2. Механические модели многозвенников

Рассмотрим сначала плоский трехзвенник $O_1C_1C_2O_2$, движущийся по горизонтальной плоскости (рис. 1).

Рис. 1. Трехзвенная система.

Трехзвенник состоит из центрального звена $C_1C_2$ длины $2a$ и двух звеньев $O_1C_1$ и $O_2C_2$ длины $\ell$ каждое. Для простоты примем, что звенья - абсолютно твердые и невесомые стержни, а вся масса трехзвенника сосредоточена в точках $O_1, C_1, C_2, O_2$. Масса каждой из точек $O_1$ и $O_2$ равна $m_0$, а каждой из точек $C_1$ и $C_2$ равна $m_1$. Таким образом, масса всего многозвенника равна $m=2(m_0+m_1)$. Звено $C_1C_2$ вместе с массами, сосредоточенными в шарнирах $C_1$ и $C_2$, будем называть корпусом, а звенья $O_1C_1$ и $O_2C_2$ вместе с концевыми массами - концевыми звеньями.

Многозвенник может двигаться по неподвижной шероховатой горизонтальной плоскости, в которой введена декартова система координат $xy$. Обозначим через $x, y$ декартовы координаты середины корпуса, а через $\theta_1, \theta, \theta_2$ - углы наклона звеньев $O_1C_1, C_1C_2, C_2O_2$ соответственно к оси $x$. Положим $\theta_i=\theta+\alpha_i$, $i=1, 2$, где $\alpha_i$ - углы между корпусом и концевыми звеньями $O_i, C_i$ соответственно.

Между точками $O_i, C_i, \, i=1,2$, и плоскостью действуют силы сухого трения, подчиняющиеся закону Кулона. В состоянии движения сила трения направлена против скорости точки и равна $m_igk$, где $m_i$ - масса точки, $g$ - ускорение силы тяжести, $k$ - кинематический коэффициент трения.

В шарнирах $C_1, C_2$ действуют управляющие моменты $M_1$ и $M_2$, которые могут изменяться произвольным заданным образом.

Наряду с трехзвенником, рассмотрим еще более простую модель - двузвенник $OC_1C_2$, изображенный на рис. 2.

Рис. 2. Двузвенная система.

Концевое звено (хвост) $OC_1$ имеет длину $\ell$, а корпус $C_1C_2$ - длину $b$. Масса двузвенника сосредоточена в точках $O, C_1$ и $C_2$, а массы этих точек равны $m_0, m_1$, и $m_2$ соответственно. Полная масса двузвенника равна $m=m_0+m_1+m_2$. Декартовы координаты шарнира $C_1$ двузвенника обозначим через $x_1, y_1$, а углы наклона звеньев $OC_1$ и $C_1C_2$ к оси $x$ - через $\theta_1$ и $\theta$ соответственно. Положим $\theta_1=\theta+\alpha$, где $\alpha$ - угол между корпусом $C_1C_2$ и хвостовым звеном $OC_1$. Между точками $O, C_1$ и $C_2$ и плоскостью действуют силы сухого трения, которые, как и в случае трехзвенника, подчиняются закону Кулона. В шарнире $C_1$ действует управляющий момент $M$, который может изменяться произвольным заданным образом.