4. Задача минимизации функционала типа "энергия" на траекториях линейных систем при эллипсоидальном геометрическом ограничении на многомерное управление

4.1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу оптимального управления

$$\left\{ \begin{array}{ll} \dot x =Ax+u; \quad 0 \le t \le ... ...t \to \min\limits_{u(\cdot)}. \end{array} \right. \eqno{(43)}$$

Здесь $x$ - $n$-мерный фазовый вектор; $u$ - $n$-мерное управление, которое принимает значения из эллипсоидальной области управления $U$, размеры и форма которой определяются симметричной положительно определенной матрицей $M$ порядка $n$; $x_0 \ne 0$ - заданное начальное состояние управляемого объекта; $T>0$ - заданная длительность процесса управления, подчиненная неравенству

$$T > T_{op} (x_0), \eqno{(44)}$$

где $T_{op} (x_0)$ - время быстродействия рассматриваемой управляемой системы из начального состояния $x_0$ в начало координат.

Требуется найти: оптимальное управление $u_{op}(t),0 \le t \le T,$ оптимальную траекторию $x_{op}(t),0 \le t \le T,$ и оптимальное значение функционала $L_{op}$. Для решения задачи (43) применяется принцип максимума Понтрягина.

4.2. Краевая задача принципа максимума Понтрягина

Выпишем функцию Гамильтона-Понтрягина и положим $\psi_0=-1$:

$$K=-\frac{1}{2} \Vert u \Vert^2 + (\psi, Ax+u).$$

Из условия максимума

$$K \ \to \max_{u \in U}$$

найдем экстремальное управление (максимизатор функции $K$ по аргументу $u$ на множестве $U$)

$$u_*(\psi)=\mbox{arg} \, \max_{u \in U} K, \quad \psi \in {\mathbb{R}}^n. \eqno{(45)}$$

Нам необходимо более подробное изучение функции (45). Рассматривая вспомогательную задачу безусловной максимизации функции $K$

$$K \ \to \max_{u \in {\mathbb{R}}^n},$$

найдем ее решение (максимизатор функции $K$ по аргументу $u$ на всем пространстве)

$$\bar u_*(\psi) =\mbox{arg} \, \max_{u \in {\mathbb{R}}^n} \equiv \psi,$$

привлекая уравнение $K'_u \equiv -u+\psi =0.$ Этот же результат становится очевидным, если представить функцию $K$ в форме

$$K=-\frac{1}{2} \Vert u- \psi \Vert^2 +\frac{1}{2} \Vert \psi \Vert^2 + (\psi,Ax). \eqno{(46)}$$

Поэтому

$$u_*(\psi) = \bar u_*(\psi) =\psi, \quad \mbox{если} \quad \psi \in U,$$

$$u_*(\psi)= \pi(\bar u_*(\psi))=\pi (\psi) \ne \psi, \quad \mbox{если} \quad \psi \notin U,$$

где $\pi(\psi)$ - проекция внешней по отношению к множеству $U$ точки $\psi$ на это множество $U$. Это утверждение вытекает из того, что поверхностями уровня функции $K$ (в пространстве аргумента $u$) являются сферы $\Vert u - \psi \Vert=const$ с центром в точке $\psi$, см. (46). Напомним, что под проекцией точки на множество понимается точка множества, наименее удаленная от проектируемой точки. Таким образом,

$$u_* (\psi) =\pi (\psi) \quad \forall \psi \in {\mathbb{R}}^n,$$

причем

$$u_*(\psi)=\left\{ \begin{array}{ll} \psi, \qquad & \mbox{е... ... \quad & \mbox{если} \quad \psi \notin U. \end{array} \right.$$

Функция $u_*(\cdot): {\mathbb{R}}^n \mapsto U$ из (45) определена и непрерывна на всем пространстве ${\mathbb{R}}^n$ и является гладкой на ${\mathbb{R}}^n \setminus \partial U.$ На границе $\partial U \equiv \{u: u^* Mu=1 \}$ области управления $U$ гладкость этой функции нарушается. Привлекая экстремальное управление (45), запишем краевую задачу принципа максимума для задачи оптимального управления (43):

$$\left\{ \begin{array}{ll} \dot x =Ax + u_*(\psi),\quad & x\v... ...si =-A^* \psi, & 0 \le t \le T. \end{array}\right. \eqno{(47)}$$

Эта краевая задача нелинейна, поскольку нелинейна функция (45), описывающая экстремальное управление. Алгоритм вычисления этой функции описан в следующем подразделе.

4.3. Вычисление проекции на эллипсоид

Рассмотрим задачу вычисления проекции $\pi(\psi)$ точки $\psi$ на эллипсоид $U$ (п. 4.1). Если $\psi \in U$, то $\pi(\psi)=\psi$. Поэтому ниже рассматривается основной случай

$$\psi \notin U \quad \Longleftrightarrow \quad \psi^* M \psi -1 >0. \eqno{(48)}$$

Так как вектор

$$(u^* M u)'_u =2Mu, \quad u \in \partial U,$$

определяет внешнюю нормаль к $\partial U$ в точке $u \in \partial U$ и $\pi(\psi) \in \partial U,$ то имеет место равенство

$$\psi = \pi(\psi) + \lambda M \pi(\psi) \eqno{(49)}$$

при некотором положительном числе $\lambda$. Отсюда следует, что

$$\pi(\psi) = ( I + \lambda M )^{-1} \psi, \eqno{(50)}$$

где $I$ - единичная матрица. Условие принадлежности точки (50) границе эллипсоида $U$ приводит к следующему уравнению для вычисления параметра $\lambda$:

$$G(\lambda, \psi)=0. \eqno{(51)}$$

Здесь

$$G(\lambda,\psi) \equiv \hat \eta(\lambda,\psi)^* \ M \ \hat \eta (\lambda,\psi) -1, \eqno{(52)}$$

$$\hat \eta(\lambda,\psi) \equiv (I+\lambda M )^{-1} \psi. \eqno{(53)}$$

Функция (52) обладает следующими свойствами:

$$\begin{array}{l} G(\lambda,\psi)\vert _{\lambda=0}=\psi^* M... ...bda \lambda}(\lambda,\psi)>0, \quad \lambda \ge 0. \end{array}$$

Поэтому уравнение (51) имеет единственный положительный корень

$$\lambda_*(\psi)>0, \qquad \psi \notin U.$$

Этот корень может быть вычислен с помощью итерационного процесса Ньютона

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \lambda_{k+1}=\lambd... ...*(\psi)>0, \quad k \to \infty. \end{array}\right. \eqno{(54)}$$

Таким образом, имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Если $\psi \notin U$, то проекция $\pi(\psi)$ точки $\psi$ на эллипсоид $U$ допускает представление

$$\pi (\psi) =( I + \lambda _*(\psi) M )^{-1} \psi, \eqno{(55)}$$

где $\lambda_*(\psi)$ - единственный положительный корень уравнения $(51)$, который может быть вычислен итерационным процессом $(54)$.

З а м е ч а н и е 1. Доопределим функцию $\lambda_*(\psi)$ на все пространство, полагая

$$\lambda_*(\psi)=0 \quad \mbox{при} \quad \psi \in U.$$

Теперь функция $\lambda_*(\cdot): {\mathbb{R}}^n \mapsto {\mathbb{R}}^1_+$ определена и непрерывна во всем пространстве, а ее градиент $\lambda'_*(\psi)$ имеет конечный скачок на границе эллипсоида $U$. Таким образом, при любом векторе $\psi \in {\mathbb{R}}^n$ проекция $\pi(\psi)$ допускает представление (55). Исследованное выше экстремальное управление $u_*(\psi)=\pi(\psi)$ можно рассматривать как многомерный аналог, связанный с эллипсоидом $U$, функции насыщения (18), с помощью которой записывалось экстремальное управление в задаче (1а).

З а м е ч а н и е 2. В работе [14] рассмотрена нелинейная версия метода Ньютона для вычисления проекции на эллипсоид на основе дробно-рациональной аппроксимации функции $G$. Эта версия имеет ряд преимуществ перед классической схемой (54). Сравнение различных вычислительных схем для поиска проекции можно найти в работе [15].

4.4. Решение краевой задачи. Экстремальное описание неизвестного начального значения сопряженной переменной. Потенциал задачи (43)

Введем обозначение $\psi \vert _{t=0}=p \in {\mathbb{R}}^n$ для начального значения сопряженной переменной. Решить краевую задачу (3) - значит, найти такой вектор $p=p_0$, который позволяет свести задачу к решению задач Коши, а задачу Коши можно рассматривать как стандартную вычислительную задачу. Для параметра $p=p_0$ будет установлено экстремальное описание

$$p_0=\mbox{arg} \! \min_{p \in {\mathbb{R}}^n} \ V(p), \eqno{(56)}$$

где $V(p)$ - гладкая выпуклая функция, которую будем называть потенциалом задачи (43). Функция $V(p)$, которая ниже будет описана конструктивно, строится по исходным данным задачи (43). Таким образом, разрешающий параметр $p_0$ является минимизатором в задаче безусловной выпуклой минимизации

$$V(p) \to \min_{p \in {\mathbb{R}}^n}. \eqno{(57)}$$

Задача (57) является одной из простейших задач математического программирования, для решения которой можно пользоваться широким спектром методов конечномерной безусловной оптимизации.

В результате этих рассуждений мы видим, что применение принципа максимума Понтрягина к задаче оптимального управления (43) сводит проблему построения оптимального управления (функции) к конечномерной задаче минимизации (57) для отыскания параметра $p_0 \in {\mathbb{R}}^n.$ Обратимся сейчас к построению потенциала задачи (43).

Задача Коши для сопряженного уравнения $\dot \psi =-A^* \psi,\quad \psi \vert _{t=0}=p,$ имеет решение $\psi(t,p)=e^{-t A^*}p.$ Подстановка этого решения в первое уравнение задачи (47) приводит, вместе с ее начальным условием, к следующей задаче Коши

$$\dot x = Ax + u_*(\psi(t,p)),\quad x \vert _{t=0}=x_0.$$

Решение этой задачи, линейной по $x$, запишем, используя формулу Коши:

$$x(t,p)= e^{tA} \left( x_0 + \int\limits_0^t e^{-sA} \ u_*(\psi(s,p)) \, ds \right). \eqno{(58)}$$

Требование, чтобы последняя функция удовлетворяла второму краевому условию задачи (47), приводит к следующему векторному уравнению для определения неизвестного вектора $p$:

$$x(t,p)\vert _{t=T}=0. \eqno{(59)}$$

Уравнение (59), в силу (58), равносильно следующему уравнению, имеющему градиентную форму:

$$V'(p) \equiv x_0 + \int\limits_0^T e^{-sA} \ u_* \left( e^{-sA^*}p \right) \, ds =0. \eqno{(60)}$$

Утверждение о градиентной форме уравнения (60) является следствием градиентного свойства экстремального управления $u_*(\psi)$.

Теорема 2. Существует единственная гладкая выпуклая функция

$$U_*(\cdot): {\mathbb{R}}^n \mapsto {\mathbb{R}}^1, \quad U_*(0)=0, \eqno{(61)}$$

с непрерывным градиентом

$$U'_*(\psi) = u_*(\psi) \quad \forall \ \psi \in {\mathbb{R}}^n. \eqno{(62)}$$

Функция $(61), \ (62)$ определяется следующей формулой

$$U_*(\psi)=(\pi(\psi),\psi) - \frac{1}{2} \Vert \pi(\psi) \Vert^2, \eqno{(63)}$$

где $\pi(\psi)$ - проекция точки $\psi$ на эллипсоид $U$.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Тот факт, что (63) влечет (61), (62) установлен в [16, леммы 4.2-4.4]. Теперь докажем обратное утврждение.

При $\psi \in U$ справедливы равенства $u_* (\psi) = \pi (\psi) = \psi$ (см. (46)). Отсюда показывается, что единственной функцией, удовлетворяющей условиям (61), (62) при $\psi \in U$, будет функция

$$U_*(\psi)=\frac{1}{2} \Vert\psi\Vert^2.$$

Пусть теперь $\psi \notin U$. Заметим, что на луче

$$L(\psi) \equiv \{y \in {\mathbb{R}}^n: y=\pi(\psi) + \lambda [\psi - \pi(\psi) ],\ \lambda \ge 0 \}, \quad \psi \notin U,$$

проекция сохраняет постоянное значение:

$$\pi(y)=\pi(\psi) \quad \forall y \in L(\psi). \eqno{(64)}$$

Запишем $U_*(\psi)$ в форме

$$U_*(\psi)=[ U_*(\psi) -U_*(\pi(\psi)) ] + U_*(\pi(\psi)). \eqno{(65)}$$

Последний член в (65) в силу включения $\pi(\psi) \in U$ может быть представлен в виде

$$U_*(\pi(\psi))=\frac{1}{2} \Vert \pi(\psi) \Vert^2. \eqno{(66)}$$

Остается вычислить приращение

$$U_*(\psi) - U_*(\pi(\psi))$$

функции (61) на луче $L(\psi)$.
Привлекая (64), (62), получаем:

$$\begin{array}{l} U_*(\psi) - U_*(\pi(\psi)) \displaystyle =U... ...(\psi))= (\pi(\psi),\psi) -\Vert \pi(\psi) \Vert^2. \end{array}$$

Последнее соотношение вместе с (65), (66) приводит к выражению (63). Таким образом,

$$U_*(\psi)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{1}{... ... \quad & \mbox{если} \quad \psi \notin U. \end{array} \right.$$

Выпуклость этой функции проверяется следующей выкладкой:

$$\begin{array}{l} [\psi - \chi]^* [U_*'(\psi) - U_*'(\chi)] ... ...-u_*(\chi)] + \chi^* [u_*(\chi)- u_*(\psi)] \ge 0; \end{array}$$

(детали можно восстановить, обратившись к доказательству следующей ниже теоремы 3). Теорема 2 доказана.

Лемма. Справедливы утверждения:

(a) $U_*(\psi) -\sqrt{\psi^* M^{-1} \psi} \to 0 \quad \mbox{при} \quad \Vert \psi \Vert \to \infty;$

(b) существует положительное число $C$ такое, что

$$\vert U_*(\psi) - \sqrt{\psi^* M^{-1} \psi } \vert \le C \quad \forall \psi \in R^n;$$

(c) имеет место следующее неравенство

$$\vert R(p) \vert \le CT \quad \forall p \in R^n, \eqno{(67)}$$

где

$$R(p) = \int\limits_0^T \left[\ U_* (\psi) - \sqrt{\psi^* M^{-1} \psi} \ \right]_{\psi = \psi (s,p)} \, ds.$$

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу (55) можно записать равенство

$$( \pi (\psi ), \psi ) = \Vert \pi (\psi) \Vert^2 + \lambda_* (\psi) \ \pi^* (\psi) M \pi (\psi). \eqno{(68)}$$

Далее считаем $\psi \notin U,$ тогда $\pi^* (\psi) M \pi (\psi)=1$ и, в силу (68), получаем

$$( \pi (\psi ), \psi ) = \lambda_* (\psi) + \Vert \pi (\psi) \Vert^2 , \eqno{(69)}$$

причем проекция $\pi(\psi) \in U$ ограничена. По геометрическим соображениям,

$$( \pi (\psi ), \psi ) \to \infty, \mbox{ поэтому } \ \ \lambd... ...uad \mbox{ при} \quad \Vert \psi \Vert \to \infty. \eqno{(70)}$$

Привлекая (55), имеем

$$\begin{array}{l} { \psi^* M^{-1} \psi } = { \pi (\psi)^* [I+... ... (\psi) - \Vert \pi (\psi) \Vert^4 ] }. \end{array}\eqno{(71)}$$

Из (63), (69), (70), считая по-прежнему $\psi \notin U$ , имеем

$$U_* (\psi) - \sqrt{ \psi^* M^{-1} \psi } =$$

$$- {\displaystyle {\pi^* (\psi) M^{-1} \pi (\psi) - \Vert \pi ... ...\pi^* (\psi) M^{-1} \pi (\psi) - \Vert \pi (\psi) \Vert^4]}}} -$$

$$-\frac{1}{2} \Vert \pi (\psi) \Vert^2.\eqno{(72)}$$

Отсюда, в силу ограниченности проекции $\pi(\psi)$ и предельного соотношения (70), следует (a). Тогда из непрерывности функции $U_*(\psi) - \sqrt{\psi^* M^{-1} \psi}$ следует ограниченность этой функции во всем пространстве, т.е. имеет место (b), а следовательно, и (c).

Теорема 3. Потенциал задачи $(43)$ имеет вид

$$V(p)=p^* x_0 + \int\limits_0^T U_* \left( e^{-sA^*} p \right) \, ds, \eqno{(73)}$$

где функция $U_*(\psi)$ - потенциал экстремального управления $u_*(\psi)$ $($см. $(62)$$)$ - описана в теореме $2$. Функция $V$ выпукла и неогpаниченно растет при $\Vert p\Vert\to\infty$ $($см. (73)).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция (73)

$$V(p)=p^*x_0 + \int\limits_0^T U_*(\psi) \left\vert _{\psi=\psi(s,p)} \right. \, ds$$

имеет непрерывный градиент $V'(p)$ (см. (60))

$$V'(p)= x_0 + \int\limits_0^T e^{-sA} u_* (\psi) \left\vert _{\psi (s,p)}\right. \, ds. \eqno{(74)}$$

Нужно доказать выпуклость функции $V(p)$ и свойство

$$V(p) \to + \infty \quad \mbox{при } \quad \Vert p \Vert \to \infty. \eqno{(75)}$$

Выпуклость функции $V(p)$ следует из неравенства

$$[q-p]^* [V'(q) - V'(p)] \ge 0 \quad \forall p,q \in {\mathbb{R}}^n. \eqno{(76)}$$

Действительно, из условия максимума для экстремального управления (45) следует неравенство

$$K(x,\psi,u_* (\psi) ) \ge K(x, \psi, v ) \quad \forall \psi \in {\mathbb{R}}^n, \forall v \in U,$$

которое запишем в форме

$$\psi^* [u_*(\psi) -v] \ge \frac{1}{2} \Vert u_*(\psi) \Vert^2 - \frac{1}{2} \Vert v \Vert^2 \quad \forall v \in U.$$

Полагая в последнем неравенстве сначала

$$\psi = \psi(s,q), \quad v=u_*( \psi(s,p) ),$$

затем

$$\psi = \psi(s,p), \quad v=u_*( \psi(s,q) ),$$

и складывая полученные неравенства, находим:

$$\begin{array}{l} \psi (s,q)^* [u_*( \psi(s,q) ) - u_* ( \ps... ...0 \quad \forall p,q \in {\mathbb{R}}^n. \end{array}\eqno{(77)}$$

Далее, привлекая (74) и (77), имеем

$$\begin{array}{l} [q-p]^* [V'(q) -V'(p)]= \\ [2ex] \displayst... ...,p) ) - u_* ( \psi (s,q) ) ] \right\} \, ds \ge 0. \end{array}$$

Неравенство (76) доказано, и, тем самым, выпуклость функции $V(p)$ проверена.

Докажем теперь (75). Предположение (44) влечет утверждение:

$$\exists\, r >0: \quad p^* x_0 + \int\limits_0^T c(U, \psi (s... ... \Vert p \Vert \quad \forall p \in {\mathbb{R}}^n, \eqno{(78)}$$

где $c(U,\psi)= \sqrt{\psi^* M^{-1 } \psi }$ - опорная функция эллипсоида $U$, см. (43). Привлекая (78), запишем для функции (73) оценку снизу

$$V(p) \ge r \Vert p \Vert + R(p) \quad \forall p \in {\mathbb{R}}^n, \eqno{(79)}$$

Для завершения доказательства заметим, что из неравенств (79) и (67) следует

$$V(p) \ge r \Vert p \Vert - CT \quad \forall p \in R^n,$$

что влечет за собой соотношение (75). Теорема 3 доказана. ²

В заключение отметим следующую формулу для функции (63):

$$\begin{array}{l} \displaystyle U_* (\psi) = \lambda_* (\psi)... ...i) \Vert^2, & \psi \not \in U. \end{array} \right. \end{array}$$

Поступила 17.02.1998