Статья посвящена рассмотрению алгоритмов решения ряда задач
управления и примыкает к классическим исследованиям, начало которым
положено в работах [1], [2]. Для некоторых классов задач оптимального
управления, обладающих определенными свойствами выпуклости, неизвестное
граничное значение сопряженной переменной в краевой задаче принципа
максимума Понтрягина допускает экстремальное описание: оно является
минимизатором некоторой гладкой выпуклой функции, называемой
потенциалом задачи оптимального управления.
Таким образом, решение краевой задачи принципа максимума Понтрягина сводится к
простейшей задаче математического программирования - выпуклой задаче
безусловной минимизации потенциала. Отсутствие ограничений в
последней задаче весьма важно с точки зрения
практической организации вычислений. Потенциал строится по исходным
данным задачи, содержит в себе всю необходимую информацию о задаче и
представлен в удобном виде.
Выпуклая структура потенциала
позволяет рациональным образом организовать процедуры вычисления
оптимальных решений. После вычисления минимизирующей точки потенциала
краевая задача сводится к задаче Коши. В случае задачи быстродействия эта
схема также допускает реализацию с некоторыми техническими усложнениями,
связанными с нефиксированностью времени. Отметим, что к построению
потенциалов мы подошли, исследуя линейную задачу быстродействия с гладкой
областью управления [3-9].
В статье эта идея рассматривается на ряде
примеров задач управления с линейной динамикой. Предлагаемая схема
рассуждений проста, удобна для изложения соответствующих тем в учебных
курсах и может составить алгоритмическую основу при разработке прикладных
программ для решения задач оптимального управления.
Обратим внимание на
графические пакеты ТАЙМЕР, ТАХИОН, ПОНТРЯГИН, АЛЬФА, позволяющие решать
линейные задачи быстродействия [10], [11].
Одним из встроенных методов в этих пакетах является метод потенциалов.
В статье рассмотрены задача минимизации функционала типа "обобщенная энергия"
на траекториях линейных управляемых систем при неограниченном и
ограниченном управлении (раздел 2), линейная задача быстродействия со
скалярным ограниченным управлением (раздел 3).
Аналогичные соображения применимы и для других задач, среди которых
отметим задачу минимизации линейного терминального функционала при линейной
динамике и линейном терминальном множестве, задачу минимизации
квадратичного терминального функционала в линейной управляемой системе
(дискретный аналог этого результата, описанный в [7], представляет
определенный интерес для приложений, позволяя строить вычислительные схемы
поиска оптимальных решений в случае дискретных аппроксимаций задач управления
для уравнения теплопроводности).
Интересным оказалось построение потенциала в
задаче минимизации функционала типа "энергия" с многомерным управлением,
подчиненным эллипсоидальному геометрическому ограничению (раздел 4).