3. Уточнение статистических параметров доходностей и изменение множества эффективных портфелей. Результаты вычислительных экспериментов

При реализации процедуры управления п. 2 в дискретном режиме времени возникает необходимость пересчитывать множество эффективных портфелей с учетом поступившей к данному моменту информации. Рассмотрим вопрос о том, как изменится множество эффективных решений (портфелей) при получении дополнительной информации (часто неточной и неполной) о доходностях активов. Под эффективным портфелем здесь, как и в п. 1, подразумевается оптимальное по Парето решение задачи с двумя критериями - максимума ожидаемой доходности и минимума риска. Для упрощения рассуждений распределения случайных величин, отвечающих ошибкам измерений, будем считать нормальными.

Пусть $\bar{x}, \ V_0$ - заданные числовые характеристики случайных доходностей активов $r_i, \ i=1,\ldots,N$ за фиксированный период

$$Mr= \bar x, \quad \ M(r-\bar x)(r-\bar x)^T=V_0>0,$$ (3.1)

$r=\{ r_1,\ldots, r_N\}, r_0$ - безрисковая процентная ставка на тот же период. Обозначим $Y^*=\{\lambda y^*\mid \lambda \ge 0\}$ - множество эффективных портфелей, $y^*= V^{-1}_0(\bar x-r_0e)$ - базисное эффективное решение. Пусть в начале периода поступила дополнительная информация о доходностях $m$ активов $r_1,\ldots,r_m, \ (m\le N)$:

$$z=H^Tr+\xi,$$ (3.2)

где $H=(E_{(m)}, 0)$ - $m\times N$ матрица, $E_{(m)}$ - единичная $m\times m$ матрица, $\xi$ - нормально распределенный $m$-вектор с известными характеристиками

$$M\xi =0, \ \ M\xi \xi^T=R>0.$$

Обозначим $Y(z)\subset {\mathbb{R}}^m$ - множество эффективных портфелей, состоящее из $m$ первых активов и соответсвующее информации (3.2) об их доходностях: $Y(z)=\{\lambda y(z)\mid \lambda \ge 0\}$, где $y(z)=R^{-1}(z-H^Te)$ - базисное эффективное решение.

Теорема 3   $\cite{tim}$ Множество эффективных портфелей $\hat Y$, найденное с учетом всей информации $(\ref{eq3.1})$ и $(\ref{eq3.2})$ о доходностях активов, определяется соотношениями

$$\hat Y= \{\lambda \hat y\mid\lambda\ge 0\}, \quad \hat y=y^*+Hy(z),$$ (3.3)

где $y^*\in \mathbb{R}^N$ и $y(z)\in {\mathbb{R}}^m$ - базисные эффективные решения, найденные по информации $(\ref{eq3.1})$ и $(\ref{eq3.2})$ соответственно.

Из теоремы 3 следует, что при полном наблюдении за доходностями активов, т.е. при $m=N$, соотношение между базисными эффективными управлениями имеет вид

$$\hat y=y^*+y(z).$$ (3.4)

Перейдем к динамической задаче управления портфелем. Остановимся на проблеме зависимости оптимальной динамической стратегии управления от способа оценивания статистических параметров модели, т.е. средних доходностей $r_i(t)$ и коэффициентов волатильности $g_{ij}(t)$. Ниже предлагается процедура нахождения множества эффективных портфелей на каждом шаге для модели изменения доходностей активов, являющейся разностным аналогом модели с изменяющимися средними значениями.

Пусть $t_0=0, \theta =T =K \Delta t$ и случайные доходности активов $r(t_k)=\{r_1(t_k),\ldots,r_n(t_k)\}$ на интервале $[t_k, t_{k+1}]$, $t_k=k \Delta t$, представимы в виде суммы двух составляющих:

$$r(t_k)= x(t_k)+\xi (t_k), \quad k=0,1,\ldots, K-1 ,$$ (3.5)

где $\xi(t_k)$ - случайные возмущения, не влияющие на последующие значения доходностей активов, $x(t)$ - медленно меняющаяся составляющая доходностей:

$$x(t_k+\Delta t)\in x(t_k)+q(t_k)\Delta t+\eta(t_k), \quad k=0,1,\ldots, K-1.$$ (3.6)

Будем предполагать, что $x(0)$, $\xi(t_k)$, $\eta(t_k)$ - независимые нормально распределенные векторы с заданными моментами распределений

$$Mx(0)=\bar x_0,\ \ \ M\xi(t_k)=M\eta(t_k)=0,$$

$$M(x(0)-\bar x_0)(x(0)-\bar x_0)^T=M_0,$$

$$M\xi(t_k)\xi^T(t_k)= V_k\Delta t>0, \ \ \ M\eta(t_k)\eta^T(t_k)= R_k\Delta t.$$

Статистическая информация о векторах $q(t_k)$ отсутствует, известны лишь области их возможных значений $Q_k$ - это заданные выпуклые компакты из ${\mathbb{R}}^n$.

Теорема 4   Пусть изменение доходностей активов описывается уравнениями $(\ref{eq3.5})$, $(\ref{eq3.6})$, тогда множество эффективных портфелей $Y^*_k$ на интервале $[t_k, t_k+\Delta t]$ определяется равенством

$$Y^*_k=\{\lambda y^*_k\mid\lambda\ge 0\} \quad \mbox{ и }\quad y^*_k\in \hat Y_k ,$$ (3.7)

где множества $\hat Y_k$ удовлетворяют рекуррентным соотношениям:

$$\hat Y_{k+1}=\tilde V^{-1}_{k+1}[(E-L_k)(\tilde V_k\hat Y_k +Q_k\Delta t) +L_k(r(t_k)-r_0e)]$$ (3.8)

$$L_k=M_kV^{-1}_k, \ \tilde V_k= M_k+V_k, \ \hat Y_0= (M_0+V_0)^{-1}(\bar x_0-r_0e),$$

$$M^{-1}_{k+1} =(M_k+R_k\Delta t)^{-1}+ V^{-1}_k,\ \ k=0,1,\ldots, K-1 .$$ (3.9)

Здесь $\bar x_0,\ M_0$ - заданы, $r_0$ - безрисковая процентная ставка.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В момент $t_k=k \Delta t$ нам известны значения доходностей на интервале $[0, t_k] :z_k(\cdot)=\{r(0),\ldots,r(t_k)\}$, по которым мы можем уточнить параметры распределения векторов $x(t_{k+1})$ и $r(t_{k+1})$. Обозначим апостериорные оценки среднего и дисперсии вектора $x(t_k)$:

$$\hat x_k=M(x(t_k)\mid z_{k-1}(\cdot)), \ \ \ M_k=M[(x(t_k)-\hat x_k)(x(t_k)-\hat x_k)^T\mid z_{k-1}(\cdot)].$$

Очевидно, что

$$M(r(t_k)\mid z_{k-1}(\cdot))=\hat x_k$$

и $\tilde V_k=M[(r(t_k)-\hat x_k)(r(t_k)-\hat x_k)^T\mid z_{k-1}(\cdot)]= V_k+M_k$, поэтому множество недоминируемых портфелей в момент $t_k$ имеет вид

$$Y^*_k= \{\lambda y^*_k\mid\lambda\ge 0\}, \ \ y^*_k\in \{(V_k+M_k)^{-1}(\hat x_k-r_0e), \ \hat x_k\in \hat X_k\}.$$

Здесь через $\hat X_k$ обозначено множество всех возможных апостериорных средних. Оценки информационных множеств $\hat X_k$ и матриц ковариаций $M_k$ определим с помощью процедуры оценивания состояния статистически неопределенных систем [15].

$$\hat X_{k+1} = (E-L_k)(\hat X_k+Q_k\Delta t)+L_kr(t_k),$$ (3.10)

$$L_k=M_kV^{-1}_k, \ \ \ M^{-1}_{k+1} = (M_k+R_k \Delta t)^{-1}+V^{-1}_k,\ \ \ k=0,1,\ldots,K-1.$$

Для базисного эффективного управления $y^*_k= \tilde V^{-1}_k(\hat x_k -r_0e)$, где $\hat x_k\in \hat X_k$ получаем: $y^*_k\in \hat Y_k$, где $\hat Y_k= \tilde V^{-1}_k(\hat X_k-r_0e)$. Из соотношений (3.10) для множеств апостериорных средних значений доходностей активов, найденных с учетом информации $z_k(\cdot)=\{r(0), \ldots,r(t_k)\}$, следуют соотношения (3.7)-(3.9) для базисного эффективного портфеля $Y^*(t_k)$.

Отметим, что множества $\hat Y_k$, описываемые разностными уравнениями (3.8), (3.9), линейно зависят от наблюдений $z_k(\cdot)$ и представимы в виде суммы

$$\hat Y_k= \tilde Y_k+\hat y(z_{k-1}(\cdot)),$$

где множества $\tilde Y_k$ не зависят от реализовавшихся до момента $t_k$ доходностей и могут быть найдены заранее. Полученные соотношения позволяют найти условия разрешимости задачи эффективного управления для модели (3.5), (3.6) аналогичные рассмотренным в п. 2.

В заключение остановимся на результатах вычислительных экспериментов, проведенных для апробации предложенных процедур управления инвестиционным портфелем. В качестве входных параметров использовались данные российского и зарубежных фондовых рынков. На приводимых ниже иллюстрациях отражены результаты расчетов для группы акций российских компаний: РАО ЕЭС, ЛУКойла, Сбербанка, Ростелекома, Сургутнефтегаза, Мосэнерго за период с октября 1998 по август 1999 года.

Рис. 1. Доходности акций и портфеля.

Первый рисунок дает представление о динамике доходностей указанных акций. На нем же горизонтальная линия соответствует доходности портфеля, который строится в соответствии с изложенным выше подходом - решением задачи 2*, предполагающей поддержание эффективности портфеля и гарантированного уровня доходности.

Рис. 2. Риск портфеля (задача 2*).

На рис. 2 изображены соответствующие значения риска, который в данном случае значительно меняется во времени.

На рис. 3, напротив, представлен график риска соответствующего портфеля для случая, когда решается задача 2 поддержания его заданного уровня.

Рис. 3. Риск портфеля (задача 2).

Рис. 4. Индекс устойчивости.

На рис. 4 представлен график изменения так называемого индекса
устойчивости, представляющего собой количественную оценку необходимого для успешного решения задачи 2* ресурса управления. Под ресурсом здесь понимается величина, характеризующая размеры множества $P(t)$, которое в данных расчетах предполагалось равным шару постоянного радиуса (прямая линия). Выбранный априори радиус шара на всем рассматриваемом промежутке обеспечивает выполнение неравенства (2.9), в которое вместо множества $Q(t)$ подставлены действительно реализовавшиеся значения неопределенных параметров. График изменения соответствующей величины лежит ниже указанной прямой, что отвечает выполнению условия разрешимости задачи.

Поступила 6.09.2000