2. Группа коллинеаций плоскости Хьюза порядка 9

Пусть G - рассматриваемая группа, она достаточно подробно описана в статье [1]. Приведем необходимые для данной работы факты о группе G.

1. Любая коллинеация g $\in$ G сохраняет подплоскость $\alpha$(поэтому термин "особенные точки и прямые" для подплоскости $\alpha$ оказался удачным).

2. G = G₀ x $\Gamma$, где G₀ - группа порядка 5616, образованная некоторыми продолжениями всех коллинеаций дезарговой подплоскости $\alpha$ на всю плоскость; Г - группа коллинеаций порядка 6, сохраняющих любую точку из $\alpha$, изоморфная группе подстановок шести точек на каждой из 13 особенных прямых a_iвне $\alpha$ и транзитивная на этих точках ( i = 0, 1,..., 12).

Поэтому | G| = | G₀| ^. |$\Gamma$| = 33696.

3. Плоскость допускает циклическую группу коллинеаций Hпорядка 13, порожденную коллинеацией

A : X_i $$\rightarrow$$ X_{i + 1}, x_i $$\rightarrow$$ x_{i + 1}(mod 13),

где X_i(x_i) - общее обозначение точки (прямой).

4. Группы Н и Г перестановочны поэлементно и не имеют общих элементов, кроме e, поэтому плоскость допускает группу H x $\Gamma$ порядка 78.

5. Укажем основные коллинеации для групп Г и G₀.

1) В качестве образующих элементов группы Г взяты:
u₀ = (BE)(CF)(DG)(be)(cf )(dg) и u₁ = (BF)(CG)(DE)(bf )(cg)(de). Тогда остальные нетождественные элементы этой группы находятся так:

u_- = u₁  u₀ = (BDC)(EFG)(bdc)(efg), (3) u₂ = u₊  u₀ = (BG)(CE)(DF)(bg)(ce)(df ).

Заметим, что при умножении (композиции) коллинеаций сначала выполняется та, что записана правее, знак композиции не ставится.

Индексы точек (прямых) в записи действия этих коллинеаций не указаны, так как они одинаковы у всех шести точек (прямых) вне $\alpha$ на каждой прямой a_i (для каждой точки A_i). Это позволяет легко перейти от группы Г к группе подстановок букв B, C, D, E, F, G, порождаемых коллинеациями из Г. Обозначим новую группу через $\Gamma^{*}_{}$, а ее элементы через u^*₀, u^*₁, u^*₊, u^*_-, u^*₂ и e, причем подстановка u^* $\in$ $\Gamma^{*}_{}$порождена соответствующей коллинеацией u $\in$ $\Gamma$.

2) Основными коллинеациями группы G₀ являются следующие.

а) Коллинеация A порядка 13, описанная выше, и ее степени A^m при m = 0, 1,..., 12.

б) Гиперболические гомологии (далее просто гомологии)
W_{m, k + m} с осью a_m (m = 0, 1,..., 12) и центром A_{k + m}, не принадлежащим a_m, всего 13 ^. 9 = 117 таких гомологий. Действие всех девяти гомологий W_{0, k} с осью a₀и центром A_k $\not\in$a₀ на плоскость указано в таблице 1 работы [1]. Опишем действие гомологии W_{0, 2}: (A₄A₁₀)(A₅A₁₁)(A₆A₇)(A₈A₁₂), a₁$\colon$s₀, a₂$\colon$s₀, a₆$\colon$s₀, a₁₂$\colon$s₂, (a₃a₇)$\colon$s₀, (a₄a₁₀)$\colon$s₀, (a₅a₁₁)$\colon$s_-, (a₈a₉)$\colon$s₂. При этом, через s₀, s₁, s₂, s₊, s_- и е обозначены, соответственно, следующие подстановки букв B, C, D, E, F, G: s₀ = (BE)(CG)(DF), s₁ = (BG)(CF)(DE), s₂ = (BF)(CE)(DG), s₊ = (BCD)(EFG), s_- = (BDC)(EGF), e = (B)(C)(D)(E)(F)(G). Эти подстановки суть элементы группы S₃ порядка 6, изоморфной группе $\Gamma^{*}_{}$. Оказывается, образующие элементы s₀ и s₁группы S₃, а следовательно, и остальные нетождественные элементы этой группы s₊ = s₀  s₁, s_- = s₁  s₀, s₂ = s₊  s₀получаются из соответствующих элементов группы Г транспозицией букв F и G.

Используя формулу

A^m  W_{0, k}  A^-m = W_{m, k + m}, (4)

где m = 0, 1,..., 12; k $\in$ {0, 1,..., 12}$\backslash${0, 1, 3, 9} и сложение выполняется по mod 13, можно получить все 13 ^. 9 = 117 гомологий группы G₀. Действие любой гомологии W_{m, k + m} на плоскость определяется по действию гомологии W_{0, k} увеличением индексов всех прямых и точек на m по mod 13.

в) Параболические гомологии (элации) h^*_{m, L + m} с осью a_m и центром A_{L + m}, принадлежащим a_m, всего 13 ^. 4 ^. 2 = 104 элации, по две взаимно обратные элации для каждой оси и каждого центра. Гомологии с осью a₀ позволяют найти все восемь элаций h^*_{0, L} с той же осью. Оказывается, h⁺_{0, 0} = W_{0, 2}  W_{0, 12}; h⁺_{0, 1} = W_{0, 2}  W_{0, 4}; h⁺_{0, 3} = W_{0, 2}  W_{0, 5}; h⁺_{0, 9} = W_{0, 2}  W_{0, 7}. Отсюда, несложно найти и обратные элации h^-_{0, L} для L = 0, 1, 3, 9.

Основные элации h⁺_{0, L} и их действие на плоскость указаны в таблице 2 работы [1]. Все 13 ^. 8 = 104 элации группы G₀находятся по формуле

A^m  h^*_{0, L}  A^-m = h^*_{m, L + m}, (5)

где m = 0, 1,..., 12; L = 0, 1, 3, 9; сложение ведется по mod 13, знак "*" заменяет знак "+" или "-". Действие любой элации h^*_{m, L + m} на плоскость определяется аналогично тому, как определялось действие гомологии W_{m, k + m}.

г) Коллинеация r порядка 3, действующая на точки и прямые по формуле:

A_i $$\rightarrow$$ A_3i, a_i $$\rightarrow$$ a_3i(mod 13).

Оказывается, коллинеация r индуцирует подстановку s₊ $\in$ S₃ для точек вне $\alpha$ как на прямой a₀, так и на каждой из упорядоченных троек прямых

(a₁, a₃, a₉),(a₂, a₆, a₅),(a₄, a₁₂, a₁₀),(a₇, a₈, a₁₁).

На множестве особенных точек и прямых коллинеация r действует так:

(A₀)(A₁A₃A₉)(A₂A₆A₅)(A₄A₁₂A₁₀)(A₇A₈A₁₁)

(a₀)(a₁a₃a₉)(a₂a₆a₅)(a₄a₁₂a₁₀)(a₇a₈a₁₁).

3) В качестве образующих элементов группы G₀ в данной работе взяты следующие коллинеации A, W_{0, 2} и r. Их действие на точки и прямые плоскости описано выше.

Покажем, как с помощью этих образующих элементов можно получить любую гомологию W_{0, k} с осью a₀ и центром A_k $\not\in$a₀, а следовательно, и любую гомологию W_{m, k + m} с осью a_mи центром A_{k + m} $\not\in$a_m (m = 0, 1,..., 12) по формуле (4).

Трансформируя гомологию W_{0, 2} посредством r, r² = r^-1, получим гомологии W_{0, 5} и W_{0, 6} соответственно, то есть

W_{0, 5} = r^-1  W_{0, 2}  r,  W_{0, 6} = r  W_{0, 2}  r^-1. (6)

Далее несложно находятся остальные шесть гомологий с осью a₀:

W_{0, 7} = W_{0, 2}  W_{0, 6}  W_{0, 2} W_{0, 8} = W_{0, 5}  W_{0, 6}  W_{0, 5}

W_{0, 10} = W_{0, 5}  W_{0, 6}  W_{0, 2} W_{0, 11} = W_{0, 2}  W_{0, 5}  W_{0, 2} (7)

W_{0, 4} = W_{0, 6}  W_{0, 5}  W_{0, 2} W_{0, 12} = W_{0, 5}  W_{0, 2}  W_{0, 6}.

Итак, группы Г и G₀ описаны полностью. Анализ действия образующих элементов групп Г и G₀ на точки, а потому и все прямые плоскости, подтверждает сказанное в п.1, что особое положение занимает дезаргова подплоскость $\alpha$ как сохраняемая любой коллинеацией группы G = $\Gamma$ x G₀.

Используя коллинеацию A, легко установить, что все особенные точки A_i (прямые a_i) равноправны. Все неособенные точки (прямые) также равноправны, это устанавливается с помощью группы H x $\Gamma$ порядка 78, где Н = < A >.