2. Минимизация функционала типа "обобщенная энергия" на траекториях линейной управляемой системы

В этом разделе на примере данной простой задачи описывается схема потенциалов; в п.п. 2.1, 2.2 рассмотрены случаи неограниченного и ограниченного управления соответственно.

2.1. Задача без геометрических ограничений на управление

Рассмотрим задачу управления в ${\mathbb{R}}^n$ на заданном отрезке времени $[0,T]$

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot x=Ax+bu, \quad 0 \le t \le T; ... ...quad \to \min\limits_{u(\cdot)}. \end{array}\right. \eqno{(1)}$$

Здесь $x$ - вектор фазовых координат, $u$ - скалярное управление. Матрица $A \in{\mathbb{R}}^{n \times n}$, столбец $b \in {\mathbb{R}}^n$, начальное состояние $x_0 \in {\mathbb{R}}^n$, длительность процесса управления $T>0$ и параметр $\alpha \in (1,+ \infty)$ заданы.

Задача минимизации функционала $J_{\alpha}(u)$ равносильна задаче минимизации нормы

$$\left( \int\limits_0^T \vert u(t)\vert^{\alpha})\, dt \right)^{1/ \alpha} = \Vert u\Vert _{L_{\alpha}}.$$

Предполагается выполненным условие управляемости

$$\det(b,Ab,\dots,A^{n-1}b) \ne 0. \eqno{(2)}$$

Поиск оптимального решения задачи (1) требует решения краевой задачи принципа максимума Понтрягина

$$\left\{ \begin{array}{ll} \dot x =Ax+b \ u_*(\psi), & x(0)=x... ...psi =-A^* \psi, & 0 \le t \le T, \end{array}\right. \eqno{(3)}$$

в которой $u_*(\psi)$ - экстремальное управление, определяемое из условия максимума $K \to \max\limits_{ u \in {\mathbb{R}}^1}$ для функции Гамильтона-Понтрягина

$$K= -\frac{1}{\alpha} \vert u\vert^{\alpha} +(\psi,Ax+bu).$$

Это экстремальное управление имеет вид

$$u_*(\psi) = h_{\alpha} ( b^* \psi ), \eqno{(4)}$$

$$h_{\alpha}( \theta) =\vert \theta \vert^{\frac{1}{\alpha -1... ...ox{sign} (\theta), \quad \theta \in {\mathbb{R}}^1. \eqno{(5)}$$

При решении краевой задачи (3) подлежит определению параметр $p$, являющийся начальным значением сопряженной переменной $\psi$:

$$\psi \vert _{t=0} =p \in {\mathbb{R}}^n.$$

Искомое значение $p=p_0$, позволяющее решить краевую задачу (3), допускает экстремальное описание, к которому мы обратимся ниже (см. (11)).

После нахождения вектора $p_0$ краевая задача (3) сводится к решению задачи Коши для дифференциальных уравнений из (3) с начальными условиями

$$x\vert _{t=0} = x_0, \quad \psi \vert _{t=0} = p_0.$$

Решение

$$x(t,p_0),\quad \psi(t,p_0), \qquad 0 \le t \le T \eqno{(6)}$$

этой задачи дает решение краевой задачи (3). Оптимальное управление $u_{op}(t)$ задачи (1) получаем подстановкой сопряженной переменной из (6) в формулу (4) для экстремального управления:

$$u_{op}(t) = h_{\alpha} (b^* \psi)\vert _{\psi=\psi(t,p_0)}; \quad 0 \le t \le T, \qquad \psi (t,p_0) = e^{-t A^*} p_0.$$

Оптимальная траектория $x_{op}(t)$ совпадает с первой компонентой реше-
ния (6):

$$x_{op}(t) = x(t,p_0), \quad 0 \le t \le T.$$

Оптимальное значение функционала $J_{\alpha}$ равно

$$\min J_{\alpha} = \int\limits_0^T \vert b^* e^{-tA^*} p_0 \vert^{\beta} \, dt, \quad \beta = \frac{ \alpha }{\alpha -1}.$$

Неизвестное начальное значение сопряженной переменной определяется векторным уравнением

$$x(T,p)=0. \eqno{(7)}$$

Уравнение (7) после умножения слева на невырожденную матрицу $e^{-TA}$ приобретает градиентную форму

$$V'(p) \equiv x_0 + \int\limits_0^T e^{-s A}b \ h_{\alpha} \left( b^* e^{-s A^* } p \right) \, ds = 0 \eqno{(8)}$$

с потенциалом

$$V(p) = p^*x + \int\limits_0^T H_{\alpha} \left( b^*e^{-sA^*}p \right) \, ds, \eqno{(9)}$$

где

$$H_{\alpha} (t) =\int\limits_0^t h_{\alpha}(\theta) \, d \th... ...y, \quad \frac{1}{ \alpha} + \frac{1}{ \beta} =1. \eqno{(10)}$$

Функция $V(p)$ непрерывна и выпукла в ${\mathbb{R}}^n$, имеет там непрерывный градиент $V'(p)$ (см. (8)), причем

$$V(p) \to + \infty \quad \mbox{при} \quad \Vert p\Vert \to \infty. \eqno{}$$

Поэтому существует минимизатор потенциала (9)

$$p_0= \mbox{arg} \min_{p \in {\mathbb{R}}^n} \, V(p), \eqno{(11)}$$

который является решением уравнения (8). Единственность решения уравнения (8) является следствием свойства монотонности отображения $V'(p)$:

$$[q-p]^* [V'(q)-V'(p)] >0 \qquad \forall p,q \in {\mathbb{R}}^n,\ \ p \ne q. \eqno{(12)}$$

Неравенство (12) легко установить, опираясь на представление (8) градиента $V'(p)$, условие (2) и строгое возрастание функции (5).

Таким образом, для начального значения $p_0$ сопряженной переменной установлена единственность и получено экстремальное описание (11). Для вычисления $p_0$ следует решить выпуклую задачу безусловной минимизации

$$V(p) \to \min_{p \in {\mathbb{R}}^n}. \eqno{(13)}$$

П р и м е р 1. При $\alpha =2$ ( $J_{\alpha}$ - функционал типа "энергия") имеем

$$\beta =2,\quad h_{\alpha}(\theta)=\theta, \quad H_{\alpha}(t)={t^2 \over 2}, \quad u_* (\psi)=b^* \psi,$$

$$V(p) = \frac{1}{2} p^* Mp + p^*x_0, \quad \ V'(p) = Mp+x_0, \quad \ V''(p) = M, \quad p_0 = -M^{-1}x_0;$$

здесь

$$M=\int\limits_0^T e^{-sA} b \ b^* e^{-sA^*} \, ds$$

- матрица управляемости, симметричная и, при условии (2), положительно определенная.

П р и м е р 2. При $\alpha =1 + \frac{1}{2m+1}, \ m=0,1,2,\dots,$ имеем

$$\beta=2m+2,\quad h_{\alpha}(\theta)=\theta^{2m+1}, \quad H_{... ...(t)=\frac{t^{2m+2}}{2m+2}, \quad u_* (\psi) =(b^*\psi)^{2m+1},$$

$$V(p)= p^* x_0 + (2m+2)^{-1} \int\limits_0^T e^{-sA} b \ b^* e^{-sA^*} \ \left( b^* e^{-sA^*} p \right)^{2m+2} \, ds,$$

$$V'(p)= x_0 + \int\limits_0^T e^{-sA} b \ \left( b^* e^{-sA^*} p \right)^{2m+1} \, ds,$$

$$V''(p)=(2m+1) \int\limits_0^T e^{-sA} b \ b^* e^{-sA^*}\ \left( b^* e^{-sA^*} p \right)^{2m} \, ds.$$

Матрица $V''(p)$ при $p \ne 0$ является положительно определенной. При больших значениях $m$ параметр $\alpha >1$ близок к единице и функционал $J_{\alpha}(u)$ аппроксимирует функционал типа "расход топлива" $$\int_0^T \vert u(t)\vert \, dt = \Vert u\Vert _{L_1}.$$

П р и м е р 3. При $\alpha = 2m+2, \ m=0,1,2,\dots,$ имеем

$$\beta=\frac{2m+2}{2m+1}, \quad h_{\alpha}(\theta) = \vert\th... ...ha}(t) = \frac{2m+1}{2m+2} \ \vert t\vert^{\frac{2m+2}{2m+1}}.$$

Для больших значений $m$ задача минимизации функционала $J_{\alpha} (u)^{{1}/{\alpha}}$ аппроксимирует задачу минимизации нормы $\Vert u\Vert _{L_{\infty}}.$

2.2. Задача с ограниченным управлением

Рассмотрим теперь задачу управления (1) при ограниченном скалярном управлении $u$, подчиненном ограничению

$$\vert u\vert \le 1. \eqno{(14)}$$

Кроме того, при исследовании новой задачи предполагаются выполненными условие (2) (которое обеспечивает локальную управляемость объекта в начале координат), и следующее дополнительное условие на длительность процесса управления

$$T > T_{op}(x_0), \eqno{(15)}$$

где $T_{op} (x_0)$ - время быстродействия для новой управляемой системы.

В последующем мы будем называть новую задачу задачей (1а).

Для задачи (1а) краевая задача принципа максимума Понтрягина записывается в форме (3), где экстремальное управление $u_*(\psi)$, определяемое из условия максимума $K \to \max\limits_{\vert u\vert \le 1},\$ имеет вид

$$u_*( \psi) = \bar h_{\alpha}(b^* \psi), \eqno{(16)}$$

$$\bar h_{\alpha}(\theta)=\mbox{sat} (h_{\alpha}(\theta)) = h_{\alpha}( \mbox{sat} (\theta)), \eqno{(17)}$$

$$\mbox{sat} (s)= \left\{ \begin{array}{ll} s, & \vert s\ve... ...gn} {(s)}, & \vert s\vert > 1. \end{array}\right. \eqno{(18)}$$

Здесь sat$(s)$ - функция насыщения, а скалярная функция $h_{\alpha}(\theta)$ имеет
вид (5).

Искомое начальное значение сопряженной переменной, с помощью которого разрешается краевая задача (3), (16)-(18), определяется векторным уравнением

$$W'(p) \equiv x_0 + \int\limits_0^T e^{-sA} b \ \bar h_{\alpha} \left( b^*e^{-sA^*} p \right) \, ds =0, \eqno{(19)}$$

имеющим градиентную форму, причем

$$W(p)= p^* x_0+\int\limits_0^T\bar H_{\alpha}\left( b^* e^{-sA^*} p \right) \,ds,\eqno{(20)}$$

$$\bar H_{\alpha}(t) = \int\limits_0^t \bar h_{\alpha}(\theta) \, d \theta. \eqno{(21)}$$

Функция $W(p),$ непрерывная вместе с градиентом $W'(p)$ и выпуклая в ${\mathbb{R}}^n,$ удовлетворяет условию роста

$$W(p) \to + \infty \quad \mbox{при} \quad \Vert p\Vert \to \infty. \eqno{(22)}$$

(При обосновании соотношения (22) существенно используются предположения (2) и (15)). Поэтому существует минимизирующая точка потенциала (20)

$$p_0 = \mbox{arg} \ \min_{p \in {\mathbb{R}}^n}\ W(p). \eqno{(23)}$$

В отличие от п. 2.1, здесь единственность минимизирующей точки имеет место не всегда. Точка (23), решающая выпуклую задачу безусловной минимизации

$$W(p) \to \min_{p \in {\mathbb{R}}^n}, \eqno{(24)}$$

является также решением уравнения (19) и это позволяет решить краевую задачу (3), (16)-(18). Оптимальное управление $u_{op}(t)$ задачи (1а) определяется равенством

$$u_{op} (t) =u_* (\psi)\vert _{\psi = \psi (t, p_0)}, \quad 0 \le t \le T,$$

где $u_*(\psi)$ - экстремальное управление (16), $\psi(t,p_0)=e^{-sA^*}p_0$ - сопряженная переменная, начальным значением которой служит минимизирующая точка (23).

П р и м е р 4. При $\alpha =2$ (функционал типа "энергия", см. [13]) имеем

$$\beta=2, \ \bar h_{\alpha}(\theta) = \mbox{sat} (\theta), \... ...nd{array} \right. \\ \quad u_*(\psi) = \mbox{sat} (b^* \psi),$$

$$V(p)=p^* x_0 + \int\limits_0^T \bar H_{\alpha} \left( b^* e... ..._0^T e^{-sA} b \ \mbox{sat} \left( b^* e^{-sA^*} p \right) ds.$$

Обоснование свойства (22) при $\alpha =2$ имеется в [13]; аналогичные построения позволяют установить (22) при любых $\alpha \in (1, + \infty ).$

П р и м е р 5. В случае $\alpha =1 + \frac{1}{2m+1}, \ m=0,1,2,\dots,$ имеем

$$\beta =2m+2,\ \ \ \ \bar h_{\alpha}(\theta) = \mbox{sat}^{2m+1}(\theta),$$

$$\bar H_{\alpha} (t)= \left\{ \begin{array}{ll} \displaysty... ...(2m+1) \over (2m+2)}, & \vert t\vert > 1. \end{array} \right.$$

Приведенные выше результаты позволяют построить вычислительные схемы для решения задач (1) и (1а); в этих схемах центральная роль принадлежит решению выпуклой задачи безусловной минимизации потенциала ((13) или (24)) - простейшей задаче математического программирования. Для решения таких задач можно рекомендовать квазиньютоновские методы [12]. После нахождения минимизатора $p_0$ остается решить задачу Коши.