Пусть движение объекта управления описывается системой
дифференциальных уравнений
где 
- соответственно n- и m-мерныe
функции времени;
f(t,x,v) - n-мерная вектор-функция;
B(t,x,v) - 
-матрица-функция;
Производные в (1.1) следует понимать в обобщенном смысле
[2].
Пусть 
; определим множество
где 
- банахово пространство m-мерных функций
ограниченной вариации,
(точная верхняя грань берется по всем конечным разбиениям
отрезка 
- p-норма вектора v.
Назовем 
множеством допустимых управлений.
Заметим, что при 
выполняется включение 
.
Пусть функции f(t,x,v) и B(t,x,v) удовлетворяют следующим
требованиям:
для всех 
Согласно [3, с. 155,], в этом случае множество допустимых траекторий
равномерно ограничено, т.е. для всех соответствующая траектория 
принимает
значения в 
где Q - компакт.
Условие (А). Пусть функции f(t,x,v) и B(t,x,v)
подчиняются требованиям (1.2),
(1.3) и являются непрерывными по совокупности
переменных (t,x,v) в области
а матрица-функция
обладает непрерывными частными
производными
и
по x и v
в той же области, и выполняется условие Фробениуса
Кроме того, пусть существует число K>0 такое, что
для всех 
Под решением (1.1), соответствующим функции ограниченной
вариации v(t), будем, как и в [3, с. 148,],
понимать вектор-функцию 
,
являющуюся поточечным пределом последовательности
, порожденной последовательностью абсолютно
непрерывных функций 
, сходящейся поточечно к функции
v(t), если x(t) не зависит от выбора последовательности
.
Согласно [3, с. 164,], условие (А) является достаточным
для того, чтобы
для любого 
существовала
единственная траектория 
определенная на
интервале 
и удовлетворяющая уравнению
Здесь 
- непрерывная составляющая функции v(t);
второй интеграл в (1.4) - интеграл Римана-Стилтьеса
[4];
- точки левого разрыва функции v(t);
- точки правого разрыва функции v(t);
а
функция 
называемая
левым (правым) скачком функции x, определяется равенством
где z - решение задачи Коши
Сформулируем задачу оптимального управления:
требуется минимизировать функционал Больца
вдоль траекторий системы (1.1), где g и h -
скалярные функции, удовлетворяющие следующему условию.
Условие (Б).
Пусть функции g(x) и h(t,x)
непрерывны по всем своим переменным в области 
,
; кроме того, пусть существует число K>0
такое, что
для всех 