2. Алгоритм решения

Перейдем к описанию алгоритма решения задачи. Рассмотрим две последовательности:

$$\{\alpha _j\} \subset R \qquad \mbox{и} \qquad \{\omega _j\}... ... 1, \quad \alpha _j \to 0 \quad \mbox{при} \quad j \to \infty,$$

$$\Vert\omega _j\Vert=1, \quad A=\sum_{j=1}^{\infty} \alpha _j^2 < \infty,$$

таких, что множество линейных комбинаций $\omega _j$ плотно в $V$. Пусть номер $N(h)$ таков, что $$\sum_{j=N(h)+1}^{\infty} \alpha _j^2<h$$. Введем искусственное время $t\in T=[t_0,\vartheta ]$, $\vartheta <+\infty$. На промежутке $T$ выберем семейство равномерных сеток

$$\Delta_h=\{\tau_i\}_{i=0}^m, \quad \tau_i=\tau_{i-1}+\delta (h), \quad \tau_0=t_0, \quad t_m=\vartheta , \quad m=m(h)$$

с диаметрами $\delta (h)$. Рассмотрим вспомогательную управляемую систему, описываемую конечномерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений

$$\dot w_{h,j}(t)=\langle B(\xi_h)\nu^h(t)-B_1(\xi_h),\omega _... ...\quad t\in T, \quad j\in [1,\ldots,N(h)], \quad w_{h,j}(t_0)=0$$

с управлением $\nu^h(\cdot )$. Фазовую траекторию системы обозначим $w_h(t)=\{w_{h,j}(t)\}_{j=1}^{N(h)}$, $t\in T$. Управлять моделью будем по принципу обратной связи, разбив весь процесс на $m-1$ однотипных шагов. В течение $i$-го шага, осуществляемого на отрезке времени $[\tau_i,\tau_{i+1}]$, выполним следующие операции. Сначала, в момент $\tau_i$, $i\ge 0$, вычислим управление $\nu_i^h=\nu_i^h(\xi_h,w_h(\tau_i))\in P$:

$$% -----------------------------------------------------------... ...rg\min\{ J(u): u\in U_{h,i}(\xi_h,w_h(\tau_i))\}, \quad %(5)$$ (5)

где

$$U_{h,i}(\xi_h,w_h(\tau_i))= \Big\{ u\in P:\langle \mu_h(\xi_h,s_i),u\rangle _{U\times U^*}\le{}$$

$${}\le \sum_{j=1}^{N(h)} \Big\{ \alpha _j^2s_{ij} \langle B... ... \omega _j\rangle +kh\vert\alpha _j^2s_{ij}\vert\Big\}\Big\},$$

$$k=Ld(P)+L_1+1, \quad s_i=\{ s_{i1},\ldots,s_{iN(h)}\}\in R^{N(h)}, \quad s_{ij}=w_{h,j}(\tau_i)-\tau_i z_j^h,$$

$$d(P)=\sup\{\vert u\vert _U: u\in P\}, \quad \mu_h(\xi_h,s_i)... ...ha _j^2s_{ij}B^*(\xi_h)\omega _j, \quad z_j^h=(f_h,\omega _j),$$

$B^*(\xi_h): V\to U^*$ - оператор, сопряженный к оператору $B(\xi_h): U\to V^*$, символ $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{U\times U^*}$ означает двойственность между пространствами $U$ и $U^*$. После этого, действуя на модель в течение промежутка времени $[\tau_i,\tau_{i+1})$ постоянным управлением

$$\nu^h(t)=\nu^h(t;\xi_h,w_h(\cdot ))=\nu_i^h,$$

переведем фазовую траекторию из состояния $w_h(\tau_i)=\{w_{h,j}(\tau_i)\}_{j=1}^{N(h)}$ в состояние $w_h(\tau_{i+1})=w_h(\tau_{i+1}; w_h(\tau_i), \nu_i^h)$. Процедуру закончим в момент $\vartheta$.

Заметим, что $U(x(u))\subset P$, множество всех $\nu\in P$, порождающих решение $x(u)$, выпукло, ограничено и замкнуто. Пусть

$$u_*=\arg\min\{J(\nu): \nu\in U(x(u))\}.$$

Будем говорить [11], что $v^h$ сходится к $U(x(u))$ слабо, если предел любой слабо сходящейся последовательности $\{v^{h_k}(\cdot )\}_{k=1}^{\infty}$, ($h_k\to +0$ при $k\to\infty$) принадлежит $U(x(u))$. (Так как $U$ - рефлексивно, то такие последовательности существуют).

Теорема 2.1. Пусть $\delta (h)\to 0$ при $h\to +0$. Тогда

$$u_h\equiv \frac{1}{\vartheta -t_0}\int\limits_{t_0}^{\varthe... ...t\to U_*(x(u)) \quad \mbox{слабо}\quad \mbox{при}\quad h\to 0.$$

Если функционал $J$ строго выпуклый, то $u_h\to u_*$ в $U$.

Прежде, чем переходить к доказательству теоремы, приведем одно вспомогательное утверждение. Обозначим

$$\vert y\vert _{\alpha ,N(h)}^2=\displaystyle\sum_{j=1}^{N(h)... ...h)}\in R^{N(h)}, \quad z^h=\{z_j^h\}_{j=1}^{N(h)}\in R^{N(h)},$$

$$\lambda _h(t;w_h,f_h)=\vert w_h(t)-tz^h\vert _{\alpha ,N(h)}^2.\vspace{0.6ex}$$

Лемма 2.1. Справедливы неравенства

$$J(\nu_i^h)\le J(u_*), \quad i\in [0,\ldots,m-1],$$

$$\sup_{t\in T} \lambda _h(t,w_h,f_h)\le d(h+\delta ), \quad t\in T.$$

Здесь $d\in(0,+\infty)$ - постоянная, выписываемая в явном виде и не зависящая от $h \in (0,1)$, $N(h)$, $\xi_h$, $\nu^h(\cdot )$ и $\omega _j$.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства леммы оценим изменение величины $\lambda _h(t)$ при $t\in [\tau_i,\tau_{i+1})$. Имеем

$$\lambda _h(t; w_h, f)=\sum_{j=1}^{N(h)} \alpha _j^2\Big\{ w_... ...^h-B_1(\xi_h)-f_h,\omega _j\rangle - \tau_iz_j^h\Big\}^2\le {}$$

$${}\le \lambda _h(\tau_i; w_h, f)+2(t-\tau_i)\Lambda _{h,i}(t;\xi_h)+{}$$

$$% -----------------------------------------------------------... ...h)\nu_i^h-B_1(\xi_h)-f_h, \omega _j\rangle \Big\vert^2, %(6)$$ (6)

где

$$\Lambda _{h,i}(t;\xi_h)=\sum_{j=1}^{N(h)} \alpha _j^2s_{ij}% \langle B(\xi_h)\nu_i^h-B_1(\xi_h)-f_h,\omega _j\rangle .$$

В силу условия 1.1.2 и неравенств (2)

$$\vert w_{h,j}(t)\vert\le \int\limits_{t_0}^t\Big\vert\langle... ...h)\nu^h(\tau)- B_1(\xi_h),\omega _j\rangle \Big\vert\,d\tau\le$$

$$\le \int\limits_{t_0}^t \Big\Vert B(x(u_*))\nu^h(\tau)-B_1(x... ...0}^t\Big\{ L\Vert x(u_*)-\xi_h\Vert\vert\nu^h(\tau)\vert _U+{}$$

$$% -----------------------------------------------------------... ...,d\tau\le k_1, \quad t\in T,\quad j\in [1,\ldots,N(h)], %(7)$$ (7)

$$% -----------------------------------------------------------... ...omega _j\rangle \Big\vert\le k_2h \quad \forall u\in P, %(8)$$ (8)

$$k_2=Ld(P)+L_1.$$

Далее имеем

$$\langle B(x(u_*))u_*-B_1(x(u_*))-f,\omega _j\rangle =0\quad\forall j, \quad \vert\langle f-f_h,\omega _j\rangle \vert\le h.$$

Отсюда и из (8) выводим

$$\Big\vert\langle B(\xi_h)u_*-B_1(\xi_h)-f_h,\omega _j\rangle \Big\vert\le kh.$$

Значит,

$$\Big\vert \sum_{j=1}^{N(h)}\alpha _j^2s_{ij}\langle B(\xi_h)... ... \Big\vert\le kh\sum_{j=1}^{N(h)} \vert\alpha _j^2s_{ij}\vert.$$

Поэтому

$$% -----------------------------------------------------------... ..._h, \omega _j\rangle \le kh\vert\alpha _j^2s_{ij}\vert. %(9)$$ (9)

Тогда в силу правила выбора $\nu_i^h$ (см. (5)) и (9) имеем

$$% -----------------------------------------------------------... ...h)\le kh\sum_{j=1}^{N(h)} \vert\alpha _j^2s_{ij}\vert, %(10)$$ (10)

$$% ---------------------------------------------------------------------- J(\nu_i^h)\le J(u_*). %(11)$$ (11)

Кроме того,

$$% ---------------------------------------------------------------------- \lambda _h(t_0;w_h,f_h)=0, %(12)$$ (12)

$$% -----------------------------------------------------------... ...h-B_1(\xi_h)-f_h, \omega _j\rangle \Big\vert^2\le k_3. %(13)$$ (13)

Заметим, что в оценках (7)-(13) постоянные $k_r$, $r\in \{1, 2, 3 \}$ не зависят от $h \in (0,1)$, $N(h)$, $\xi_h$, $\nu^h(\cdot )$ и $\omega _j$. Из (6), (10), (13) следует при $t\in [\tau_i,\tau_{i+1})$ неравенство

$$\lambda _h(t; w_h, f_h)\le\lambda _h(\tau_i; w_h, f_h)+ 2(t-... ..._{j=1}^{N(h)} \vert\alpha _j^2s_{ij}\vert+k_3(t-\tau_i)^2\le{}$$

$${}\le k_4(t-\tau_i)(h+\delta ).$$

Значит

$$% -----------------------------------------------------------... ...\sup_{t\in T} \lambda _h(t; w_h, f_h)\le d(h+\delta ). %(14)$$ (14)

Справедливость леммы следует из (11), (14). Лемма доказана.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2.1. Предполагая противное, заключаем, что найдется слабо сходящаяся последовательность $\{ u_{h_k}\}_{k=1}^{\infty}$ такая, что $u_{h_k}\to u_0$ слабо в $U$, но $u_0\notin U(x(u))$. Символами $\Vert\cdot \Vert _{\alpha }$ и $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\alpha }$ обозначим $\alpha$-норму в пространстве $V^*$ и отвечающее ей скалярное произведение

$$\Vert y\Vert _{\alpha }= \Big(\sum_{j=1}^{\infty} \alpha _j^... ...rangle \langle x,\omega _j\rangle \quad \forall x,\, y\in V^*.$$

Заметим, что на ограниченных множествах сходимость в $\alpha$-норме эквивалентна слабой сходимости.

Пусть

$$J_x^0[\gamma]=\min\{ J(v): v\in P, \quad \Vert B(x)v-B_1x-f\Vert _{\alpha }^2\le\gamma\},$$

$U_x^0[\gamma]$ ($\gamma>0$) - множество всех элементов $u\in P$ таких, что

$$\mu(x,u)=\Vert B(x)u-B_1(x)-f\Vert _{\alpha }^2\le\gamma,$$

$$J(u)\le J_x^0.$$

Здесь величина $J_x^0$ определена согласно (3). В силу выпуклости функционала $J$

$$J(u_{h_k})\le\frac{1}{\vartheta -t_0}\int\limits_{t_0}^{\var... ...{1}{\vartheta -t_0}\sum_{i=0}^{m-1} J(v_i^h)\delta \le J(u_*).$$

Нетрудно видеть, что справедливо неравенство

$$\Big\vert \Vert x(u_*)\Vert _{\alpha }^2-\vert z^N(x(u_*))\v... ...(u_*),\omega _j)^2\Big\vert\le k_*h\Vert x(u_*)\Vert _{V^*}^2,$$

где $k_*$ не зависит от $x(u_*)$. Отсюда и из леммы 1 выводим

$$\sup_{t\in T}\Big\Vert \int\limits_{t_0}^t (B(\xi_{h_k})\nu^{h_k}(\tau)-B_1(\xi_{h_k})-f)\,d\tau \Big\Vert _{\alpha }^2={}$$

$${}= \sup_{t\in T} \sum_{j=1}^{\infty} \alpha _j^2\Big\langle... ...h_k}(\tau)-B_1(\xi_{h_k})-f)\,d\tau,\omega _j\Big\rangle ^2\le$$

$$\le \sup_{t\in T} \Big\{ \lambda _{h_k}(t; w_{h_k},x(u_*))+k... ..._k}(\tau)-B_1(\xi_{h_k})-f)\,d\tau \Big\Vert _{V^*}^2\Big\}\le$$

$$\le k_0(h_k+\delta _k), \quad \delta _k=\delta (h_k), \quad k_0=k_0(d),$$

т. е. $u_{h_k}\in U_x^0(k_0(h_k+\delta _k))$. Учитывая условие 1.1.2 и неравенства (2), из последнего неравенства получаем

$$\sup_{t\in T} \Big\Vert \int\limits_{t_0}^t (B(x(u_*))u_0(\tau)-B_1(x(u_*))-f)\,d\tau\Big\Vert _{V^*}=0.$$

Отсюда и следует справедливость теоремы.