6. Корректность

Пусть $k=1,2,\ldots$; $\sigma _{0}:C([t_{0},T],\mathbb{R}^{n})\mapsto \mathbb{R}$, $\sigma _{k}:C([t_{0},T],\mathbb{R}^{n})\mapsto \mathbb{R}$ - непрерывные функционалы; гамильтонианы $H_{0}:G\times \mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}$, $H_{k}:G\times \mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}$ удовлетворяют условиям (a)-(d) из п.2; $L_{0}:G\mapsto \mathbb{R}$ и $L_{k}:G\mapsto \mathbb{R}$ - функционалы, определенные для $H_{0}$ и $H_{k}$, соответсвенно, согласно условию (d) (где $\varkappa =\varkappa_0=\varkappa_k$). При этом $\sigma _{k}\rightarrow \sigma _{0}$ при $k\rightarrow \infty$ равномерно на любом компакте из $C([t_{0},T],\mathbb{R}^{n})$; $H_{k}(\cdot ,s)\rightarrow H_{0}(\cdot ,s)$, $L_{k}\rightarrow L_{0}$ при $k\rightarrow \infty$ для любых $s\in \mathbb{R}^{n}$ и компакта $D\subset C([t_{\ast },T],\mathbb{R}^{n})$ равномерно на $G(D)=\{(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t]):t\in \lbrack t_{0},T],x(\cdot )\in D\}$. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть $\sigma _{0}$, $H_{0}$, $\sigma _{k}$, $H_{k}$ $(k=1,2,\ldots )$ удовлетворяют указанным требованиям; функционалы $\varphi _{k}:G\mapsto \mathbb{R}$ - минимаксные решения задач

$$\begin{array}{c} \partial _{t}\varphi (t,x[t_{\ast }[\cdot ]... ...t_{\ast}[\cdot ]T])=\sigma _{k}(x[t_{0}[\cdot ]T]). \end{array}$$ (6.1)

Тогда последовательность $\varphi _{k}$ $(k=1,2,\ldots )$ сходится к предельному функционалу $\varphi _{0}:G\mapsto \mathbb{R}$ для любого компакта $D\subset C([t_{\ast },T],\mathbb{R}^{n})$ равномерно на множестве $G(D)$. Предельный функционал $\varphi _{0}$ будет минимаксным решением задачи

$$\begin{array}{c} \partial _{t}\varphi (t,x[t_{\ast }[\cdot ]... ...t_{\ast}[\cdot ]T])=\sigma _{0}(x[t_{0}[\cdot ]T]). \end{array}$$ (6.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим

$$\begin{array}{c} \varphi _{-}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])= \\ [... ...rime }])\in O_{\delta }(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\}, \end{array}$$ (6.3)

где $O_{\delta }(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])$ - такое же как в (5.6), $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G$.

Возьмем $P=Q=\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}$, $F_{k}^{\ast }(\cdot )$ и $F_{\ast k}(\cdot )$ ( $F_{0}^{\ast }(\cdot )$ и $F_{\ast 0}(\cdot )$) из (4.6) при $H=H_{k}$, $L=L_{k}$ (соответственно, при $H=H_{0}$, $L=L_{0}$). Функционалы $\varphi _{k}$ удовлетворяют условиям (4.10)-(4.13) при $\sigma =\sigma _k$, $F^{\ast }(\cdot )=F_{k}^{\ast }(\cdot )$, $F_{\ast }(\cdot )=F_{\ast k}(\cdot )$ $(k=1,2,\ldots )$. Учитывая это и опираясь на утверждения 3.1, 3.3, из (6.3) можно вывести, что функционал $\varphi _{-}$ удовлетворяет условиям (4.10), (4.11) при $\sigma =\sigma _0$, $F^{\ast }(\cdot )=F_{0}^{\ast }(\cdot )$, а $\varphi _{+}$ - условиям (4.12), (4.13) при $\sigma =\sigma _0$, $F_{\ast }(\cdot )=F_{\ast 0}(\cdot )$. Используя оценки, подобные (5.2), получаем

$$-\infty <\varphi _{-}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\leq \varphi _... ...st }[\cdot ]t])<\infty ,\quad (t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G.$$ (6.4)

Можно также проверить, что функционалы $\varphi _{-}$ и $\varphi _{+}$ полунепрерывны снизу и сверху соответственно. Поэтому, $\varphi _{-}$ - верхнее, а $\varphi _{+}$ - нижнее решения задачи (6.2) и, стало быть (см. (5.7)), $\varphi _{-}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\geq \varphi _{+}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])$ при всех $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G$. В силу теоремы 1 отсюда и из (6.4) следует, что $\varphi _{-}=\varphi _{+}=\varphi _{0}$, где $\varphi _{0}$ - минимаксное решение задачи (6.2). При этом согласно определению (6.3) функционалов $\varphi _{-}$ и $\varphi _{+}$ получаем, что последовательность $\varphi _{k}$ $(k=1,2,\ldots )$ сходится к $\varphi _{0}$ равномерно на $G(D)$ для любого компакта $D\subset C([t_{\ast },T],\mathbb{R}^{n})$. Теорема доказана.

Укажем один способ построения приближающих последовательностей $H_{k}$, $L_{k}$, $\sigma _{k}$ $(k=1,2,\ldots )$ из (6.1) по $H_{0}$, $L_{0}$, $\sigma _{0}$ из (6.2). Возьмем последовательность разбиений

$$\Delta _{\delta _{k}}=\{t_{i}^{(k)}:t_{1}^{(k)}=t_{\ast },\ \... ...^{(k)}\leq \delta _{k},\ \ i=1,\ldots ,k,\ \ t_{k+1}^{(k)}=T\},$$

$t_{0}\in \Delta _{\delta _{k}}$ отрезка $[t_{\ast },T]$, где $\delta _{k}\downarrow 0$ при $k\rightarrow \infty$.

Пусть $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G$. Обозначим

$$x^\prime (\cdot )=\{x^\prime [\tau ]=x[\tau ] \ \mbox{при} \... ... t,\quad x^\prime [\tau ]=x[t] \ \mbox{при} \ t<\tau \leq T\},$$

$$x^\prime _{(k)}(\cdot )=\{x^\prime _{(k)}[\tau ]=x^\prime [t... ..._{i}^{(k)}])(\tau -t_{i}^{(k)})}{(t_{i+1}^{(k)}-t_{i}^{(k)})},$$

$$t_{i}^{(k)}\leq \tau \leq t_{i+1}^{(k)},\ i=1,\ldots ,k\}.$$

Пусть $t_{0}=t_{i_{0}}^{(k)}$, $x(\cdot )\in C([t_{0},T],\mathbb{R}^{n})$. Обозначим

$$x_{(k)}(\cdot )=\{x_{(k)}[\tau ]=x[t_{i}^{(k)}]+ \frac{(x[t_... ..._{i}^{(k)}])(\tau -t_{i}^{(k)})}{(t_{i+1}^{(k)}-t_{i}^{(k)})},$$

$$t_{i}^{(k)}\leq \tau \leq t_{i+1}^{(k)},\ i=i_{0},\ldots ,k\}.$$

Положим

$$\begin{array}{c} I_{k}(\tau _{\ast },\tau _{\ast },x[\tau _{... ..., \\ [1ex] t_{\ast }\leq \tau _{\ast }<\tau \leq T; \end{array}$$ (6.5)

$$\begin{array}{c} \widehat{H}_{k}(t,I_{k}(t_{\ast },t,x[t_{\a... ...0}[\cdot ]T])=\sigma _{0}(x_{(k)}[t_{0}[\cdot ]T]). \end{array}$$ (6.6)

Можно проверить, что последовательности $H_{k}$, $L_{k}$, $\sigma _{k}$ $(k=1,2,\ldots )$ из (6.6) удовлетворяют всем требованиям теоремы 2. Кроме того, при каждом $k$ информационный образ $I_{k}(\cdot )$ (6.5) удовлетворяет условиям ($1^{\ast }$)-($3^{*}$) для $H=H_{k}$, $L=L_{k}$, $\sigma =\sigma _{k}$. Таким образом, по теореме 2 и утверждению 5.1, учитывая (6.5), получаем, что минимаксное решение $\varphi _{0}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])$ задачи (6.2) может быть приближено минимаксными решениями $\varphi _{k}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])=\widehat{\varphi }_{k}(t,I_{k}(t_{% \ast },t,x[t_{\ast }[\cdot ]t]))$ задач (6.1), (6.6). При этом, $\widehat{\varphi }_{k}$ являются функциями конечномерного аргумента.