5. Пример

Рассмотрим задачу оценивания входа линейной динамической системы по результатам наблюдения выхода. Вход и выход системы будем считать скалярными. Пусть уравнение системы имеет вид

$$\dot{x}=A(t)x+B(t)u(t),\quad t_0 \leq t \leq t_1, \quad x(t_0)=0.$$ (5.1)

$x \in \mathbb{R}^n, u \in \mathbb{R}$. Пусть измерению доступна величина

$$y(t)=C(t)x(t),\quad t \in T=\{\tau_1,...,\tau_N\},$$ (5.2)

то есть измерения производятся в конечном числе точек $t_0 < \tau_1 < \tau_2 < ...< \tau_N \leq t_1$ отрезка $[t_0,t_1]$. Матрицы $A(t),B(t),C(t)$ будем считать непрерывно зависящими от $t$. Априорные ограничения на неизвестный вход системы $u(\cdot)$ пусть заданы неравенством $\Vert u(\cdot)\Vert _{L_2} \leq \mu$.

Оператор $A$ здесь определяется равенством $Au(\cdot)=y$, где координаты вектора $y \in R^N$ находятся из соотношений

$$y_i=\int\limits_{t_0}^{t_1} \varphi_i (t)u(t)dt,$$

$$\varphi_i (t)=0, \ \ \ \tau_i \leq t; \qquad \varphi_i (t)=s^{\top}(t,C^{\top}(\tau_i))B(t),\ \ \ t \leq \tau_i ;$$

$s(t,C^{\top}(\tau_i))$ - решение системы

$$\dot{s}=-A^\top (t)s, \quad s(\tau_i)=C^{\top}(\tau_i).$$

Пусть требуется оценить величину

$$z=\int\limits_{t_0}^{t_1} \varphi_0 (t)u(t)dt=\langle \varphi_0 (\cdot),u(\cdot)\rangle,$$

где $\varphi_0$ - заданная функция из $L_2[t_0,t_1]$.

Обозначим через $G$ матрицу Грама системы функций $\varphi_1,...,\varphi_N$. Пусть

$$k=A\varphi_0=(\langle\varphi_0,\varphi_1\rangle,...,\langle\v... ...N\rangle)^{\top}, \quad k_0=\langle\varphi_0,\varphi_0\rangle.$$

Тогда

$$Z_{\varepsilon,\alpha}(y)=\{z \in R: \vert z-\hat{z}(y)\vert\leq r(\varepsilon,\alpha)\},$$

где

$$\hat{z}(y,\varepsilon)=k^{\top}(G+\varepsilon I)^{-1}y,$$

$$r(\varepsilon,\alpha)=(\mu^2+\alpha-y^{\top}(G+\varepsilon I)^{-1}y)^{1/2}(k_0-k^{\top}(G+\varepsilon I)^{-1}k)^{1/2}.$$

Оценки уклонения $Z_{\varepsilon,\alpha}(y)$ от $Z(y)= [z_{\min} (y),z_{\max} (y)]$ могут быть получены из следствия 2.1, где $\bar{p},\bar{q}$ - решения следующих задач квадратичного программирования

$$\bar{p}=\mathrm{argmax} \{-\frac{1}{2}p^{\top}Gp+p^{\top}y: p \in R^N \},$$

Рисунок приведен для системы $\dot{x}_1=x_2,\; \dot{x}_2=u(t),\; y(t)=x_1(t)$ при $N=6$. Здесь показаны графики зависимости величин $z_{\min}^{\varepsilon,\alpha}(y)= \hat{z}(y,\varepsilon)-r(\varepsilon,\alpha),\; z_{\max}^{\varepsilon,\alpha}(y)=\hat{z}(y,\varepsilon)+r(\varepsilon,\alpha)$ (маркированные как $\circ$), и их оценок $z_{\min}(y)-\Psi(\varepsilon,\alpha,\delta)$, $z_{\max}(y)+\Psi(\varepsilon,\alpha,\delta)$ (маркированные как $\diamond$) от величины $\delta$. Величина $\varepsilon$ выбиралась равной $\varepsilon(\delta)=\mathrm{argmin}\{\Psi(\varepsilon,\alpha,\delta):\varepsilon \in \mathbb{R}^1 \}$. Границы $Z(y)$ изображены сплошной линией, график $\hat{z}(y,\varepsilon)$ отмечен звездочками.

Заметим, что для рассматриваемого примера условие (2.12) будет выполнено, если $\tau_N < t_1$ и $\int_{\tau_N}^{t_1}\vert\varphi (t)\vert dt >0$. Для задачи оценивания состояния ( $Fw=x(t_1,x_0,u(\cdot))$) (2.12) выполнено, если $\tau_N < t_1$ и система (5.1) вполне управляема.

Поступила 03.08.96