1. Коинвариантные производные функционала

Пусть $t_{\ast }$, $t_{0}$, $T\in \mathbb{R}$ ( $t_{\ast }\leq t_{0}<T$); $C([t_{\ast },T],\mathbb{R}^{n})$ - пространство непрерывных функций $x(\cdot )=\{x[t]\in \mathbb{R}^n,t_{\ast }\leq t\leq T\}$. Обозначим

$$\begin{array}{l} x[t_{1}[\cdot ]t_{2}]=\{x[\tau ],t_{1}\leq ... ...eq T,x(\cdot )\in C([t_{\ast },T],\mathbb{R}^{n})\} \end{array}$$

(т.е. $G$ состоит из тех и только тех пар $g=(t,x[t_{*}[\cdot ]t])$, у которых $t\in [t_0,T]$, а $x[t_{*}[\cdot ]t]$ - часть (от $t_{*}$ до $t$) некоторой функции из $C([t_{*},T],\mathbb{R}^n)$).

Пусть $g_{1}=(t_{1},x^{(1)}[t_{\ast }[\cdot ]t_{1}])\in G$, $g_{2}=(t_{2},x^{(2)}[t_{\ast }[\cdot ]t_{2}])\in G$. Определим

$$\rho (g_{1},g_{2})=\max \left\{ \rho ^{\ast }(g_1,g_2),\rho^{\ast }(g_2,g_1)\right\},$$ (1.1)

где

$$\rho ^{\ast}(g_{i+1},g_{2-i})= \max\limits_{t_{\ast }\leq \x... ...eft\Vert x^{(i+1)}[\xi ]-x^{(2-i)}[\eta ]\right\Vert \right\},$$

$$i=0,1.$$

Здесь и далее $\left\Vert \cdot \right\Vert$ - евклидова норма вектора.

Рассмотрим функционал $\varphi (g)=\varphi (t,x[t_{\ast }[\cdot ]t]):G\mapsto \mathbb{R}$. Будем говорить, что он является полунепрерывным снизу, если для любых $g^{\ast }=(t^{\ast },x^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]t^{\ast }])\in G$ и $\varepsilon >0$ найдется такое $\delta >0$, что для всех $g=(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G$, удовлетворяющих условию $\rho (g,g^{\ast })\leq \delta$, справедливо неравенство $\varphi (g^{\ast })\leq \varphi (g)+\varepsilon$. Функционал $\varphi$ назовем полунепрерывным сверху, если функционал $-\varphi$ будет полунепрерывным снизу. Функционал, полунепрерывный одновременно снизу и сверху, назовем непрерывным.

Например, непрерывными будут следующие функционалы:

$$\begin{array}{l} \displaystyle \varphi _{1}(g) =a(t,x[t],x[t... ...limits_{t_{\ast}\leq \tau \leq t}b(\tau ,x[\tau ]), \end{array}$$ (1.2)

где $\vartheta={\rm const}>0$, $a:[t_{0},T]\times \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{n}\mapsto \mathbb{R}$, $b:[t_{\ast },T]\times \mathbb{R}^{n}\mapsto \mathbb{R}$, $c:[t_{0},T]\times \mathbb{R}^{n}\mapsto \mathbb{R}$,
$K:[0,T-t_{\ast }]\times \lbrack t_{\ast },T]\times \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{n}\mapsto \mathbb{R}$ - непрерывные функции.

Пусть $g=(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G$ $(t<T)$, ${\rm Lip}(g)$ - множество функций $y(\cdot )\in C([t_{\ast },T],\mathbb{R}^{n})$, совпадающих с $x[t_{\ast }[\cdot ]t]$ на $[t_{\ast },t]$, каждая из которых с некоторой (своей) константой удовлетворяет на $[t,T]$ условию Липшица. Следуя [1], будем говорить, что функционал $\varphi$ коинвариантно дифференцируем в точке $g$ относительно ${\rm Lip}(g)$ (${\rm ci}$-дифференцируем в $g$), если существуют число $\partial _{t}\varphi (g)$ и $n$-вектор $\nabla \varphi (g)$ такие, что для любой функции $y(\cdot )\in {\rm Lip}(g)$ выполняется равенство

$$\varphi (t+\xi ,y[t_{\ast }[\cdot ]t+\xi ])- \varphi (t,x[t_{\ast }[\cdot]t]) =$$

$$=\partial _{t}\varphi (g)\xi +\left\langle \nabla \varphi (g... ...ght\rangle +o_{y(\cdot )}(\xi ), \quad \xi \in \lbrack 0,T-t],$$ (1.3)

причем $o_{y(\cdot )}(\xi )$ зависит от выбора $y(\cdot )\in {\rm Lip}(g)$ ( $o_{y(\cdot )}(\xi )/\xi \rightarrow 0$ при $\xi \rightarrow +0$).

Здесь и далее $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ - скалярное произведение векторов.

Величины $\partial _{t}\varphi (g)$ и $\nabla \varphi (g)$ будем называть соответственно коинвариантной производной по $t$ и коинвариантным градиентом функционала $\varphi$ в точке $g$. Функционал $\varphi$ назовем ${\rm ci}$-дифференцируемым, если он
${\rm ci}$-дифференцируем в каждой точке $g=(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G$ $(t<T)$. Если при этом, $\partial _{t}\varphi (g)$ и компоненты $\nabla \varphi (g)$ непрерывны, то будем говорить, что функционал $\varphi$ непрерывно ${\rm ci}$-дифференцируемый.

Например, из приведенных в (1.2) функционалов, при условии непрерывной дифференцируемости функции $c(t,x)$, будут непрерывно ${\rm ci}$-дифференцируемыми функционалы $\varphi _{2}$ и $\varphi _{3}$. При этом

$$\begin{array}{c} \displaystyle \partial _{t}\varphi _{2}(g)=... ...splaystyle + \frac{\partial c}{\partial t}(t,x[t]). \end{array}$$

Функционалы $\varphi _{1}$ и $\varphi _{4}$ не являются ${\rm ci}$-дифференцируемыми (на $G$), даже если функции $a(\cdot )$ и $b(\cdot )$ непрерывно дифференцируемы на областях своего определения.

Коинвариантные производные функционалов используются в качественной теории дифференциальных систем с последействием. Более подробные сведения о свойствах, способах вычисления и применениях коинвариантных производных функционалов можно найти, например, в [1].

Отметим, что определение коинвариантных производных дано выше для функционалов $\varphi (t,x[t_{*}[\cdot ]t])$, определенных, вообще говоря, только на непрерывных функциях $x[t_{*}[\cdot ]t]$, поэтому оно отличается от соответствующего определения из [1, стр. 28-50], где коинвариантные производные естественным образом вводятся для функционалов, определенных на кусочно-непрерывных функциях. Тем не менее, если некоторый функционал
$\varphi (t,x[t_{*}[\cdot ]t])$, определенный на кусочно-непрерывных функциях $x[t_{*}[\cdot ]t]$, является ${\rm ci}$-дифференцируемым в точке $g^{*}=(t^{*},x^{*}[t_{*}[\cdot ]t^{*}])\in G$ ($t^{*}<T$) относительно ${\rm Lip}(g^{*})$ в смысле [1], то его сужение $\varphi _G$ на непрерывные функции будет ${\rm ci}$-дифференцируемо в $g^{*}$ в смысле (1.3), при этом соответствующие коинвариантные производные будут совпадать.