7. Примеры

П р и м е р 7.1. Пусть в (2.1), (2.2) гамильтониан $H$ определяется равенством

$$H(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],s)=\left\langle l(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t]),\ s\right\rangle +h(t,x[t_{*}[\cdot ]t]),$$ (7.1)

где $l:G\mapsto \mathbb{R}^{n}$, $h:G\mapsto \mathbb{R}$ - непрерывные функции, уловлетворяющие локальному условию Липшица по $x[t_{\ast }[\cdot ]t]$ и оценке

$$\left(\left\Vert l(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\right\Vert^2 +h^... ...\ast }\leq \tau \leq t}\left\Vert x[\tau ]\right\Vert \right).$$

В данном случае удобно взять

$$\begin{array}{c} P=Q=\{0\}\subset \mathbb{R},\\ [1ex] F^{\as... ...=(l(t,x[t_{*}[\cdot ]t]),h(t,x[t_{*}[\cdot ]t]))\}. \end{array}$$

Тогда будут выполнены условия ($\alpha$), ($\beta$) из п.4, при этом включения (4.8), (4.9) обратятся в дифференциальное уравнение с последействием

$${d\overline{x}[t] \over dt}=f(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t]),\quad \overline{x}=(x,z)\in \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}.$$ (7.2)

Для любого начального условия $\overline{g}^{0}=\left\{g^0=(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}])\in G,\right.$
$\left. z^0[t_{*}[\cdot ]t^0]\equiv 0\right\}$ согласно [1, стр.79] существует единственное решение

$$\overline{x}([t_{\ast }[\cdot ]T]\mid g^{0}) =\left(x([t_{\a... ...\cdot ]T]\mid g^{0}),z([t_{\ast }[\cdot ]T]\mid g^{0}) \right)$$

уравнения (7.2). Следовательно, в этом случае

$$\overline{X}^{\ast }(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}], {\... ...d F_{\ast })=\{\overline{x}([t_{\ast }[\cdot ]T]\mid g^{0})\}.$$

Отсюда в силу (4.10)-(4.13) получаем, что минимаксным решением рассматриваемой задачи будет функционал

$$\begin{array}{l} \varphi (t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}... ...\ g^{0}=(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}])\in G \end{array}$$ (7.3)

В частности, в задаче (2.4) функционал (2.5) будет минимаксным решением.

Отметим, что если функционал (7.3) окажется ${\rm ci}$-дифференцируемым, то он будет удовлетворять уравнению (2.1), (7.1).

П р и м е р 7.2. Пусть $t_{\ast }=t_{0}<T$, $t\in \lbrack t_{0},T]$, $x\in \mathbb{R}$ $(n=1)$. Рассмотрим задачу

$$\begin{array}{c} \partial _{t}\varphi (t,x[t_{0}[\cdot ]t])+... ...\left\{ \vert x[t_1]\vert,\vert x[t_2]\vert\right\} \end{array}$$ (7.4)

где $t_1$ и $t_2$ ( $t_0\leq t_1<t_2=T$) - зафиксированы.

Здесь минимаксным решением является функционал

$$\varphi (t^0,x^0[t_{0}[\cdot ]t^0])=$$

$$=\left\{ \begin{array}{l} \vert x^0[t^0]\vert+(T-t^0)\sqrt{2... ...rt-\vert x^0[t^0]\vert>(T-t^0)(\sqrt{2}-1). \end{array}\right.$$ (7.5)

Это можно проверить взяв

$$\begin{array}{l} P=\{0\}\subset \mathbb{R},\quad Q=\{q=(s,r)... ...h)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}: l^2+h^2\leq 1\}. \end{array}$$

Заметим, что функционал (7.5) будет оптимальным результатом в задаче управления системой

$${dx \over dt}=v, \quad x\in \mathbb{R}, \ \vert v\vert \leq 1, \ t_{0}\leq t\leq T$$

на максимум показателя качества

$$\gamma =\max\{\vert x[t_1]\vert,\vert x[t_2]\vert\}+ \int\limits_{t^0}^{T}(1-v^2[t])^{1/2}dt ,$$

где $t^0\in[t_0,T)$ - момент времени начала процесса управления ( $x^0[t_0[\cdot ]t^0]$ - история движения, реализовавшаяся к моменту $t^0$).

П р и м е р 7.3. Пусть $\vartheta={\rm const}>0$, $t_{\ast }=t_{0}-\vartheta$, $t_{0}<T$, $t\in [t_{0},T]$, $x\in \mathbb{R}$ $(n=1)$. Рассмотрим задачу

$$\begin{array}{c} \partial _{t}\varphi (t,x[t_{\ast }[\cdot ]... ...T,x[t_{\ast }[\cdot]T])=\left\vert x[T]\right\vert. \end{array}$$ (7.6)

Минимаксным решением этой задачи является функционал

$$\begin{array}{c} \varphi (t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])=\\ [2ex] ... ...{T}\left\vert b[T-\tau ]\right\vert d\tau \right\}, \end{array}$$ (7.7)

где $b[\xi ]=0$ при $\xi <0$, $b[0]=1$, $db[\xi ]/d\xi =b[\xi -\vartheta ]$ при $\xi >0$.

Чтобы это проверить, можно взять

$$\begin{array}{l} P=\{p\in \mathbb{R}:\vert p\vert\leq 1\}, \... ...ast }[\cdot ]t],p)=\{f=(l=x[t-\vartheta ]+p,h=0)\}. \end{array}$$

Функционал (7.7) будет оптимальным результатом в задаче управления системой с запаздыванием

$${dx[t] \over dt}=x[t-\vartheta ]+u,\quad x\in \mathbb{R}, \ \left\vert u\right\vert \leq 1, \ t_{0}\leq t\leq T$$

на минимум

$$\gamma =\left\vert x[T]\right\vert.$$

В примерах 7.2 и 7.3 функционалы (7.5) и (7.7) не являются ${\rm ci}$-дифференцируемыми (на $G$) и удовлетворяют уравнениям (7.4) и (7.6), соответственно, лишь в точках своей ${\rm ci}$-дифференцируемости. В этих примерах не существует непрерывных непрерывно ${\rm ci}$-дифференцируемых решений.

Поступила 15.09.99