,
условия разрешимости
Из условий разрешимости задачи ЛП следуют условия разрешимости
задач 
и 
в следующих формах.
Пусть 
-
строчки матрицы A, 
- единичные орты пространства
R
- единичные орты пространства R
. Выпишем
две группы соотношений:
При 
разрешимость задачи равносильна
выполнимости условий (27) при 
разрешимость задачи равносильна выполнимости
условий (28). Соотношения (27) и (28) записаны в
предположении 
и 
. Если в
качестве ограничения принять разрешимость систем неравенств в задачах
и при любых 
и
(а это эквивалентно разрешимости систем 
и 
, 
для всех
и 
), то справедливо утверждение [1,
теорема 3.1]: при выполнимости соотношений 
и
существует непустая область значений параметров r> 0
и R> 0 таких, что
Так как (25) и (26) находятся в классической двойственности, то opt(25) =opt(26).
В связи с этой теоремой представляет интерес то обстоятельство,
что значения параметров r и R, обеспечивающих
справедливость сформулированной теоремы, обеспечивают ее
справедливость и в ситуации
``урезанных'' совокупностей
функций 
и 
, а именно. Рассмотрим
``урезанные'' задачи
. Для s=0 полагаем 
аналогично, если t=0, то полагаем 
. Задачи,
перекрестно скаляризующие (29) и (30), запишутся
в форме:
ограничения из (29) },
ограничения из (30)}.
Теорема 4.
Пусть системы неравенств и
,
совместны для всех 
и выполнены условия 
.
Тогда существует непустая область значений параметров r> 0
и 
- единых для всех 
и 
и таких, что
Дадим пояснения к обоснованию сформулированной
теоремы.
Обоснование для случая задач (22), (24) и
(25), (26) в соответствии с работой [2,
теорема 2.1] состоит в последовательном назначении констант:
- для обеспечения эквивалентности (по Arg)
задач (23)
и 
, затем 
- для
обеспечения эквивалентности задач (23)
и
и т.д., наконец, 
-
для обеспечения эквивалентности задач (23)
и
.
При этом назначение констант не зависит от r [2,
лемма 2.1]. Значения параметров 
, фигурирующих в
формулировке теоремы 4, получаются в силу соотношений 
. Так же дело обстоит и с
назначениями параметров 
. Из описанной схемы формирования
и видно, что эти же константы обслуживают
схему эквивалентной сводимости задач (29), (31) к
задачам (30), (32), что и является смыслом
теоремы 4.