Таким образом, определенные выше стратегии являются допустимыми.

Пусть $\hat x(t), \hat y(t)$ - решения включений (2.1)-(2.2), (2.3)-(2.4), где в (2.3) $U(t, \hat x, \hat y)= U_0(t,\hat x, \hat y)$.

Для почти всех $t\in [t_0, \theta]$ справедлива следующая оценка:

$$\frac{d}{dt}((z(t)-y(t))^2)=2\, ((z(t)-y(t)), (\dot{ z}(t)-u^e(t)))={}$$

$${}=2\, ((z(t)-y(t), \dot{z}(t))-\max\limits_{u\in P(t)} ((z(t)-y(t), u))\le {}$$

$${}\le 2\,[ \max\limits_{\dot{z}\in R(t)} ((z(t)-y(t), \dot{z}(t))- \max\limits_{u\in P(t)} ((z(t)-y(t), u))]= {}$$

$${}=2\,[\rho(l(t)\mid R(t))- \rho(l(t)\mid P(t))],$$

где $l(t)=z(t)-y(t)$.

Используя лемму 4, получаем ${\displaystyle {\frac{d}{dt}}}((z(t)-y(t))^2)\le 0$. Из последнего неравенства и условия $z(t_0)=y(t_0)$ выводим, что $y(t) \equiv z(t)$. Следовательно, портфель является эффективным и обеспечивает заданный уровень
риска $\sigma^0$.

Если $U(t, \hat x, \hat y)= U_0^*(t,\hat x, \hat y)$, то аналогично в силу (2.6), (2.9) и леммы 5 снова получаем ${\displaystyle {\frac{d}{dt}}}((z(t)-y(t))^2)\le 0$. Следовательно, портфель является эффективным и обеспечивает заданный уровень доходности $\mu^0$.