1. Постановка задачи

Пусть $(V,\Vert\cdot \Vert)$ - сепарабельное и рефлексивное банахово пространство, $(H,\vert\cdot \vert _H)$ - гильбертово пространство, отождествляемое с его сопряженным: $H=H^*$. Предполагается, что $V$ вложено в $H$ плотно и непрерывно. Заданы равномерно выпуклое банахово пространство $(U,\vert\cdot \vert _U)$, выпуклое ограниченное и замкнутое множество $P \subset U$, а также семейство операторов $B(x)$, удовлетворяющих условию:

Условие 1.1.

1) Oтображение $B(x) : U \to V^*$ линейно $\forall\,x \in V$;

2) $\Vert\,\{B(x) - B(y)\}u \,\Vert _{V^*} \le L \Vert x - y \Vert\,\vert u\vert _U$ $\forall\,x, y \in V, \ u \in P$; $B(0)u=0$;

3) $D(B(x)) = D \subset U$ $\forall\,x \in V$, $P \subset D, \ \overline {D}=U$.

Здесь $D(B(x))$ - область определения оператора $B(x) : U \to V^*$, символ $\overline {D}$ означает замыкание множества $D$ в норме пространства $U$. Пусть также задан оператор $B_1(\cdot ): V \to V^*$ со свойствами:

$$\Vert B_1(x)-B_1(y)\Vert _{V^*} \le L_1\Vert x-y\Vert \quad \forall\,x, \, y \in V, \quad B_1(0)=0.$$

Рассмотрим операторное уравнение

$$% ---------------------------------------------------------------------- B(x)u-B_1(x)=f, %(1)$$ (1)

где $f \in V^*$ - фиксированный элемент. Обсуждаемая задача состоит в следующем. Параметр $u \in U$, а также элемент $f$ неизвестны. Известен параметр $f_h\in V^*$ - приближение $f$:

$$\Vert f_h-f\Vert _{V^*}\le h.$$

Кроме того, известно, что $u$ принадлежит множеству $P: u \in P\subset U$. Требуется указать алгоритм, позволяющий по неточным измерениям решения $x(u)$ уравнения (1) и правой части $f$ вычислить (приближенно) параметр $u$. Результат измерения $x(u)$ - величина $\xi_h \in V$ - удовлетворяет неравенству

$$% ---------------------------------------------------------------------- \Vert\xi_h - x(u)\Vert\le h, %(2)$$ (2)

где $h \in (0,1)$ - параметр точности измерения. В дальнейшем предполагается, что неизвестному параметру $u$ отвечает единственное решение $x=x(u) \in V$ уравнения (1), т. е. единственный элемент $x\in V$ такой, что

$$\langle B(x)u-B_1(x)-f,p\rangle \equiv 0 \qquad \forall p\in V.$$

Здесь символ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ означает двойственность между пространствами $V$ и $V^*$. Сам же элемент $x=x(u)$ может порождаться различными реализациями параметра $u\in P$. Именно, множество

$$U(x(u))=\{v\in P: B(x(u))v-B_1(x(u))=f \}$$

может быть не одноэлементным. В этом случае будем предполагать, что нас интересуют не все параметры из этого множества, а лишь некоторые - те, которые выделены с помощью того или иного принципа выбора. В теории некорректных задач за принцип выбора часто принимается принцип минимума некоторого функционала. Следуя этому подходу, будем считать, что на множестве $U$ определен функционал $J:U \to R$.

Итак, обсуждаемая задача состоит в построении алгоритма приближенного вычисления экстремального значения

$$% ---------------------------------------------------------------------- J^0_x = \min\ \{\ J(v):v \in U(x(u))\} %(3)$$ (3)

и экстремального входа

$$% -----------------------------------------------------------... ...----- u_0\in U_*(x(u)) = \arg\min\{J(v):v \in U(x(u))\} %(4)$$ (4)

по измерению с ошибкой решения уравнения (1) $x=x(u)$ и неточно известной правой части $f$.

В дальнейшем полагаем, что $J$ - выпуклый собственный слабо полунепрерывный снизу функционал. В этом случае задача (3), (4) имеет решение, ибо, как легко видеть, множество $U(x(u))$ выпукло, ограничено и замкнуто.

Рассматриваемая задача по своей сути является стационарной. Для ее решения, однако, предлагается регуляризованный динамический алгоритм. Алгоритм является пошаговым: он работает на фиксированном временном промежутке. В основу построения предлагаемого алгоритма положена идея стабилизации (удержания движения вблизи нуля) с помощью подходящей скалярной функции Ляпунова. Процесс стабилизации этой функции (выбора управления в модели) осуществляется по закону обратной связи и опирается на принцип экстремального сдвига Н. Н. Красовского в сочетании с методом невязки.