3. Пример

Рассмотрим нелинейное эллиптическое уравнение

$$% -----------------------------------------------------------... ...)+\gamma(x(\eta)) \quad \mbox{п.~в.\ на}\quad \Omega , %(15)$$ (15)

$$\partial x/\partial\eta_{u^{(1)}}+\beta_j(x)=u_j^{(3)}+f_j \quad \mbox{п.~в.\ на}\quad \Gamma_j,\quad j=1, 2.$$

Здесь $\Omega \in R^n$ - односвязная область с достаточно гладкой границей $\Gamma$, $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ - гладкие части $\Gamma$, $\Gamma=\Gamma_1\cup \Gamma_2$, $\Gamma_1\cap \Gamma_2=\emptyset$, $\beta_1$, $\beta_2$ и $\gamma$ - липшицевы функции, $\beta_j(0)=0$, $\gamma(0)=0$,

$$\partial x/\partial\eta_{u^{(1)}}=\displaystyle\sum_{k,l=1}^n u_{k,l}^{(1)}(\eta)\partial x/\partial\eta_k \cos(n,\eta_l)$$

- производная по внешней нормали $n$,

$$\Big( B_0(x)u^{(1)} \Big)(\eta)=-\sum_{k,l}^n \Big(u_{k,l}^... ...Big)_{\eta_1}+ u_0^{(1)}(\eta)x(\eta), \quad \eta\in \Omega ,$$

$$\{u^{(1)},u^{(2)}\}\in P_1\subset L_2(\Omega ;R^{n\times{n+1}}),\quad u_j^{(3)}\in P_{3j},\quad P_{3j}\subset L_2(\Gamma_j)$$

- выпуклые, ограниченные и замкнутые множества; $f\in L_2(\Omega )$, $f_j^{(3)}\in L_2(\Gamma_j)$ - заданные возмущения.

Положим

$$H=L_2(\Omega ),\quad V=H^1(\Omega ),\quad u=(u^{(1)}, u^{(2)}, u_1^{(3)}, u_2^{(3)}),$$

$$U=L_2(\Omega ; R^{n\times{n+2}})\times L_2(\Gamma_1)\times L_2(\Gamma_2).$$

Введем семейства операторов $B(x)$ и $B_1(x)$:

$$\langle B(x)u,y\rangle =\sum_{k,l=1}^n \int\limits_{\Omega }... ... \int\limits_{\Omega } u_0^{(1)}(\eta)x(\eta)y(\eta)\,d\eta+{}$$

$${}+ \int\limits_{\Omega } u^{(2)}(\eta)y(\eta)\,d\eta+\sum_{... ...3)}(\sigma)(\Lambda y)(\sigma)\,d\sigma \qquad \forall y\in V,$$

$$\langle B_1(x),y\rangle =\int\limits_{\Omega } \gamma(x(\eta... ... x(\sigma))(\Lambda y)(\sigma)\,d\sigma \qquad \forall y\in V.$$

Здесь $\Lambda: V\to L_2(\Gamma)$ - оператор следа [12].

Под решением уравнения (15), отвечающим элементу $u\in P=P_1\times P_{31}\times P_{32}$, будем понимать элемент $x=x(u) \in V$, удовлетворяющий соотношению

$$\langle B(x)u_*-B_1(x),v\rangle =\langle f,v\rangle \quad \forall v\in H^1(\Omega ),$$

где элемент $f \in V^*$ задается соотношением

$$\langle f,v\rangle =\int\limits_{\Omega } f(\eta)v(\eta)\,d\... ...f_j(\sigma)(\Lambda v)(\sigma)\,d\sigma \qquad \forall v\in V.$$

Достаточные условия существования и единственности решения см., например, в [12, 13].

Задача восстановления коэффициентов $u^{(1)}$ эллиптического оператора $B_0(x)$, распределенного управления $u^{(2)}$ и граничных управлений $u_j^{(3)}$, $j=1, 2$, по неточным измерениям решения $x=x(u)$ уравнения (15) может быть рассмотрена как частный случай описанной выше задачи. Это следует из приведенного ниже утверждения 3.1.

Действительно, пусть $H=L_2(\Omega )$, $U_1=L_2(\Omega ; R^{n\times{n+1}})$, $P_*\subset U_1$ - выпуклое, ограниченное и замкнутое множество в $L_{\infty}(\Omega ; R^{n\times{n+1}})$, $V$ - гильбертово пространство такое, что

$$H_0^1(\Omega )\subset V\subset H^1(\Omega ),$$

$$\vert x\vert _V=\vert x\vert _{H_0^1(\Omega )}+\vert l_V(x)\... ...\in V, \quad \mbox{где}\quad l_V(\cdot )\in L(H^1(\Omega ); R)$$

($l_V(\cdot )$ - линейный непрерывный функционал из $H^1(\Omega )$ в $R$). Справедливо

Утверждение 3.1 [14]. Выражение

$$\langle B(x)u,v\rangle =L(x,u,v)\quad \forall v\in V,$$

где

$$L(x,u,v)=\sum_{k,l=1}^n \int\limits_{\Omega } u_{k,l}(\eta)x... ...\,d\eta+ \int\limits_{\Omega } u_0(\eta)x(\eta)v(\eta)\,d\eta,$$

$$u=u(\eta)=\Big\{ \{u_{k,l}(\eta)\}_{k,l=1}^n\Big\}\times u_0(\eta)\in P_*,$$

задает семейство зависящих от $x\in V$ операторов $B(x)$, обладающих свойствами:

1. $D(B(x))=L_{\infty}(\Omega ; R^{n\times{n+1}})\quad \forall x\in V$, отображение $u\to B(x)u$ линейное;
2. $\vert B(x)u\vert _{V^*}\le K\vert x\vert _V\quad \forall x\in V$, $u\in P_*$;
3. $\vert\{ B(x)-B(y)\}u\vert _{V^*}\le K\vert x-y\vert _V\quad \forall x,\, y\in V$, $u\in P_*$.

Поступила 16.07.99