next up previous
Next: 3 Основные идеи построения Up: KUMKOV Previous: 1 Постановка задачи



2. Схема построения информационных множеств


2.1 Формальное описание информационных множеств


Считаем известным начальное информационное множество $I(t_0)$. Оно формируется на основе предварительных сведений и по множеству неопределенности начального замера.

Пусть в некоторый момент времени $t_*$ информационное множество $I(t_*)$ построено, и следующий замер приходит в момент $t^* > t_*$. Определим множество прогноза $G(t^*)$ как множество достижимости системы (1.1) в момент времени $t^*$ из состояний, принадлежащих множеству $I(t_*)$ в момент $t_*$:

\begin{displaymath}
G(t^*) = \bigcup_{ u(\cdot), w(\cdot), \atop s \in I(t_*)}
\xi(t^*; t_*, s, u(\cdot), w(\cdot)).
\end{displaymath}

Здесь $\xi(t^*; t_*, s, u(\cdot), w(\cdot))$ - решение системы дифференциальных уравнений (1.1), доведённое до момента $t^*$, при начальном состоянии $s$ в момент $t_*$ и кусочно-непрерывных управлениях $u(\cdot)$ и $w(\cdot)$.

Множество неопределенности несёт новую информацию о системе, поэтому $I(t^*)$ определяется как пересечение множества прогноза $G(t^*)$ и множества неопределённости $H(t^*)$ пришедшего замера:


$\displaystyle I(t^*) = G(t^*) \bigcap H(t^*).$     (2.1)

Если в момент $t^*$ замер отсутствует, то операция пересечения не выполняется и полагается, что текущее информационное множество $I(t^*)$ совпадает с текущим множеством прогноза $G(t^*)$. Формально можно считать, что МН отсутствующего замера совпадает со всем пространством $\{ (x, y, \psi, V) \}$.

Таким образом, в каждый текущий момент ИМ определяется начальным множеством $I(t_0)$ и МН замеров, поступивших к этому моменту.

Система (1.1) нелинейна, множество прогноза невыпукло и имеет сложную структуру. Как следствие, достаточно сложно устроено пересечение (2.1). Для эффективного описания ИМ необходимо идти на некоторые упрощения, и мы сделаем их, используя разумным образом специфику системы.

2.2 Эквивалентное представление информационных множеств


Перепишем выражение (2.1), определяющее информационное множество, в удобном для нас эквивалентном виде.

Рассмотрим проекцию $ I^\diamondsuit (t_*)$ множества $I(t_*)$ на плоскость $\psi , V$. Каждой точке $(\psi, V) \in I^\diamondsuit (t_*)$ поставим в соответствие сечение $I_{ \psi, V}(t_*)$ информационного множества $I(t_*)$ плоскостью $\{ \psi = \mbox{const}, V = \mbox{const}\}$. Такие сечения будем рассматривать в проекции на плоскость $x, y$:

\begin{displaymath}
I_{ \psi, V}(t_*) =
\left \{ (x, y):\, (x, y, \psi, V) \in I(t_*) \right\}.
\end{displaymath}

Информационное множество $I(t_*)$ представим проекцией $ I^\diamondsuit (t_*)$ на
плоскость $\psi , V$ и множествами $I_{ \psi, V}(t_*)$ на плоскости $x, y$:


$\displaystyle I(t_*) = \bigcup_{(\psi, V) \in I^\diamondsuit (t_*)}
\left [ I_{ \psi, V}(t_*) \times (\psi, V) \right ].$     (2.2)

Аналогично запишем множество прогноза

$\displaystyle G(t^*) = \bigcup_{(\bar\psi, \bar V) \in G^\diamondsuit (t^*)}
\left [ G_{ \bar\psi, \bar V}(t^*) \times (\bar\psi, \bar V) \right ].$     (2.3)

С учетом (1.2), (2.3) формулу (2.1) можно переписать следующим образом:

$\displaystyle I(t^*) = \bigcup_{(\bar\psi, \bar V) \in G^\diamondsuit (t^*)}
\l...
...\psi, \bar V}(t^*) \bigcap H^\char93 (t^*))
\times (\bar\psi, \bar V) \right ].$     (2.4)

Выражение (2.4) записано в таком же виде, что и (2.2). Это следует из того, что

\begin{displaymath}
I_{ \bar\psi, \bar V}(t^*) = G_{ \bar\psi, \bar V}(t^*) \bigcap H^\char93 (t^*) ,
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
I^\diamondsuit (t^*) = \left \{ (\bar\psi, \bar V) \in G^\d...
...bar\psi, \bar V}(t^*) \bigcap H^\char93 (t^*) \ne \O\right \}.
\end{displaymath}

Представление множеств $I(t_*)$, $G(t^*)$, $I(t^*)$ в виде (2.2), (2.3), (2.4) позволяет в дальнейшем перейти к сетке на плоскости $\psi , V$ и рассматривать только те сечения, которые соответствуют узлам сетки.

2.3 Особенности динамики движения


Покажем, что в нашей задаче множества $ G^\diamondsuit (t^*)$ и $G_{ \bar\psi, \bar V}(t^*)$ можно вычислять непосредственно на основе множеств $ I^\diamondsuit (t_*)$ и $I_{ \psi, V}(t_*)$.

Зафиксируем пару управлений $u(\cdot)$, $w(\cdot)$ на интервале $[t_*, t^*)$. Рассмотрим множество прогноза $G(t^*, u(\cdot), w(\cdot))$ при начальном множестве $I(t_*)$ и управлениях $u(\cdot)$, $w(\cdot)$. Данное множество, как и множество $G(t^*)$, будем представлять проекцией $ G^\diamondsuit (t^*, u(\cdot), w(\cdot))$ на плоскость $\psi , V$ и сечениями $G_{\bar\psi, \bar V}(t^*, u(\cdot), w(\cdot))$.

Специфика динамики (1.1) состоит в том, что третье и четвертое уравнения можно интегрировать независимо от первых двух:


$\displaystyle V(t) = V(t_*) + \int \limits_{t_*}^{t}w (\tau) \,d\tau, \qquad
\psi(t) = \psi(t_*) + \int \limits_{t_*}^{t} { ku(\tau) \over V(\tau)} \,d\tau.$     (2.5)

Следовательно,
    $\displaystyle G^\diamondsuit (t^*, u(\cdot), w(\cdot)) =$  
    $\displaystyle = \left \{ \left (\psi + \displaystyle \int \limits_{t_*}^{t^*} {...
...{t^*}w(t) \,dt \right ) \!\! : \,
(\psi, V) \in I^\diamondsuit (t_*)
\right \}.$ (2.6)

Зафиксируем точку $(\psi, V) \in I^\diamondsuit (t_*)$. Фазовые координаты $x, y$ отсутствуют в правой части системы (1.1), поэтому интегрирование первых двух уравнений для начальных состояний из $I_{ \psi, V}(t_*)$ означает перенос на один и тот же вектор. Полагая


$\displaystyle \bar \psi = \psi(t^*), \quad \bar V = V(t^*),$     (2.7)

имеем

    $\displaystyle G_{\bar\psi, \bar V}(t^*, u(\cdot), w(\cdot)) =$  
    $\displaystyle = I_{\psi, V}(t_*) +
\left (\,\, \displaystyle \int \limits_{t_*}...
...\,dt, \,
\displaystyle \int \limits_{t_*}^{t^*}V(t) \cos{\psi(t)}\,dt \right ).$ (2.8)

Перебирая $(\psi, V) \in I^\diamondsuit (t_*)$, получим все сечения $G_{\bar\psi, \bar V}(t^*, u(\cdot), w(\cdot))$ множества прогноза $G(t^*, u(\cdot), w(\cdot))$.

Будем формально считать, что сечения $G_{\bar\psi, \bar V}(t^*, u(\cdot), w(\cdot))$ заданы для произвольных $(\bar \psi, \bar V)$. Если $(\bar \psi, \bar V) \in G^\diamondsuit (t^*, u(\cdot), w(\cdot)) $, т.е. $(\bar \psi, \bar V)$ соответствует некоторой паре $(\psi, V) \in I^\diamondsuit (t_*)$ в силу (2.5), (2.7), то сечение определяется формулой (2.8); иначе $G_{\bar\psi, \bar V}(t^*, u(\cdot), w(\cdot)) = \O $.

В целом, множество $ G^\diamondsuit (t^*)$ есть множество достижимости в силу третьего и четвертого уравнений системы (1.1) при начальном множестве $ I^\diamondsuit (t_*)$:


$\displaystyle G^\diamondsuit (t^*) =
\bigcup_{u(\cdot), w(\cdot)} G^\diamondsuit (t^*, u(\cdot), w(\cdot)).$     (2.9)

Множества $G_{ \bar\psi, \bar V}(t^*)$ вычисляются по формуле

$\displaystyle G_{\bar\psi, \bar V}(t^*) =
\bigcup_{u(\cdot), w(\cdot)}G_{\bar\psi, \bar V}(t^*, u(\cdot), w(\cdot)).$     (2.10)

2.4 Овыпукление сечений


При нахождении множеств $G_{ \bar\psi, \bar V}(t^*)$ имеем дело с объединением (2.10) множеств на плоскости $x, y$. Множества $G_{ \bar\psi, \bar V}(t^*)$ пересекаются затем с множеством $H^\char93 (t^*)$. Трудность состоит в том, что множества $G_{ \bar\psi, \bar V}(t^*)$ невыпуклы.

Условимся подменять множества $G_{ \bar\psi, \bar V}(t^*)$ их выпуклыми оболочками. Таким образом, одновременно с операцией (2.10) объединения множеств $G_{\bar\psi, \bar V}(t^*, u(\cdot), w(\cdot))$, вычисляем выпуклую оболочку. Получаем множество ${\bf G}_{\bar\psi, \bar V}(t^*) = \mbox{\boldmath conv } G_{ \bar\psi, \bar V}(t^*)$. Положим


$\displaystyle {\bf G}(t^*)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \bigcup_{(\bar\psi, \bar V) \in G^\diamondsuit (t^*)}
\left [{\bf G}_{\bar\psi, \bar V}(t^*) \times (\bar\psi, \bar V)\right ],$ (2.11)
       
$\displaystyle {\bf I}(t^*)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \bigcup_{(\bar\psi, \bar V) \in G^\diamondsuit (t^*)}
\left [ ( {...
...psi, \bar V}(t^*) \bigcap H^\char93  (t^*) )
\times (\bar\psi, \bar V)\right ].$ (2.12)

Формулы (2.11), (2.12) написаны для момента $t^*$ в предположении о применении операции овыпукления только на промежутке $[t_*, t^*]$. Имеем $G(t^*) \subset {\bf G}(t^*)$ и $I(t^*) \subset {\bf I}(t^*)$.

Если овыпукление проводить с начального момента $t_0$, то на момент $t_*$ будем иметь ${\bf I}(t_*)$ с выпуклыми сечениями ${\bf I}_{\psi, V}(t_*)$. Поэтому при нахождении множества ${\bf G}_{\bar\psi, \bar V}(t^*)$ будем строить выпуклую оболочку объединения выпуклых множеств.

Далее речь пойдет о построении множеств ${\bf G}$ и ${\bf I}$. Будем по-прежнему называть их множеством прогноза и информационным множеством.


next up previous
Next: 3 Основные идеи построения Up: KUMKOV Previous: 1 Постановка задачи
2003-05-05