2. Стохастическая программная конструкция.

Рассмотрим $w$-модель, описываемую дифференциальным уравнением

$${dw \over d\tau}=A(\tau)w+B(\tau)u+C(\tau)v,\ \ \ \ \tau\in[t_0,\vartheta] ,$$ (2.1)

где $w\in R^n,~ u\in P,~ v\in Q$.

Пусть реализовалась история $w[t_0[\cdot]\tau_*]$ движения модели (2.1), $t_0\leq \tau_*<\vartheta$. Назначим разбиение

$$\Delta_k=\Delta_k\{\tau_j\}=\{\tau_j:~\tau_1=\tau_*,~\tau_j<\tau_{j+1},~ j=1,\ldots,k,~\tau_{k+1}=\vartheta\},$$ (2.2)

в которое включим все моменты $t_{\alpha}^{[i_{\alpha}]}\geq \tau_*$ разбиений $\Delta_{t_{\alpha}^{[i_{\alpha}]}}$, $\alpha=1,2$. Рассмотрим вероятностное пространство $\{\Omega,B,$P$\}$, элементарные события которого $\omega=\{\xi_1,\ldots,\xi_k\}$. Здесь $\xi_j \in [0,1],~j=1,\ldots,k$ - равномерно распределенные случайные величины, связанные с моментами $\tau_j$ разбиения (2.2), $\Omega=\{\omega\}$ - единичный куб в $k$-мерном пространстве, $B$ - борелевская $\sigma$-алгебра для этого куба, P=P(B) - лебегова мера, В $\in B$. Введем стохастические неупреждающие ([2, стр. 292]) программы

$${u[\cdot]=\{u[\tau,\omega]=}$$

$$= u[\tau,\xi_1,\ldots,\xi_j]\in P, \ \tau_j\leq \tau<\tau_{j+1},~j=1,\ldots,k,~ \omega\in\Omega\},$$ (2.3)

$${ v[\cdot]=\{v[\tau,\omega]=}$$

$$= v[\tau,\xi_1,\ldots,\xi_j]\in Q, \tau_j\leq \tau<\tau_{j+1},~j=1,\ldots,k,~ \omega\in\Omega\},$$ (2.4)

которые по совокупности аргументов являются измеримыми по Борелю функциями. Символами $D_u(T\times\Omega)$ и $D_v(T\times\Omega)$ (здесь $T=[\tau_*,\vartheta)$) обозначим множества всех допустимых программ (2.3) и (2.4) соответственно. Из исходной позиции $\{\tau_*,w_*=w[\tau_*]\}$ программы $u[\cdot]\in D_u(T\times\Omega)$ и $v[\cdot]\in D_v(T\times\Omega)$ порождают случайные движения $w$-модели ([2, стр. 292]), ([15, стр. 158])

$$w_{v[\cdot],u[\cdot]}[\tau,\omega]=X[\tau,\tau_*]w[\tau_*] +... ...\tau,\eta](B(\eta)u[\eta,\omega]+ C(\eta)v[\eta,\omega])d\eta,$$ (2.5)

где $~\tau \in [\tau_*,\vartheta],~ \omega\in \Omega$, $X[\tau,\eta]$ - фундаментальная матрица решений уравнения $dx/d\tau=A(\tau)x$. Функции $w_{v[\cdot],u[\cdot]}[\tau,\omega]$ будут измеримы по совокупности переменных $\tau$, $\omega$. На базе $\{\Omega,B,$P$\}$ определим линейное пространство ${\bf L}^{(1)}(\Omega)$ с элементами ${\bf s}(\cdot)=\{{\bf s}(\omega), \omega \in \Omega\}$, ${\bf s}(\omega)=\{s_1^{[1]}(\omega),\ldots,s_1^{[N_1]}(\omega),$
$s_2^{[1]}(\omega),\ldots,s_2^{[N_2]}(\omega)\}$, где компоненты $s_{\alpha}^{[i_{\alpha}]}(\omega)$ ( $i_{\alpha}=1,\ldots,N_{\alpha}$ $\alpha=1,2$) - $n$-мерные случайные величины, определенные на $\{\Omega,B,$P$\}$, для которых $M\{\mu_{\alpha}^{[i_{\alpha}]}(s_{\alpha}^{[i_{\alpha}]}(\omega))\}< \infty$. Здесь и далее символ $M\{\ldots\}=\int_{\Omega} \ldots$P$(d \omega)$ означает математическое ожидание (интеграл Лебега) ([15, стр. 197]). Определим также норму в ${\bf L}^{(1)}(\Omega)$ равенством

$$\Vert{\bf s}(\cdot)\Vert=M\left\{\sum\limits_{i_1=1}^{N_1}\m... ...eq i_2\leq N_2}\{\mu_2^{[i_2]}(s_2^{[i_2]}(\omega))\}\right\}.$$

Пусть

$$g_{\alpha}(\tau)=\min\{i_{\alpha}~:t_{\alpha}^{[i_{\alpha}]}\geq \tau\}, \quad \tau \in [t_0,\vartheta], \quad \alpha=1,2.$$ (2.6)

Реализовавшаяся история $w[t_0[\cdot]\tau_*]$ и пара стохастических программ (2.3), (2.4) порождают в силу (2.5) элемент ${\bf y}(\cdot)={\bf y}(\cdot;w[t_0[\cdot]\tau_*],v[\cdot],u[\cdot],\Delta_k)$ из ${\bf L}^{(1)}(\Omega)$ с компонентами $y_{\alpha}^{[i_{\alpha}]}(\omega)=w[t_{\alpha}^{[i_{\alpha}]}]$, $i_{\alpha}=1,\ldots,g_{\alpha}(\tau_*)-1$, $y_{\alpha}^{[i_{\alpha}]}(\omega)=w_{v[\cdot],u[\cdot]}[t_{\alpha}^{[i_{\alpha}]},\omega]$, $i=g_{\alpha}(\tau_*),\ldots,N_{\alpha}$, $\alpha=1,2$.

Следуя методу стохастического программного синтеза ([2],[6]) и принимая во внимание вид рассматриваемого функционала качества $\gamma$ (1.3), введем величину стохастического программного максимина

$$\rho(w[t_0[\cdot]\tau_*],\Delta_k\{\tau_j\})= \sup_{v[\cdot]... ...mega)}\Vert{\bf y}(\cdot)\Vert, \quad t_0\leq\tau_*<\vartheta,$$ (2.7)

Удобно перейти к двойственному описанию величины (2.7). Через ${\bf L}^{(\infty)}(\Omega)$ обозначим пространство случайных величин ${\bf l}(\cdot)=\{{\bf l}(\omega), \omega \in \Omega\}$, ${\bf l}(\omega)=\{l_1^{[1]}(\omega),\ldots,l_1^{[N_1]}(\omega)$, $l_2^{[1]}(\omega)$, $\ldots,l_2^{[N_2]}(\omega)\}$, где компоненты $l_{\alpha}^{[i_{\alpha}]}(\omega)$ - $n$-мерные случайные величины, определенные на $\{\Omega,B,$P$\}$, для которых
$$\mathrm{vrai}\max_{\omega \in \Omega}\mu_{\alpha}^{*[i_{\alpha}]} (l_{\alpha}^{[i_{\alpha}]}(\omega)) < \infty$$. Здесь $\mu_{\alpha}^{*[i_{\alpha}]}(\cdot)$ - норма, сопряженная с нормой $\mu_{\alpha}^{[i_{\alpha}]}(\cdot)$, $i_{\alpha}=1,\ldots,N_{\alpha}$, $\alpha=1,2$. Норму в ${\bf L}^{(\infty)}(\Omega)$ введем по формуле

$$\Vert{\bf l}(\cdot)\Vert^*= \max \left\{\max_{1 \leq i_1\leq... ...\max_{\omega \in \Omega}\mu_1^{*[i_1]}(l_1^{[i_1]}(\omega))\},$$

$$\left. \mathrm{vrai}\max_{\omega \in \Omega}\sum_{i_2=1}^{N_2} \mu_2^{*[i_2]}(l_2^{[i_2]}(\omega))\right\}.$$

Пусть

$$h_{\alpha}(\tau)=\max\{i_{\alpha}~:t_{\alpha}^{[i_{\alpha}]}\le \tau\}, \quad \tau \in [t_0,\vartheta], \quad \alpha=1,2.$$ (2.8)

(Если нет ни одного номера $i_{\alpha}$ такого, что $t_{\alpha}^{[i_{\alpha}]}\le \tau$, полагаем $h_{\alpha}(\tau)=0$). Обозначим

$$m_{(\tau_*)}({\bf l}(\cdot))=\sum_{i_1=g_1(\tau_{*})}^{N_1}{X^T[t_1^{[i_1]},\vartheta] M\{l_1^{[i_1]}(\omega)\}}+ \mbox{}$$

$$\mbox{}+ \sum_{i_2=g_2(\tau_{*})}^{N_2}{X^T[t_2^{[i_2]},\vartheta] M\{l_2^{[i_2]}(\omega)\}},$$ (2.9)

$$m^{(\tau_j)}({\bf l}(\cdot);\xi_1,\ldots,\xi_j)=\sum_{i_1=h_... ...heta]M\{l_1^{[i_1]}(\omega)\vert\xi_1,\ldots,\xi_j\}}+ \mbox{}$$

$$+\sum_{i_2=h_2(\tau_{j})+1}^{N_2} {X^T[t_2^{[i_2]},\vartheta]M\{l_2^{[i_2]}(\omega)\vert\xi_1,\ldots,\xi_j\}}, ~j=1,\ldots,k.$$ (2.10)

Здесь $M\{\ldots \mid \ldots\}$ - условное математическое ожидание.

Определим величину программного экстремума

$$\begin{array}{c} \displaystyle e(w[t_0[\cdot]\tau_*],\Delta_... ...{\bf l}(\cdot)),\\ [2ex] t_0\leq\tau_*<\vartheta. \end{array}$$ (2.11)

Здесь

$$\chi (w[t_0[\cdot]\tau_*],\Delta_k,{\bf l}(\cdot))= \sigma (w[t_0[\cdot]\tau_*],{\bf l}(\cdot))+ \mbox{}$$

$$\mbox{}+\langle m_{(\tau_*)}({\bf l}(\cdot)),X[\vartheta,\ta... ...j}(\tau_*,m^{(\tau_j)} ({\bf l}(\cdot);\xi_1,\ldots,\xi_j))\},$$ (2.12)

$$\sigma (w[t_0[\cdot]\tau_*],{\bf l}(\cdot))=\sum_{i_1=1}^{g_... ...\langle M\{l_1^{[i_1]}(\omega)\},w[t_1^{[i_1]}]\rangle+\mbox{}$$

$$\mbox{}+ \sum_{i_2=1}^{g_2(\tau_*)-1}\langle M\{l_2^{[i_2]}(\omega)\},w[t_2^{[i_2]}]\rangle,$$ (2.13)

$$\begin{array}{c} \displaystyle \Delta\psi_j(\tau_*;m)= \int ... ...e d\tau,\\ [3ex] \quad m\in R^n,\quad j=1,\ldots,k, \end{array}$$ (2.14)

где $\langle \ldots,\ldots \rangle$ - скалярное произведение векторов. При этом в (2.13) результат суммирования по убывающему индексу полагаем равным нулю. Отметим, что $\Delta\psi_j(\tau_*;m)$ - непрерывные по $m$ функции.

Проверим, что для всякой исходной истории $w[t_0[\cdot]\tau_*]$, $\tau_* \in [t_0,\vartheta)$ при всяком разбиении $\Delta_k$ (2.2) справедливо равенство

$$\rho(w[t_0[\cdot]\tau_*],\Delta_k)=e(w[t_0[\cdot]\tau_*],\Delta_k).$$ (2.15)

Пусть зафиксирована стохастическая программа $v^*[\cdot]\in D_v(T\times\Omega)$. Перебирая все программы $u[\cdot]\in D_u(T\times\Omega)$ получим множество:

$${\bf Z}(v^*[\cdot])=\left\{{\bf z}(\cdot):{\bf z}(\cdot)= {\... ...t],u[\cdot],\Delta_k), ~u[\cdot]\in D_u(T\times\Omega)\right\}$$

случайных величин ${\bf z}(\cdot) \in {\bf L}^{(1)}(\Omega)$. Это множество будет непустым и выпуклым. Обозначим

$$\left({\bf l}(\cdot),{\bf s}(\cdot)\right) =\int \limits_\Om... ...}(\omega), s_2^{[i_2]}(\omega)\right>\right ]{\rm P}(d\omega).$$ (2.16)

Согласно [12, стр. 153] любой линейный функционал, определенный на элементах ${\bf s}(\cdot)\in {\bf L}^{(1)}(\Omega)$ представим в виде (2.16) при ${\bf l}(\cdot)\in {\bf L}^{(\infty)}(\Omega)$. Опираясь на теорему об отделимости выпуклых множеств (см. [11, стр. 107]) можно показать, что для всякой программы $v[\cdot]\in D_v(T\times\Omega)$ имеет место равенство

$$\inf_{{\bf z}(\cdot) \in Z(v[\cdot])}\sup_{\Vert {\bf l}(\cd... ... \in Z(v[\cdot])} \left({\bf l}(\cdot),{\bf z}(\cdot)\right).$$ (2.17)

Далее принимая во внимание (2.5), (2.13),(2.16), неупреждаемость программ (2.3), (2.4) и определение условного математического ожидания, вычисляем

$$\left({\bf l}(\cdot),{\bf z}(\cdot)\right)= \sigma (w[t_0[\... ...tau_*)}({\bf l}(\cdot)),X[\vartheta,\tau_*]w_*\rangle +\mbox{}$$

$$\mbox{}+M\left\{\sum_{j=1}^k \int \limits_{\tau_j}^{\tau_{j+... ...rtheta,\tau](B(\tau)u[\tau,\xi_1,\ldots,\xi_j]+\mbox{} \right.$$

$$\left. \vphantom{\sum_{j=1}^k} \mbox{}+ C(\tau)v[\tau,\xi_1,\ldots,\xi_j])\rangle d\tau \right\}.$$ (2.18)

Построим стохастические программы $u^0[\cdot]$, $v^0[\cdot]$ из условий

$${\langle m^{(\tau_j)}({\bf l}(\cdot);\xi_1,\ldots,\xi_j), X[\vartheta,\tau]B(\tau)u^0[\tau,\omega]\rangle=}$$

$$ = \min_{u \in P}\langle m^{(\tau_j)} ({\bf l}(\cdot);\xi_1,\ldots,\xi_j), X[\vartheta,\tau]B(\tau)u \rangle,$$ (2.19)

$${\langle m^{(\tau_j)}({\bf l}(\cdot);\xi_1,\ldots,\xi_j), X[\vartheta,\tau]C(\tau)v^0[\tau,\omega]\rangle=}$$

$$ = \max_{v \in Q}\langle m^{(\tau_j)}({\bf l}(\cdot);\xi_1,\ldots,\xi_j), X[\vartheta,\tau]C(\tau)v \rangle,$$ (2.20)

$$\tau_j \leq \tau<\tau_{j+1},\quad j=1,...,k.$$

Так построенные программы допустимы, так что $u^0[\cdot]\in D_u(T\times\Omega)$, $v^0[\cdot]\in D_v(T\times\Omega)$. Поэтому из (2.12)-(2.14), (2.18)-(2.20) вытекает равенство

$$\sup_{v[\cdot]} \inf_{{\bf z}(\cdot) \in Z(v[\cdot])}\left({... ...t)\right)= \chi (w[t_0[\cdot]\tau_*],\Delta_k,{\bf l}(\cdot)).$$ (2.21)

Из (2.17), используя затем возможность перестановки местами двух операций взятия верхней грани и учитывая (2.21), получаем равенства

$$\rho(w[t_0[\cdot]\tau_*],\Delta_k)=\sup_{v[\cdot]}\inf_{{\bf... ...t) \Vert^* \leq 1} \left({\bf l}(\cdot),{\bf z}(\cdot)\right)=$$

$$=\sup_{\Vert {\bf l}(\cdot) \Vert^* \leq 1} \sup_{v[\cdot]}\... ...^* \leq 1} \chi (w[t_0[\cdot]\tau_*],\Delta_k,{\bf l}(\cdot)),$$

которые, согласно (2.11), доказывают равенство (2.15).

Обратимся теперь к случаю, когда $\tau_*=\vartheta$. В этом случае величины $\rho(\cdot)$ и $e(\cdot)$ определим формально равенствами $\rho(w[t_0[\cdot]\vartheta],\Delta_k)=$
$e(w[t_0[\cdot]\vartheta],\Delta_k)=$ $\gamma(w[t_0[\cdot]\vartheta]),$ где теперь символом $\Delta_k$ обозначено множество, состоящее из одной точки $\{\tau_1=\tau_*=\vartheta\}$.