4. Минимаксные решения

Определим функционал

$$\overline{H}(t,x[t_{*}[\cdot ]t],s,r)=\left\{ \begin{array}{... ...(t,x[t_{*}[\cdot ]t],s) & \mbox{при} \ r=0. \end{array}\right.$$ (4.1)

где $(t,x[t_{*}[\cdot ]t],s,r)\in G\times \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}$, а функционал $H^0(t,x[t_{*}[\cdot ]t],s)$ взят из условия (b) п.2.

При условиях (a)-(d) из п.2 функционал (4.1) будет иметь следующие свойства.

$(\overline{a})$ Для любых $(s,r)\in \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}$ функционал $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\mapsto$
$\overline{H}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],s,r)$ непрерывен на $G$.

($\overline{b}$) Для любого компакта $D\subset C([t_{\ast },T],\mathbb{R}^{n})$ существует $\Lambda >0$ такое, что для всех $(t,x^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G(D)$, $(t,x^{\ast \ast }[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G(D)$ и $(s,r)\in \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}$, $\left\Vert s\right\Vert^2+r^2 =1$ выполняется условие Липшица по $x[t_{\ast }[\cdot ]t]$:

$$\left\vert \overline{H}(t,x^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]t],s,r)... ...}\left\Vert x^{\ast }[\tau ]-x^{\ast \ast }[\tau ]\right\Vert.$$

($\overline{c}$) Для любых $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G$, $(s^\prime ,r^\prime )\in B$, $(s^{\prime\prime },r^{\prime\prime })\in B$, где $B=\{(s,r)\in \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}:\left\Vert s\right\Vert^2+r^2\leq 1\}$, выполняется условие Липшица по $(s,r)$:

$$\left\vert \overline{H}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],s^{\prime },... ...dot ]t],s^{\prime \prime }, r^{\prime\prime })\right\vert \leq$$

$$\leq L(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\left(\left\Vert s^{\prime }-... ... }\right\Vert^2+ (r^\prime -r^{\prime\prime })^2\right)^{1/2},$$

где $L(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])$ - непрерывный функционал, удовлетворяющий
оценке (2.3).

($\overline{d}$) Для любой пары $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G$ функция $(s,r)\mapsto \overline{H}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],s,r)$ положительно однородна, т.е.

$$\overline{H}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],\alpha s,\alpha r)= \al... ...\overline{H}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],s,r),\quad \alpha \geq 0.$$

Отметим также, что

$$\overline{H}(t,x[t_{*}[\cdot ]t],s,1)=H(t,x[t_{*}[\cdot ]t],s),\quad (t,x[t_{*}[\cdot ]t],s)\in G\times \mathbb{R}^n.$$ (4.2)

Пусть $P$ и $Q$ - некоторые непустые множества (для определенности можно считать, что $P$ и $Q$ - подмножества некоторых конечномерных пространств), а многозначные отображения

$$(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],q)\mapsto F^{\ast }(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],q)\subset \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R},$$

$$(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],p)\mapsto F_{\ast }(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],p)\subset \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R},$$

где $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],p,q)\in G\times P\times Q$, удовлетворяют следующим требованиям.

($\alpha$) Для любых $p\in P$, $q\in Q$ многозначные отображения $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\mapsto F^{\ast }(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],q)$ и $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\mapsto F_{\ast }(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],p)$ удовлетворяют условиям $(1^0)$-$(3^0)$ из п.3, причем в $(3^0)$ число $a>0$ не зависит от выбора $p\in P$ и $q\in Q$.

($\beta$) Для любых $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G$ и $(s,r)\in \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}$ справедливы равенства

$$\sup_{q\in Q}\ \ \min_{(l,h)\in F^{\ast }(t,x[t_{\ast }[\cdo... ...\rangle +rh\right] =\overline{H}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],s,r),$$ (4.3)

$$\inf_{p\in P}\ \ \max_{(l,h)\in F_{\ast }(t,x[t_{\ast }[\cdo... ...\rangle +rh\right] =\overline{H}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],s,r).$$ (4.4)

Согласно теореме Хана - Банаха (см., например, [15, Гл. III, §2, Теорема 4]) из ($\alpha$), ($\beta$) следует

$$F^{\ast }(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],q)\cap F_{\ast }(t,x[t_{\a... ...ng ,\quad (t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],p,q)\in G\times P\times Q.$$ (4.5)

Совокупность пар $\{Q,F^{\ast }(\cdot )\}$ ( $\{P,F_{\ast }(\cdot )\}$), удовлетворяющих $(\alpha )$, $(\beta )$ обозначим $K^{\ast }(H)$ ($K_{\ast }(H)$). При условиях (a)-(d) (см. п.2) $K^{\ast }(H)\neq \varnothing$, $K_{\ast }(H)\neq \varnothing$. В частности, можно проверить, что требования ($\alpha$), ($\beta$) выполняются для

$$\begin{array}{l} P=Q=\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R},\\ F^{... ...h \leq \overline{H}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],s,r)\}, \end{array}$$ (4.6)

где

$$F(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])=\{f=(l,h)\in \mathbb{R}^{n}\times... ...Vert l\right\Vert^2+h^2 \leq 2L^2(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\}.$$ (4.7)

Здесь функционал $L(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])$ взят из условия (d).

Отметим, что отображения из (4.6) не только полунепрерывны сверху по включению при изменении $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])$, но и непрерывны в метрике Хаусдорфа.

Пусть $\{Q,F^{\ast }(\cdot )\}\in K^{\ast }(H)$, $\{P,F_{\ast }(\cdot )\}\in K_{\ast }(H)$, $\overline{x}=(x,z)\in \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}$.

Рассмотрим дифференциальные включения

$${d\overline{x}[t] \over dt} \in F^{\ast }(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],q),$$ (4.8)

$${d\overline{x}[t] \over dt}\in F_{\ast }(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],p).$$ (4.9)

Пусть $g^{0}=(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}])\in G$, $p\in P$, $q\in Q$.

Обозначим через $\overline{X}^{\ast }(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}], {\bf0},q\mid F^{\ast })$ ( $\overline{X}_{\ast }(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}], {\bf0},p\mid F_{\ast })$) множество всех отвечающих паре $g^0$ решений включения (4.8) (соответственно (4.9)) при зафиксированном $q$ ($p$). Согласно утверждению 3.1 эти множества будут непустыми компактами в $C([t_{\ast },T],\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R})$.

О п р е д е л е н и е 4.1. Верхним решением задачи (2.1), (2.2) назовем полунепрерывный снизу функционал $\varphi :G\mapsto \mathbb{R}$, удовлетворяющий неравенству

$$\varphi (T,x[t_{\ast }[\cdot ]T])\geq \sigma (x[t_{0}[\cdot ]T]),\quad x(\cdot )\in C([t_{\ast },T],\mathbb{R}^{n})$$ (4.10)

и, при некоторой паре $\{Q,F^{\ast }(\cdot )\}\in K^{\ast }(H)$, условию

$$\sup_{(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}];\ t,q)}\ \inf_{\o... ...) +z[t]-\varphi (t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}])]\leq 0,$$ (4.11)

где $(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}])\in G$, $t^{0}<T$, $t\in (t^{0},T]$, $q\in Q$, $\overline{x}(\cdot )=(x(\cdot ),z(\cdot )) \in$ $\overline{X}^{\ast }(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}], {\bf0},q\mid F^{\ast })$.

О п р е д е л е н и е 4.2. Нижним решением задачи (2.1), (2.2) назовем полунепрерывный сверху функционал $\varphi :G\mapsto \mathbb{R}$, удовлетворяющий неравенству

$$\varphi (T,x[t_{\ast }[\cdot ]T])\leq \sigma (x[t_{0}[\cdot ]T]),\quad x(\cdot )\in C([t_{\ast },T],\mathbb{R}^{n})$$ (4.12)

и, при некоторой паре $\{P,F_{\ast }(\cdot )\}\in K_{\ast }(H)$, условию

$$\inf_{(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}];\ t,p)}\ \sup_{\o... ...) +z[t]-\varphi (t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}])]\geq 0,$$ (4.13)

где $(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}])\in G$, $t^{0}<T$, $t\in (t^{0},T]$, $p\in P$, $\overline{x}(\cdot )=(x(\cdot ),z(\cdot )) \in$ $\overline{X}_{\ast }(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}], {\bf0},p\mid F_{\ast })$.

Заметим, что для верхних (нижних) решений $\inf$ в (4.11) ($\sup$ в (4.13)) достигается.

О п р е д е л е н и е 4.3. Минимаксным решением задачи (2.1), (2.2) назовем непрерывный функционал $\varphi :G\mapsto \mathbb{R}$, который одновременно будет верхним и нижним решением этой задачи.

З а м е ч а н и е 4.1. Ниже в п. 5 будет показано, что в действительности условия (4.11) и (4.13) выполняются для минимаксного решения при всех $\{Q,F^{\ast }(\cdot )\}\in K^{\ast }(H)$ и $\{P,F_{\ast }(\cdot )\}\in K_{\ast }(H)$.

З а м е ч а н и е 4.2. Неравенства (4.11) и (4.13) соответствуют условиям $u$- и $v$-стабильности функционала цены дифференциальной игры с наследственной информацией [2]-[8], которые, в свою очередь, являются отражением общего принципа оптимальности в экстремальных задачах.

Установим свойства минимаксного решения, поясняющие его связь с уравнением (2.1).

Утверждение 4.1. Если минимаксное решение ${\rm ci}$-дифференцируемо в точке $g^{0}=(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}])\in G$ $(t^{0}<T)$, то в этой точке оно удовлетворяет уравнению (2.1).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как минимаксное решение $\varphi$ при некоторой паре $\{Q,F^{\ast }(\cdot )\}\in K^{\ast }(H)$ удовлетворяет условию (4.11), то для любого $q\in Q$ существует такая функция $\overline{x}^{\ast }(\cdot )=(x^{*}(\cdot ),z^{*}(\cdot )) \in \overline{X}^{\ast }(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}], {\bf0},q\mid F^{\ast })$, что при всех $t\in [t^{0},T]$ справедливо неравенство

$$\varphi (t,x^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]t])+z^{*}[t] \leq \varphi (t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}]).$$ (4.14)

Действительно, пусть $q\in Q$, $m=1,2,\ldots$. Обозначим

$$\overline{X}_{0}^{\ast }(q)= \overline{X}^{\ast }(t^{0},x^{0... ...u _{i}^{(m)}=t^{0}+{i(T-t^{0}) \over m},\quad i=0,1,\ldots ,m.$$

В силу условия (4.11) найдутся такие функции $\overline{x}_{(i)}^{(m)}(\cdot )$ $(i=0,1,\ldots ,m)$, для которых будут выполнены соотношения:

$$\begin{array}{l} \overline{x}_{(0)}^{(m)}(\cdot )=(x_{(0)}^{... ...[\cdot ]\tau _{i-1}^{(m)}]),\\ [2ex] i=1,\ldots ,m. \end{array}$$ (4.15)

Положим

$$\begin{array}{l} x_{(m)}(\cdot )=x_{(m)}^{(m)}(\cdot ),\\ [1... ...x}_{(m)}(\cdot )=(x_{(m)}(\cdot ),z_{(m)}(\cdot )). \end{array}$$

Тогда из (4.15) следует, что

$$\overline{x}_{(m)}(\cdot )\in \overline{X}_{0}^{\ast }(q),$$

причем

$$\begin{array}{c} \varphi (\tau _{i}^{(m)},x_{(m)}[t_{\ast }[... ...[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}]),\\ [1ex] i=0,1,\ldots ,m. \end{array}$$ (4.16)

Рассмотрим теперь последовательность функций $\overline{x}_{(m)}(\cdot )$ ($m=1,2,\ldots$). Так как $\overline{X}_{0}^{\ast }(q)$ - компакт в $C([t_{\ast },T],\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R})$, то можно принять, что эта последовательность равномерно сходится к некоторой функции $\overline{x}^{\ast }(\cdot )=(x^{*}(\cdot ),z^{*}(\cdot )) \in \overline{X}_{0}^{\ast }(q)$. Пусть

$$\begin{array}{c} t\in \lbrack t^{0},T],\qquad g^{\ast }=(t,x... ...[\cdot ]\tau _{m}]),\qquad z^{(m)}=z_{(m)}[\tau_m]. \end{array}$$

Тогда (см. (1.1))

$$\tau_m \rightarrow t,\quad z^{(m)}\rightarrow z^{*},\quad \r... ...st })\rightarrow 0 \quad \mbox{при}\quad \ m\rightarrow \infty$$

и в силу (4.16)

$$\varphi (g^{(m)})+z^{(m)}\leq \varphi (g^{0}),\quad m=1,2,\ldots .$$

Поскольку функционал $\varphi$ непрерывен, отсюда следует, что для предельной функции $\overline{x}^{*}(\cdot )$ справедливо неравенство (4.14).

Итак, пусть $q\in Q$, а функция $\overline{x}^{\ast }(\cdot )=(x^{*}(\cdot ),z^{*}(\cdot )) \in$
$\overline{X}^{\ast }(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}], {\bf0},q\mid F^{\ast })$ удовлетворяет условию (4.14). Возьмем последовательность $\varepsilon _{i}$ ($i=1,2,\ldots$), $\varepsilon _{i}\downarrow 0$ при $i\rightarrow \infty$. Так как отображение $F^{\ast }(\cdot )$ удовлетворяет требованиям ($\alpha$), то $x^{\ast }(\cdot )\in {\rm Lip}(g^{0})$ и существуют такие $0<\delta _{i}\leq \varepsilon _{i}$ ( $\delta _{i}\leq T-t^{0}$), что при всех $\tau \in \lbrack t^{0},t^{0}+\delta _{i}]$ будут выполняться включения

$$F^{\ast }(\tau ,x^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]\tau ],q)\subset ... ...st }[\cdot ]t^{0}],q)]^{\varepsilon _{i}},\quad i=1,2,\ldots .$$

Поэтому и по теореме о среднем значении вектор-функции (см., например, [14, стр.51]) существуют $f_{i}=(l_i,h_i)\in F^{\ast }(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}],q)$ и $f_{i}^\prime =(l_i^\prime ,h_i^\prime ) \in \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}$, $\left\Vert l_{i}^\prime \right\Vert^2+(h_i^\prime )^2 \leq \varepsilon _{i}^2$ такие, что справедливы равенства

$$\overline{x}^{\ast }[t^{0}+\delta _{i}]= \overline{x}^{\ast ... ...}[t^{0}]+(f_{i}+f_{i}^\prime )\delta _{i},\quad i=1,2,\ldots .$$

Учитывая это и (4.14), в силу ${\rm ci}$-дифференцируемости функционала $\varphi$ в точке $g^{0}=(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}])$ (см. (1.3)), выводим

$${ \varphi (t^{0}+\delta _{i},x^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]t^{0... ...phi (t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}]) \over \delta _{i}} =$$

$$=\partial _{t}\varphi (g^{0})+\left\langle \nabla \varphi (g... ...((l_{i}+l_{i}^\prime )\delta _{i}) \over \delta _{i}} \leq 0.$$ (4.17)

Без ограничения общности можно считать, что

$$f_{i}=(l_i,h_i)\rightarrow f^{\ast }=(l^{*},h^{*}) \in F^{\a... ...[\cdot ]t^{0}],q)\quad \mbox{при}\quad \ i\rightarrow \infty .$$

Тогда, переходя в (4.17) к пределу при $i\rightarrow \infty$, получаем

$$\partial _{t}\varphi (g^{0})+\min\limits_{(l,h)\in F^{\ast }... ...le \nabla \varphi (g^{0}),l^{\ast }\right\rangle +h^{*}\leq 0.$$

Эта оценка справедлива для любого $q\in Q$, поэтому согласно (4.2), (4.3) заключаем

$$\partial _{t}\varphi (g^{0})+ H(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}],\nabla \varphi(g^{0}))=$$

$$= \partial _{t}\varphi (g^{0})+\sup\limits_{q\in Q}\ \min\li... ...\left\langle \nabla \varphi (g^{0}),l\right\rangle +h] \leq 0.$$

Аналогично, исходя из условия (4.13) и учитывая (4.4), можно проверить, что также имеет место неравенство

$$\partial _{t}\varphi (g^{0})+ H(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}],\nabla \varphi(g^{0}))\geq 0.$$

Утверждение доказано.

Утверждение 4.2. Если некоторый непрерывный функционал $\varphi :G\mapsto \mathbb{R}$ является непрерывно ${\rm ci}$-дифференцируемым и удовлетворяет соотношениям (2.1), (2.2), то он будет минимаксным решением задачи (2.1), (2.2).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем $P=Q=\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}$, $F^{\ast }(\cdot )$ и $F_{\ast }(\cdot )$ из (4.6). Определим многозначное отображение

$$\begin{array}{c} F^{0}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],s,r) =\\ [2ex... ...hi (t,x[t_{\ast }[\cdot ]t]), l\right\rangle +h]\}, \end{array}$$

где $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],s,r)\in G\times (\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R})$. Согласно (4.2), (4.3) при любых
$(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],s,r)\in G\times (\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R})$ и $f^0=(l^0,h^0)\in F^{0}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],s,r)$ имеем

$$\left\langle \nabla \varphi (t,x[t_{\ast }[\cdot ]t]), l^0 \... ...t_{\ast }[\cdot ]t],\nabla \varphi (t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])).$$ (4.18)

Отображения $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\mapsto F^{\ast }(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t], (s,r))$ и $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])$
$\mapsto \nabla \varphi (t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])$ непрерывны, $F^{\ast }(\cdot )$ удовлетворяет условиям ($\alpha$). Поэтому для отображения $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\mapsto F^{0}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t], (s,r))$ выполняются требования $(1^0)$-$(3^0)$ из п.3 .

Рассмотрим дифференциальное включение

$${d\overline{x}[t] \over dt}\in F^{0}(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],s,r),\quad \overline{x}=(x,z)\in \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}.$$ (4.19)

Пусть $g^{0}=(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}])\in G$ ($t^{0}<T$), $(s,r)\in \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}$,
$\overline{X}^{0}(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}],{\bf0},s,r)$ - множество отвечающих паре $g^0$ решений включения (4.19). Понятно, что

$$\overline{X}^{0}(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}],{\bf0},... ...^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}], {\bf0},s,r\mid F^{\ast }).$$

Согласно утверждению 3.1 множество $\overline{X}^{0}(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}],{\bf0},s,r)$ непусто.

Пусть $\overline{x}^{\ast }(\cdot )=(x^{*}(\cdot ),z^{*}(\cdot )) \in \overline{X}^{0}(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}],{\bf0},s,r)$. Определим функцию

$$\omega (\tau )=\varphi (\tau ,x^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]\tau ])+z^{*}[\tau], \quad \tau \in \lbrack t^{0},T].$$

Пусть $t\in \lbrack t^{0},T)$. При сделанных предположениях относительно функционала $\varphi$ эта функция абсолютно непрерывна на $[t^{0},t]$, а ее производная, с учетом (4.18), при почти всех $\tau \in \lbrack t^{0},t]$ удовлетворяет оценке

$$\begin{array}{c} \displaystyle {d\omega (\tau ) \over d\tau}... ...arphi (\tau ,x^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]\tau ]))=0. \end{array}$$

Поэтому имеем

$$\varphi (t,x^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]t])+z^{*}[t] \leq \varphi (t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}]),\quad t\in [t^{0},T).$$

В силу непрерывности $\varphi$ это неравенство справедливо и при $t=T$. Таким образом, рассматриваемый функционал $\varphi$ удовлетворяет требованиям (4.10), (4.11), т.е. является верхним решением задачи (2.1), (2.2).

Аналогично можно проверить, что он также является нижним, а стало быть, и минимаксным решением этой задачи. Утверждение доказано.