1. Краткое описание плоскости Хьюза порядка 9

Точки плоскости обозначаются здесь буквами A, B, C, D, E, F, G с индексами 0, 1, 2,..., 12; всего имеем - 7 ^. 13 = 91 точку, как и должно быть в плоскости порядка 9.

Базисными точками являются A₀, B₀, C₀, D₀, E₀, F₀, G₀, остальные получаются из них увеличением индекса по правилу

$$\rightarrow$$ (1)

Для исследования достаточно знать список всех 91 прямых плоскости. Они обозначаются малыми латинскими буквами a, b, c, d, e, f, g с индексами 0, 1, 2,..., 12.

Базисными прямыми являются:

d₀ : A₀, F₁, F₈, E₃, E₁₁, D₂, D₅, D₆, G₇, G₉ (2) e₀ : A₀, B₁, B₈, D₃, D₁₁, E₂, E₅, E₆, C₇, C₉ f₀ : A₀, D₁, D₈, C₃, C₁₁, F₂, F₅, F₆, B₇, B₉ g₀ : A₀, C₁, C₈, B₃, B₁₁, G₂, G₅, G₆, D₇, D₉.

Преобразование (1) индексов прямых и точек позволит получить полный список из 91 прямых плоскости.

Легко убедиться, что 13 точек A₀, A₁, ..., A₁₂вместе с 13 соответствующими прямыми A₀A₁A₃A₉, A₁A₂A₄A₁₀, ..., A₁₂A₀A₂A₈ образуют дезаргову подплоскость $\alpha$ порядка 3. Точки и прямые этой подплоскости далее будем называть особенными, остальные 78 (91 - 13 = 78) точек и 78 прямых будем называть неособенными.

Из приведенного описания следует, что в плоскости Хьюза порядка 9:

1) каждая особенная прямая содержит 4 особенные точки и 6 неособенных точек;

2) каждая неособенная прямая содержит 1 особенную точку и 9 неособенных точек;

3) каждая особенная точка принадлежит 4 особенным прямым и 6 неособенным прямым;

4) каждая неособенная точка принадлежит 1 особенной прямой и 9 неособенным прямым.