7. Левосторонние решения одного уравнения с частными производными первого порядка

В заключение рассмотрим ЛР дифференциального уравнения с частными производными первого порядка вида

$$\frac{\partial c(t, x)}{\partial t} + \zeta(t, \frac{\partial c(t, x)}{\partial x}) =0, \quad (t, x) \in G.$$ (7.1)

Предполагается, что функция $\zeta(\cdot):G^{*} \rightarrow R^1$ удовлетворяет условиям 2a), 2c)-2e). Тогда нетрудно установить, что множество $F(t, x),$ определенное соотношением (2.2), будет иметь вид

$$P(t)=\{ f\in R^n : \displaystyle {\min_{s\in R^n}} \ [<s, f>-\zeta(t, s)]\geq 0\},$$

а ДВ (2.4) определяется как

$$\dot{x}\in P(t), \quad \ \dot{x}_{n+1}(t)=0,$$ (7.2)

где множество $P(t) \subset R^n$ является выпуклым компактом при всех $t\in [0, \theta ],$ многозначное отображение $t\rightarrow P(t)$ непрерывно по $t$ и $\min \ \{ <s, f> : f\in P(t)\} =\zeta(t, s).$

Совокупность решений ДВ (7.2) (на отрезке $[0, \theta]),$ удовлетворяющих условию $(x(\theta), x_{n+1}(\theta))\in Y_{*},$ где $Y_{*}\subset R^{n+1},$ обозначим символом $X^{1}(\theta, Y_{*}).$ Положим

$$X^{1}(t;\theta, Y_{*})=\{ (x(t), x_{n+1}(t)) \in R^{n+1} : (x(\cdot), x_{n+1}(\cdot))\in X^{1}(\theta, Y_{*}), \} ,$$

$$H^{1}(\theta, Y_{*})= \{ (t, x(t), x_{n+1}(t)) \in [0, \thet... ...n+1} : (x(\cdot), x_{n+1}(\cdot))\in X^{1}(\theta, Y_{*}) \} ,$$

$$I(t)=\displaystyle {\int\limits_{\theta}^{t}}P(\tau)d\tau,$$

где $${\int_{\theta}^{t}}P(\tau)d\tau$$ есть интеграл от многозначного отображения $t\rightarrow P(t)$ на отрезке $[t, \theta].$ Можно показать, что

$$X^{1}(t;\theta, Y_{*})= Y_{*}+(I(t), 0) \quad \hbox{ при всех} \quad t\in [0, \theta].$$

Для множеств $A\subset R^n,$ $B\subset R^n$ полагаем

$$A \ \stackrel{_*}{\mbox{---}} \ B =\{ x\in R^n: x+B\subset A\} .$$

Совокупность ЛР задачи (7.1), удовлетворяющих начальному условию (3.1), обозначим символом $\mathrm{Sol}_{2}$ и положим

$$\omega_{*}(t, x)=\inf \,\{ \omega(t, x): \omega(\cdot) \in \mathrm{Sol}_{2} \} ,$$

$$\omega_{0}(t, x)= \displaystyle {\liminf_{(\tau, y)\rightarrow (t, x)}} \ \omega_{*}(\tau, y).$$

Справедливо

Утверждение 8   Пусть выполняется соотношение

$$\mathrm{epi}\ \sigma(\cdot) \ \stackrel{_*}{\mbox{---}} \ (I(0), 0)\neq \hbox{\O},$$

$$(\mathrm{epi}\ \sigma(\cdot) \ \stackrel{_*}{\mbox{---}} \ (I(0), 0))+(I(0), 0) = \mathrm{epi}\ \sigma(\cdot).$$

Тогда $\mathrm{Sol}_{2}\neq \hbox{\O},$ причем

$$\omega_{0}(t, x)=\min \ \{ \alpha\in R^1 :(t, x, \alpha)\in ... ...i}\ \sigma(\cdot)) \ \stackrel{_*}{\mbox{---}} \ (I(0), 0))\}.$$

Поступила 23.07.2000