4. Случай оператора, заданного с ошибкой

Распространим полученные оценки на случай, когда оператор $A$ задан с погрешностью. Предположим, что вместо $A$ известен оператор $\widetilde{A}$ такой, что $\Vert A-\bar{A}\Vert\leq h.$

Лемма 2   Пусть

$$Z(y)=\{z=Fw:Aw=y,\left\langle w,w\right\rangle \leq\mu^{2}\},$$

$$Z_{\alpha,\varepsilon}(\widetilde{A},\tilde{y})=\{z=Fw:\widet... ...ht\rangle +\frac{1}{\varepsilon}(\xi,\xi) \leq\mu^{2}+\alpha\},$$

$$Z^{1}_{\beta,\varepsilon}(\tilde{y})=\{z=Fw:Aw+\xi=\tilde{y},... ...ght\rangle +\frac{1}{2\varepsilon}(\xi,\xi)\leq\mu^{2}+\beta\}.$$

При $\Vert y-\tilde{y}\Vert\leq\delta,\Vert A-\widetilde{A}\Vert\leq h$ имеют место включения:

$$Z(y)\subset Z_{\alpha,\varepsilon}(\widetilde{A},\tilde{y}),... ...x{если} \quad {(\delta+\mu h)^{2}\over \varepsilon}\leq\alpha,$$

$$Z_{\alpha,\varepsilon}(\widetilde{A},\tilde{y})\subset Z^{1}... ...ox{если} \quad {\mu^{2}h^{2}\over \varepsilon}+\alpha\leq\beta.$$

Первое из включений следует непосредственно из определения. Для доказательства второго включения выберем $z\in Z_{\alpha,\varepsilon}(\widetilde{A},\tilde{y}).$ Найдутся $w,\xi$ такие, что

$$z=Fw,\ \ \ \ \ \widetilde{A}w+\xi=\tilde{y},\ \ \ \ \ \left\l... ...ght\rangle +\frac {1}{\varepsilon}(\xi,\xi) \leq\mu^{2}+\alpha.$$

Пусть $\widetilde{A}=A+A_{h},$ где $\Vert A_{h}\Vert\leq h.$ Обозначим $\eta=A_{h}w,\; \theta=\xi+\eta.$ Тогда $(\theta,\theta)\leq2((\xi,\xi)+(\eta,\eta )), \; \Vert\eta\Vert\leq\mu h.$ Следовательно, $Aw+\theta=\widetilde{y},$

$$\left\langle w,w\right\rangle +\frac{1}{2\varepsilon}(\theta,... ...u^{2}+\alpha+{\mu^{2}h^{2}\over \varepsilon} \leq\mu^{2}+\beta,$$

то есть $z\in Z^{1}_{\varepsilon,\beta}(\widetilde{y}).$ В итоге мы приходим к следующему утверждению.

Теорема 4   При $\Vert y-\bar{y}\Vert\leq\delta,\Vert A-\widetilde{A}\Vert\leq h,$ $(\delta+\mu h)^{2}/\varepsilon+\mu^{2}% h^{2}/\varepsilon\leq\beta$ справедливо неравенство

$$\rho(z^{*}\vert Z_{\alpha,\varepsilon}(\widetilde{A},\tilde{y... ...- \rho(z^{*}\vert Z(y)) \leq \Psi (\beta,2\varepsilon, \delta),$$

где функция $\Psi$ определяется соотношениями $(\ref{t2})$, $(\ref{t3})$.

Обозначим через

$$\widetilde{Z}(\tilde{y})=\{z=Fw:Aw+\xi=\tilde{y},\langle w,w\... ..., ( \xi,\xi ) \leq \delta^2, \Vert A-\widetilde{A}\Vert\leq h\}$$

информационное множество, совместимое с доступной априорной информацией и результатами измерения $\tilde{y}$ . Ясно, что $\widetilde{Z}(\tilde{y}) \subset Z_{\alpha,\varepsilon}(\widetilde{A},\tilde{y})$ при $\Vert A-\widetilde{A}\Vert\leq h$, $(\delta+\mu h)^{2}/\varepsilon\leq\alpha$. Отсюда, в частности, в случае $Y=\mathbb{R}^n$ следует, что

$$h(\widetilde{Z}(\tilde{y}),Z(y))\leq O(\eta^{1/2}),$$

где $\eta=\max \{\delta,h\}.$