3. Дифференциальные включения с последействием

Приведем нужные для дальнейшего изложения свойства решений дифференциальных включений с последействием. Эти свойства можно получить на основе подходящей трансформации конструкций, используемых, например, в [14] при изучении обыкновенных дифференциальных включений.

Пусть $\overline{x}=(x,z)\in \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}$. Рассмотрим дифференциальное включение

$${d\overline{x}[t] \over dt}\in F(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t]),$$ (3.1)

где многозначное отображение $F(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])$ удовлетворяет следующим
условиям.

$(1^0)$ Для любой пары $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G$ множество $F(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])$ - непустой выпуклый компакт в $\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}$.

$(2^0)$ Отображение $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\mapsto F(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])$ полунепрерывно сверху по включению, т.е. для любых $g^{\ast }=(t^{\ast },x^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]t^{\ast }])\in G$ и $\varepsilon >0$ существует такое $\delta >0$, что для всех $g=(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G$, удовлетворяющих условию $\rho (g,g^{\ast })\leq \delta$, справедливо включение

$$F(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\subset \lbrack F(t^{\ast },x^{\ast }[t_{\ast }[\cdot ]t^{\ast }])]^{\varepsilon }.$$

Здесь и всюду далее $[F]^{\varepsilon }=\{f_{\ast }=(l_{*},h_{*})\in \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}... ...,h)\in F}[\left\Vert l_{\ast}-l\right\Vert^2+(h_{*}-h)^2] \leq \varepsilon ^2\}$ - замкнутая $\varepsilon$-окрестность множества $F\subset \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}$; $\rho (\cdot ,\cdot )$ определено в (1.1).

$(3^0)$ Существует такое число $a>0$, что для любой пары $(t,x[t_{\ast }[\cdot ]t])\in G$ справедлива оценка

$$\sup \left\{ (\left\Vert l\right\Vert^2+h^2)^{1/2} \mid (l,h... ...\ast }\leq \tau \leq t}\left\Vert x[\tau ]\right\Vert \right).$$

Пусть $g^{0}=(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}])\in G$. Под отвечающим паре $g^0$ решением включения (3.1) будем понимать функцию $\overline{x}(\cdot )=(x(\cdot),z(\cdot))\in C([t_{\ast },T],\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R})$, совпадающую с $\overline{x}^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}]= \{\overline{x}^0[\tau]=(x^0[\tau],z^0[\tau]=0), t_{*}\leq\tau\leq t^0\}$ на $[t_{\ast },t^{0}]$, абсолютно непрерывную на $[t^{0},T]$ и при почти всех $t\in \lbrack t^{0},T]$ удовлетворяющую включению (3.1). Множество всех таких решений обозначим $\overline{X}(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}],{\bf0})$, где ${\bf0}$ - тождественно равная нулю на $[t_{*},t^0]$ функция.

Отметим, что при любых $(t^0,x^0[t_{*}[\cdot]t^0])\in G$ $(t^0<T)$, $\overline{x}^{*}(\cdot)=$
$(x^{*}(\cdot),z^{*}(\cdot))\in$ $\overline{X}(t^0,x^0[t_{*}[\cdot]t^0],{\bf0})$, $t^{*}\in (t^0,T]$ и $\overline{x}(\cdot)= (x(\cdot),z(\cdot)) \in \linebreak\overline{X}(t^{*},x^{*}[t_{*}[\cdot]t^{*}],{\bf0})$ для функции $\overline{x}_{*}(\cdot)=(x_{*}(\cdot),z_{*}(\cdot))$, где $x_{*}(\cdot)=x(\cdot)$, $z_{*}(\cdot)=\{z_{*}[\tau]=z^{*}[\tau] \ \mbox{при} \ t_{*}\leq\tau\leq t^{*},\ z_{*}[\tau]=z^{*}[t^{*}]+z[\tau] \ \mbox{при} \ t^{*}<\tau\leq T\}$ имеет место включение $\overline{x}_{*}(\cdot)\in\overline{X}(t^0,x^0[t_{*}[\cdot]t^0],{\bf0})$.

При условиях $(1^0)$-$(3^0)$ справедливы следующие утверждения.

Утверждение 3.1. Для любой пары $(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}])\in G$ множество $\overline{X}(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}],{\bf0})$ является непустым компактом в $C([t_{\ast },T],\linebreak\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R})$.

Утверждение 3.2. Пусть $g^{0}=(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}])\in G$, $g^{(k)}=\linebreak (t_{k},x^{(k)}[t_{\ast }[\cdot ]t_{k}])\in G$, $\overline{x}_{(k)}(\cdot )\in \overline{X}(t_{k},x^{(k)}[t_{\ast }[\cdot ]t_{k}],{\bf0})$ $(k=1,2,\ldots )$ и
$\rho (g^{(k)},g^{0})\rightarrow 0$ при $k\rightarrow \infty$. Тогда из последовательности $\overline{x}_{(k)}(\cdot )$ можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность, предел которой содержится в $\overline{X}(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}],{\bf0})$.

Утверждение 3.3. Пусть $g^{0}=(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}])\in G$,
$g^{(k)}=(t_{k},x^{(k)}[t_{\ast }[\cdot ]t_{k}])\in G$, функции $\overline{x}_{(k)}(\cdot ) =(x_{(k)}(\cdot ),z_{(k)}(\cdot )) \in C([t_{\ast },T],$
$\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R})$ совпадают с $\overline{x}^{(k)}[t_{\ast }[\cdot ]t_{k}]=\{\overline{x}^{(k)}[\tau] =(x^{(k)}[\tau],z[\tau]=0), \ t_{*}\leq\tau\leq t_k\}$ на $[t_{\ast },t_{k}]$, абсолютно непрерывны на $[t_{k},T]$ и при почти всех $t\in \lbrack t_{k},T]$ удовлетворяют условию $d\overline{x}_{(k)}[t]/dt\in \lbrack F(t,x_{(k)}[t_{\ast }[\cdot ]t])]^{\varepsilon_{k}}$ $(k=1,2,\ldots )$. Пусть $\rho (g^{(k)},g^{0})\rightarrow 0$, $\varepsilon _{k}\downarrow 0$ при $k\rightarrow \infty$. Тогда из последовательности $\overline{x}_{(k)}(\cdot )$ можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность, предел которой содержится в $\overline{X}(t^{0},x^{0}[t_{\ast }[\cdot ]t^{0}],{\bf0})$.