2. Уравнения типа Гамильтона-Якоби с коинвариантными производными

Предметом исследования данной работы является следующее дифференциальное уравнение в коинвариантных производных

$$\begin{array}{c} \partial _{t}\varphi (t,x[t_{\ast }[\cdot ]... ...=0,\\ [2ex] (t,x[t_{\ast }[\cdot]t])\in G,\quad t<T \end{array}$$ (2.1)

при условии на правом конце

$$\varphi (T,x[t_{\ast }[\cdot ]T])=\sigma (x[t_{0}[\cdot ]T]),\quad x(\cdot )\in C([t_{\ast },T],\mathbb{R}^{n}),$$ (2.2)

где $\sigma :C([t_{0},T],\mathbb{R}^{n})\mapsto \mathbb{R}$ - непрерывный функционал, а функционал $H(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],s):G\times \mathbb{R}^{n}\mapsto \mathbb{R}$, называемый (по аналогии с теорией подобных уравнений в частных производных относительно функций конечномерного аргумента) гамильтонианом, удовлетворяет следующим условиям.

(a) Для любого $s\in \mathbb{R}^{n}$ функционал $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\mapsto H(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],s)$ непрерывен на $G$.

(b) Для любых $(t,x[t_{*}[\cdot ]t])\in G$ и $s\in \mathbb{R}^n$ существует предел

$$\lim\limits_{r\downarrow 0}rH\left(t,x[t_{*}[\cdot ]t],{s \over r}\right) =H^0(t,x[t_{*}[\cdot ]t],s),$$

причем для любого $s\in \mathbb{R}^n$ функционал $(t,x[t_{*}[\cdot ]t])\mapsto H^0(t,x[t_{*}[\cdot ]t],s)$ непрерывен на $G$.

(c) Для любого компакта $D\subset C([t_{\ast },T],\mathbb{R}^{n})$ существует число $\Lambda >0$ такое, что для всех $(t,x^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G(D)$, $(t,x^{\ast \ast }[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G(D)$ (здесь и всюду далее $G(D)=\{(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t]):t_{0}\leq t\leq T,\ x(\cdot )\in D\}$) и $(s,r)\in \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}$, $\left\Vert s\right\Vert^2+r^2 =1$, $r>0$ справедлива оценка

$$r\left\vert H\left(t,x^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]t],{s \over ... ...}\left\Vert x^{\ast }[\tau ]-x^{\ast \ast }[\tau ]\right\Vert.$$

(d) Для любых $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G$, $(s^\prime ,r^\prime)\in B_{+}$, $(s^{\prime\prime },r^{\prime\prime })\in B_{+}$, где $B_{+}=\{(s,r)\in \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}:\left\Vert s\right\Vert^2+r^2\leq 1, r>0 \}$, выполняется неравенство

$$\left\vert r^\prime H\left(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t],{s^\prime... ...\prime\prime } \over r^{\prime\prime }}\right)\right\vert \leq$$

$$\leq L(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t]) (\left\Vert s^{\prime }-s^{\... ...\prime }\right\Vert^2+ (r^\prime -r^{\prime\prime })^2)^{1/2},$$

где $L(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])$ - непрерывный функционал, удовлетворяющий оценке

$$\begin{array}{c} \displaystyle L(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\le... ...t }[\cdot ]t])\in G,\quad \varkappa ={\rm const}>0. \end{array}$$ (2.3)

Можно давать различные определения решения задачи (2.1), (2.2). При этом следует принять во внимание то, что при указанных условиях может не существовать ${\rm ci}$-дифференцируемого функционала, удовлетворяющего соотношениям (2.1), (2.2).

В качестве простого примера рассмотрим задачу

$$\begin{array}{c} \partial _{t}\varphi (t,x[t_{\ast }[\cdot ]... ...uad (x(\cdot )\in C([t_{\ast },T],\mathbb{R}^{n})). \end{array}$$ (2.4)

Здесь гамильтониан тождественно равен нулю и все перечисленные выше условия выполнены. Предположим, что некоторый ${\rm ci}$-дифференцируемый функционал $\varphi$ удовлетворяет (2.4). Тогда при любых $(t^{\ast },x^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]t^{\ast }])\in G$ $(t^{\ast }<T)$ для функции $\omega _{x^{\ast }(\cdot )}(t)=\varphi (t,y^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]t])$ (где $y^{\ast }[\tau ]=x^{\ast }[\tau ]$ при $\tau \in [t_{\ast },t^{\ast }]$, $y^{\ast }[\tau ]=x^{\ast }[t^{\ast }]$ при $\tau \in (t^{\ast },T]$) для всех $t\in (t^{\ast },T)$ в силу (1.3) будет выполняться равенство $d\omega _{x^{\ast }(\cdot )}(t)/dt=0$, поэтому

$$\varphi (t^{\ast },x^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]t^{\ast }])= \... ...tau ]\right\Vert,\quad (t^{*},x^{*}[t_{*}[\cdot ]t^{*}])\in G.$$ (2.5)

Но данный функционал не является ${\rm ci}$-дифференцируемым.

Заметим, что функционал (2.5) имеет вполне определенный содержательный смысл (удовлетворяет краевому условию и для любых $(t^{\ast },x^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]t^{\ast }])\in G$ остается постоянным вдоль продолжения $x^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]t^{\ast }]$ в силу системы $dx[t]/dt=0$) и может трактоваться как обобщенное решение задачи (2.4).

Задачи типа (2.1), (2.2) возникают в теории управления и дифференциальных игр с наследственной информацией [1]-[9] при изучении свойств функционала цены (функционала оптимального результата или оптимального гарантированного результата). При этом условие непрерывности краевого функционала $\sigma$ и условия (a)-(d), накладывемые на гамильтониан $H$, являются естественными для достаточно широкого круга задач управления. В тех случаях (см., например, [1, стр. 177]), когда функционал цены ${\rm ci}$-дифференцируем, он удовлетворяет уравнению вида (2.1). В большинстве случаев функционал цены не является ${\rm ci}$-дифференцируемым (на всей области определения), но в тех точках, в которых этот функционал ${\rm ci}$-дифференцируем, он удовлетворяет соответствующему уравнению вида (2.1) (см. примеры из [8,9], а также в конце статьи).

Далее, по аналогии с [10] будет дано определение минимаксного решения задачи (2.1), (2.2). Это решение может не быть ${\rm ci}$-дифференцируемым, поэтому является обобщенным. Оно имеет содержательный смысл, соответствующий требованиям теории управления и дифференциальных игр с наследственной информацией. Будет доказано, что рассматриваемое минимаксное решение задачи (2.1), (2.2) существует, единственно и обладает следующими свойствами. Оно корректно, т.е. непрерывно зависит от вариаций краевого условия и гамильтониана. В каждой точке $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])$, где минимаксное решение ${\rm ci}$-дифференцируемо, оно удовлетворяет уравнению (2.1). Если существует непрерывный, непрерывно ${\rm ci}$-дифференцируемый функционал, удовлетворяющий соотношениям (2.1), (2.2), то он является минимаксным решением.