3. Элементарные движения

Чтобы получить любое заданное перемещение многозвенника по плоскости, достаточно построить его движения вдоль самого себя (продольное движение), поперек (боковое движение), а также вращение на месте. Эти движения сформируем из более простых движений, которые будем называть элементарными. При этом будем параллельно рассматривать случаи трехзвенника и двузвенника.

Каждое элементарное движение начинается и заканчивается в состоянии покоя всего многозвенника. В случае трехзвенника, начальные и конечные значения углов $\alpha_i$ для каждого элементарного движения обозначим через $\alpha^0_i$ и $\alpha^1_i$ соответственно $i=1,2,$.

Элементарные движения делятся на медленные и быстрые.

В медленных движениях вращается одно или оба концевых звена, а корпус остается неподвижным. Примем, что угловая скорость $\dot \alpha_i, \, i=1,2$, концевых звеньев в медленном движении не меняет знака и справедливы соотношения

$$\begin{array}{c} \displaystyle \omega(t)=\varepsilon_0t, \qu... ...quad \omega_0=\varepsilon_0{T \over 2}. \end{array}\eqno (3.1)$$

Здесь $t$ - время, $T$ - длительность медленного движения, $\omega_0$ и $\varepsilon_0$ - постоянные. Если в медленном движении участвуют оба концевых звена, то они вращаются синхронно либо в одном и том же, либо в противоположных направлениях, так что

$$\alpha_2(t)=\pm \alpha_1(t)+\beta, \quad t \in [0,T], \eqno (3.2)$$

где $\beta$ - постоянная.

Можно показать [8], что при медленном движении одного или двух концевых звеньев корпус остается неподвижным, если

$$m_0\ell[\sqrt 2(\omega^4_0+\varepsilon^2_0)^{1/2}+ (\varepsilon_0\ell+gk)\alpha^{-1}] \le m_1gk. \eqno (3.3)$$

Если же концевые звенья вращаются в противоположные стороны, т.е. имеет место знак "$-$" в (3.2), то (3.3) может быть заменено условием

$$m_0\ell(\omega^4_0+\varepsilon^2_0)^{1/2}\le m_1gk. \eqno (3.4)$$

Если концевые звенья вращаются достаточно медленно, т.е. $\omega_0$ и $\varepsilon_0$ в (3.1) достаточно малы, то неравенство (3.4) выполняется всегда, а неравенство (3.3) - при $m_0\ell < m_1 a$.

В случае двузвенника, начальные и конечные значения угла $\alpha$ для элементарного движения обозначим через $\alpha^0$ и $\alpha^1$ соответственно. При медленных движениях вращается концевое звено $OC_1$ (хвост), а корпус остается неподвижным, причем всегда $\alpha^0=0$, т.е. медленное движение начинается из прямолинейной конфигурации двузвенника. Соотношения (3.1) остаются справедливыми для двузвенника, если в них всюду опустить индекс $i$.

При медленном движении корпус двузвенника $C_1C_2$ остается неподвижным, если выполняются два неравенства

$$\begin{array}{c} m_0\ell(\varepsilon_0 \ell+gk) \le m_2bgk, ... ...on^2_0+\omega^4_0)^{1/2}b] \le m_1bgk. \end{array} \eqno (3.5)$$

Эти неравенства выводятся аналогично неравенствам (3.3) и (3.4). Если выполнены условия $m_0\ell<m_1b$ и $m_0\ell<m_2b$, то, как нетрудно видеть, оба условия (3.5) выполняются, если концевое звено вращается достаточно медленно, т.е. $\omega_0$ и $\varepsilon_0$ достаточно малы.

В быстрых движениях угловые скорости и ускорения достаточно велики, а время движения $\tau$ мало по сравнению с временем $T$ медленных движений. При этом в случае трехзвенника, управляющие моменты $M_1$ и $M_2$ по величине много больше моментов сил трения, равных $\mu gkL$, где $\mu = \max(m_0, m_1), \, L= \max(\ell, a)$, и поэтому силы трения можно не учитывать. Здесь по-прежнему выполняется условие (3.2), причем имеет место один из трех случаев: 1) $\alpha_2(t)=-\alpha_1(t)+\beta$ и, кроме того, либо $\alpha^0_1=0$, либо $\alpha^0_2=0;$ 2) $\alpha_2(t)=-\alpha_1(t);$ 3) $\alpha_2(t)=\alpha_1(t)$. Эти случаи будем называть быстрыми движениями типов 1, 2, 3 соответственно. Закон изменения угловых скоростей в быстрых движениях несуществен.

В случае двузвенника, управляющий момент $M$ при быстрых движениях по величине также много больше моментов сил трения $\mu gkL$, где $\mu=\max(m_0, m_1, m_2), \, L=\max(\ell, b)$. Закон изменения угловой скорости $\dot{\alpha}(t)$ здесь также несуществен, а угол $\alpha$ изменяется от некоторого $\alpha^0$ до $0$. Таким образом, быстрые движения всегда заканчиваются при прямолинейной конфигурации двузвенника $(\alpha^1=0)$.

Используя законы сохранения импульса и момента импульса, нетрудно подсчитать приращения за время быстрых движений линейных и угловых координат, определяющих положение и конфигурацию многозвенников.

В случае трехзвенника приращения переменных $x, y, \theta$ для быстрого движения типа 1 равны

$$\Delta x= \mp 4m_0m^{-1}\ell \sin^2\left(\displaystyle{\beta... ...2m_0m^{-1}\ell \sin \beta, \quad \Delta \theta= 0. \eqno (3.6)$$

Здесь верхний и нижний знаки отвечают случаям $\alpha^0_1=0$ и $\alpha^0_2=0$ соответственно. Для быстрого движения типа 2 получим

$$\Delta x=0, \quad \Delta y = 2m_0m^{-1}(\sin \alpha^1_1 - \sin \alpha^0_1), \quad \Delta \theta = 0. \eqno (3.7)$$

Для быстрого движения типа 3 имеем $\Delta x= \Delta y=0, \quad \Delta \theta \ne 0$, причем для $\Delta \theta$ также получено явное выражение.

Аналогичные формулы получены для быстрых движений двузвенника.

Перейдем к формированию продольного, бокового и вращательного движений многозвенников из элементарных движений.