Next: 3 Стабильность стохастического программного
Up: KOVR1
Previous: 1 Постановка задачи.
Рассмотрим
-модель, описываемую
дифференциальным уравнением
![\begin{displaymath}
{dw \over d\tau}=A(\tau)w+B(\tau)u+C(\tau)v,\ \ \ \ \tau\in[t_0,\vartheta] ,
\end{displaymath}](img42.gif) |
(2.1) |
где
.
Пусть реализовалась история
движения модели (2.1),
.
Назначим разбиение
 |
(2.2) |
в которое включим все моменты
разбиений
,
.
Рассмотрим вероятностное пространство
P
,
элементарные события которого
.
Здесь
- равномерно
распределенные случайные величины, связанные с моментами
разбиения (2.2),
- единичный куб
в
-мерном пространстве,
- борелевская
-алгебра
для этого куба, P=P(B) - лебегова мера, В
. Введем стохастические неупреждающие ([2, стр. 292]) программы
которые по совокупности аргументов являются измеримыми по Борелю
функциями. Символами
и
(здесь
) обозначим множества
всех допустимых программ (2.3) и (2.4) соответственно.
Из исходной позиции
программы
и
порождают случайные
движения
-модели ([2, стр. 292]), ([15, стр. 158])
![\begin{displaymath}
w_{v[\cdot],u[\cdot]}[\tau,\omega]=X[\tau,\tau_*]w[\tau_*] +...
...\tau,\eta](B(\eta)u[\eta,\omega]+
C(\eta)v[\eta,\omega])d\eta,
\end{displaymath}](img71.gif) |
(2.5) |
где
,
- фундаментальная матрица решений уравнения
. Функции
будут измеримы по совокупности переменных
,
. На базе
P
определим
линейное пространство
с элементами
,
,
где компоненты
(
) -
-мерные случайные
величины, определенные на
P
, для которых
. Здесь и далее символ
P
означает
математическое ожидание (интеграл Лебега) ([15, стр. 197]).
Определим также норму в
равенством
Пусть
![\begin{displaymath}
g_{\alpha}(\tau)=\min\{i_{\alpha}~:t_{\alpha}^{[i_{\alpha}]}\geq \tau\},
\quad \tau \in [t_0,\vartheta], \quad \alpha=1,2.
\end{displaymath}](img88.gif) |
(2.6) |
Реализовавшаяся история
и пара стохастических
программ (2.3), (2.4) порождают в силу (2.5)
элемент
из
с компонентами
,
,
,
,
.
Следуя методу стохастического программного синтеза ([2],[6])
и принимая во внимание вид рассматриваемого функционала качества
(1.3), введем величину стохастического программного максимина
![\begin{displaymath}
\rho(w[t_0[\cdot]\tau_*],\Delta_k\{\tau_j\})=
\sup_{v[\cdot]...
...mega)}\Vert{\bf y}(\cdot)\Vert,
\quad t_0\leq\tau_*<\vartheta,
\end{displaymath}](img94.gif) |
(2.7) |
Удобно перейти к двойственному описанию величины (2.7).
Через
обозначим пространство
случайных величин
,
,
,
,
где компоненты
-
-мерные случайные
величины, определенные на
P
, для которых
.
Здесь
- норма, сопряженная с нормой
,
,
.
Норму в
введем по формуле
Пусть
![\begin{displaymath}
h_{\alpha}(\tau)=\max\{i_{\alpha}~:t_{\alpha}^{[i_{\alpha}]}\le \tau\},
\quad \tau \in [t_0,\vartheta], \quad \alpha=1,2.
\end{displaymath}](img106.gif) |
(2.8) |
(Если нет ни одного номера
такого, что
,
полагаем
). Обозначим
![\begin{displaymath}
\mbox{}+
\sum_{i_2=g_2(\tau_{*})}^{N_2}{X^T[t_2^{[i_2]},\vartheta]
M\{l_2^{[i_2]}(\omega)\}},
\end{displaymath}](img111.gif) |
(2.9) |
![\begin{displaymath}
+\sum_{i_2=h_2(\tau_{j})+1}^{N_2}
{X^T[t_2^{[i_2]},\vartheta]M\{l_2^{[i_2]}(\omega)\vert\xi_1,\ldots,\xi_j\}},
~j=1,\ldots,k.
\end{displaymath}](img113.gif) |
(2.10) |
Здесь
- условное математическое ожидание.
Определим величину программного экстремума
![\begin{displaymath}
\begin{array}{c} \displaystyle
e(w[t_0[\cdot]\tau_*],\Delta_...
...{\bf l}(\cdot)),\\ [2ex]
t_0\leq\tau_*<\vartheta.
\end{array}\end{displaymath}](img115.gif) |
(2.11) |
Здесь
 |
(2.12) |
![\begin{displaymath}
\mbox{}+
\sum_{i_2=1}^{g_2(\tau_*)-1}\langle M\{l_2^{[i_2]}(\omega)\},w[t_2^{[i_2]}]\rangle,
\end{displaymath}](img119.gif) |
(2.13) |
![\begin{displaymath}
\begin{array}{c}
\displaystyle
\Delta\psi_j(\tau_*;m)=
\int ...
...e d\tau,\\ [3ex]
\quad m\in R^n,\quad j=1,\ldots,k,
\end{array}\end{displaymath}](img120.gif) |
(2.14) |
где
- скалярное произведение векторов.
При этом в (2.13) результат суммирования по убывающему индексу
полагаем равным нулю. Отметим, что
- непрерывные
по
функции.
Проверим, что для всякой исходной истории
,
при всяком разбиении
(2.2) справедливо равенство
![\begin{displaymath}
\rho(w[t_0[\cdot]\tau_*],\Delta_k)=e(w[t_0[\cdot]\tau_*],\Delta_k).
\end{displaymath}](img126.gif) |
(2.15) |
Пусть зафиксирована стохастическая программа
. Перебирая все программы
получим множество:
случайных величин
.
Это множество будет непустым и выпуклым.
Обозначим
![\begin{displaymath}
\left({\bf l}(\cdot),{\bf s}(\cdot)\right)
=\int \limits_\Om...
...}(\omega),
s_2^{[i_2]}(\omega)\right>\right ]{\rm P}(d\omega).
\end{displaymath}](img130.gif) |
(2.16) |
Согласно [12, стр. 153] любой линейный функционал,
определенный на элементах
представим в виде (2.16) при
. Опираясь на теорему об отделимости выпуклых множеств
(см. [11, стр. 107])
можно показать, что для всякой программы
имеет место равенство
![\begin{displaymath}
\inf_{{\bf z}(\cdot) \in Z(v[\cdot])}\sup_{\Vert {\bf l}(\cd...
... \in Z(v[\cdot])}
\left({\bf l}(\cdot),{\bf z}(\cdot)\right).
\end{displaymath}](img133.gif) |
(2.17) |
Далее принимая во внимание (2.5), (2.13),(2.16),
неупреждаемость программ (2.3), (2.4)
и определение условного математического ожидания, вычисляем
![\begin{displaymath}
\left. \vphantom{\sum_{j=1}^k}
\mbox{}+ C(\tau)v[\tau,\xi_1,\ldots,\xi_j])\rangle d\tau \right\}.
\end{displaymath}](img136.gif) |
(2.18) |
Построим стохастические программы
,
из условий
Так построенные программы допустимы, так что
,
.
Поэтому из (2.12)-(2.14), (2.18)-(2.20) вытекает равенство
![\begin{displaymath}
\sup_{v[\cdot]}
\inf_{{\bf z}(\cdot) \in Z(v[\cdot])}\left({...
...t)\right)=
\chi (w[t_0[\cdot]\tau_*],\Delta_k,{\bf l}(\cdot)).
\end{displaymath}](img147.gif) |
(2.21) |
Из (2.17), используя затем возможность
перестановки местами двух операций взятия верхней грани и
учитывая (2.21), получаем равенства
которые, согласно (2.11), доказывают равенство (2.15).
Обратимся теперь к случаю, когда
.
В этом случае величины
и
определим формально
равенствами
где теперь символом
обозначено множество,
состоящее из одной точки
.
Next: 3 Стабильность стохастического программного
Up: KOVR1
Previous: 1 Постановка задачи.
2003-04-28