3. Представление любой коллинеации группы G₀ в виде произведения трех гомологий

Из основного курса проективной геометрии известна теорема: любая коллинеация классической проективной плоскости является произведением не более трех гомологий. Эта же теорема верна и для дезарговой КПП $\alpha$ порядка 3. Это объясняется тем, что группа G_$\alpha$ коллинеаций дезарговой КПП $\alpha$ порядка 3 транзитивна на упорядоченных 4-дугах КПП $\alpha$, а их будет точно 13 ^. 12 ^. 9 ^. 4 = 5616. В то же время, | G_$\alpha$| = 5616, и поэтому любая коллинеация g $\in$ G_$\alpha$может быть задана единственным образом парой упорядоченных 4-дуг MNPQ и M'N'P'Q' из плоскости $\alpha$; с другой стороны, тремя гомологиями из G_$\alpha$ 4-дугу MNPQ можно преобразовать в 4-дугу M'N'P'Q' [7], поэтому в силу единственности, g_$\alpha$ - произведение трех гомологий из G_$\alpha$.

Продолжая все коллинеации дезарговой подплоскости $\alpha$(из группы G_$\alpha$) определенным образом на всю плоскость Хьюза порядка 9, получим группу G₀ коллинеаций (плоскости Хьюза порядка 9). При этом любая коллинеация g $\in$ G₀ (g - продолжение g_$\alpha$ на плоскость) представляется произведением трех гомологий (гомология подплоскости $\alpha$ продолжается до гомологии всей плоскости). Заметим, что если g - гомология, то g = g ^. e ^. e, где e - тождественная гомология; если же h - элация, то она представляется произведением двух нетождественных гомологий (с той же осью) и гомологии "e". Наконец, отметим, что представление коллинеации в виде произведения трех гомологий не является однозначным.

В процессе исследования k-дуг может потребоваться любая коллинеация из группы G₀, поэтому важно уметь находить представление любой коллинеации g $\in$ G₀ в виде произведения трех гомологий. Этот поиск выполнен в данной работе с помощью ЭВМ.