2. Бесконечномерные наблюдения

Для произвольного множества $A$ в линейном нормированном пространстве $Z$ через $\rho(z^{*}\vert A)$ обозначим опорную функцию $A \; (z^* \in Z^*)$.

Лемма 1   Пусть $A,B$ - подмножества линейного нормированного
пространства $Z$, имеющие центры симметрии $a,b$ соответственно и пусть $B \subset A$. Тогда

$$\max \{0,2\langle z^*,a-b \rangle\}\leq \rho(z^{*}\vert A)-\rho(z^{*}\vert B)$$ (2.1)

для любого $z^* \in Z^*$, для которого определена правая часть $(\ref{4.0})$. Если $A$ выпукло, то $B-b \subset A-a$.

Пусть $x \in B, y=x-b$, тогда $-y+b \in B$ и, значит $-y+b \in A$. Так как $-y+b=(-y+b-a)+a$, то из симметричности $A$ относительно $a$ следует, что $-(-y+b-a)+a=y+2a-b=x+2(a-b) \in A$. Таким образом, $B+2(a-b)\subset A$. Отсюда, учитывая условие $B \subset A$, получим неравенство (2.1). Пусть $x \in B, z=x+(a-b)$. Тогда $z=1/2x+1/2(x+2(a-b))\in 1/2B+1/2(B+2(a-b)) \subset 1/2A+1/2A \subset A$ в силу выпуклости $A$, следовательно, $B-b \subset A-a$.

Для оценки величины $\rho(z^{*}\vert Z_{\alpha,\varepsilon}(\tilde{y}))-\rho(z^{*}\vert Z(y))$ воспользуемся формулами (1.8)-(1.12). Обозначим $f=F^*z^*$. Тогда (1.8) примет вид

$$\rho(z^{*}\vert Z_{\alpha,\varepsilon}(\tilde{y}))=(\mu^{2}+... ...gma)^{1/2}\langle f,Cf\rangle^{1/2}+\langle f,\hat{w}\rangle.$$ (2.2)

Пусть $\bar w$ - нормальное решение уравнения $Aw=y$, отвечающее точному значению $y$. Как известно, $\;\hat{w} \rightarrow \bar{w}$ при $\varepsilon \rightarrow 0, \delta^{2}/\varepsilon \rightarrow 0$.

Из (1.12) следует, что

$$Cf=\mathrm{argmin}\{\Vert A w\Vert^{2}+\varepsilon \Vert w-f\Vert^{2} : w \in X\}.$$

Обозначим $u=w-f$, тогда $Cf=u_{\varepsilon}+f$, где

$$u_{\varepsilon} = \mathrm{argmin}\{\Vert A u + Af \Vert^{2}+\varepsilon \Vert u\Vert^{2} : u \in X\}.$$

При $\varepsilon\rightarrow 0$ величина $u_{\varepsilon}$ сходится к $\bar u$ - нормальному решению уравнения $A u=-A f$. Найдем предел величины

$$\sigma=\langle \tilde{y}, (AA^*+\varepsilon I)^{-1}\tilde{y}\rangle$$

при $\varepsilon\rightarrow 0$, $\tilde{y} \rightarrow y$. Так как

$$A\hat{w} =AA^* (AA^*+\varepsilon I)^{-1}\tilde{y},$$

то

$$\tilde{y} - A\hat{w} =(I-AA^* (AA^*+\varepsilon I)^{-1})\tilde{y} = \varepsilon (AA^*+\varepsilon I)^{-1}\tilde{y}.$$

Таким образом,

$$\sigma={1\over \varepsilon} \langle \tilde{y},\tilde{y} -A \hat{w} \rangle.$$

Уравнение Эйлера, которому удовлетворяет $\hat w$, имеет вид

$$A^* ( A \hat{w}-\tilde{y}) + \varepsilon \hat{w}=0.$$ (2.3)

Умножив обе части (2.3) на $\hat{w}$, получим

$$\langle A \hat{w}-\tilde{y},A \hat{w} \rangle = - \varepsilon \Vert\hat{w}\Vert^2,$$

откуда

$$\langle \tilde{y}, \tilde{y} - A\hat{w} \rangle = \varepsilon \Vert\hat{w}\Vert^2 +\Vert A \hat{w}- \tilde{y}\Vert^2.$$

Из определения $\hat{w}$ имеем

$$\varepsilon \sigma = \Vert A \hat{w}- \tilde{y}\Vert^2 + \var... ...bar{w}\Vert^2 \leq \delta^2 +\varepsilon \Vert\bar{w}\Vert^2,$$ (2.4)

следовательно,

$${1\over \varepsilon}\langle \tilde{y}, \tilde{y} - A\hat{w}... ...t A \hat{w}- \tilde{y}\Vert^2 \rightarrow \Vert\bar{w}\Vert^2,$$

при $\varepsilon \rightarrow 0, \ \ \delta^2/\varepsilon \rightarrow 0$.

Если $\sigma \geq \Vert\bar{w}\Vert^2$, то из (2.4) получим

$$0 \leq \sigma - \Vert\bar{w}\Vert^2 \leq {\delta^2\over \varepsilon}.$$ (2.5)

Пусть $\sigma \leq \Vert\bar{w}\Vert^2$, тогда, учитывая неравенство $\Vert\bar{w}\Vert^2 \leq \sigma$, имеем

$$\vert\sigma-\Vert\bar{w}\Vert^2 \vert \leq \vert \Vert\hat{w}... ...t\bar{w}\Vert^2 \vert \leq 2\mu^2 \Vert\hat{w} - \bar{w}\Vert .$$

Таким образом,

$$\vert\sigma-\Vert\bar{w}\Vert^2 \vert \leq \max \left\{ {\de... ...ver \varepsilon},2\mu^2 \Vert\hat{w} - \bar{w}\Vert \right\}.$$

Из приведенных рассуждений следует, что

$$\rho(z^{*}\vert Z(y)) = \lim_{\scriptsize\begin{array}{c}\ti... ...1/2}\langle f,\bar{u}+f\rangle^{1/2}+\langle f,\bar{w}\rangle,$$

при $\varepsilon \rightarrow 0, \ \ \delta^2/\varepsilon \rightarrow 0$. Введем следующие обозначения $\tilde{a}=\mu^{2}+\alpha-\sigma, \; \tilde{b}=\langle f,\; Cf\rangle,\bar{a}=\mu^{2} -\Vert\bar{w}\Vert^2, \; \bar{b}=\langle f, \; \bar{u}+f\rangle.$ Понятно, что

$$(\tilde{a}\tilde{b})^{1/2}=\rho(z^{*}\vert Z_{\alpha,\vareps... ...), \quad (\bar{a}\bar{b})^{1/2}=\rho(z^{*}\vert Z(y)-\bar{w}).$$

Так как $Z_{\alpha,\varepsilon}(\tilde{y})$ симметрично относительно $\hat{w}$, а $Z(y)$ симметрично относительно $\bar{w}$, то

$$Z(y)-\bar{w} \subset Z_{\alpha,\varepsilon}(\tilde{y}) -\hat{w}$$

в силу леммы 1. Следовательно $\tilde{a}\tilde{b} \geq a b$.

Заметим, что $\langle f,\bar{u}+f\rangle = -\Vert \bar{u}\Vert^2$. Действительно, так как $\bar{u}$ и $-f$ удовлетворяют уравнению $A u=-A f$, то этому уравнению удовлетворяет и $v(t)=\bar{u}-t(f+\bar{u}), t \in R$. Приравнивая нулю производную $\Vert v(t)\Vert^2$ в точке минимума $t=0$, получим искомое равенство.

Учитывая неравенства $\vert\bar{b}\vert = \langle f,f\rangle - \langle \bar{u} ,\bar{u} \rangle \leq \Vert f\Vert^2$, $\vert\tilde{a}\vert\leq \mu^2+\alpha$, получим

$$(\tilde{a}\tilde{b})^{1/2}-(\bar{a}\bar{b})^{1/2}\leq (\tilde... ...-\bar{b}\vert+\Vert f\Vert^2\vert\tilde{a}-\bar{a}\vert)^{1/2}.$$

Если $\bar{a}\bar{b}\neq 0$, то

$$(\tilde{a}\tilde{b})^{1/2}-(\bar{a}\bar{b})^{1/2}\leq 1/2(\ba... ...lde{b}-\bar{b}\vert+\Vert f\Vert^2\vert\tilde{a}-\bar{a}\vert).$$

Принимая во внимание, что

$$\vert\tilde{a}-\bar{a}\vert\leq \alpha+ \vert\sigma-\Vert\bar... ...b}\vert\leq \vert\langle f,u_{\varepsilon}-\bar{u}\rangle\vert,$$

приходим к следующему утверждению.

Теорема 1   Пусть $\Vert \tilde{y}-y \Vert \leq \delta, \; \delta^2/\varepsilon \leq \alpha,z^*\in Z^*,f=F^*z^*.$ Тогда

$$\max \{0,2\langle f,\hat{w}-\bar{w} \rangle\} \leq \rho(z^{*}... ...ho(z^{*}\vert Z(y)) \leq \Psi (\alpha,\varepsilon, \tilde{y}),$$ (2.6)

где

$$\Psi (\alpha,\varepsilon, \tilde{y})=[\omega(\alpha,\varepsil... ...\tilde{y})]^{1/2}+\vert\langle f,\hat{w}-\bar{w} \rangle\vert,$$ (2.7)

$$\omega(\alpha,\varepsilon, \tilde{y})=\Vert f\Vert^2\left(\al... ...pha)\vert\langle f,\hat{u}_{\varepsilon}-\bar{u} \rangle\vert.$$ (2.8)

Если выполнены условия $\Vert\bar{w}\Vert^2< \mu^2, \bar{u} \neq -f$, то

$$\Psi (\alpha,\varepsilon, \tilde{y})= \frac12(\mu^2-\Vert\bar... ...psilon, \tilde{y})+\vert\langle f,\hat{w}-\bar{w}\rangle\vert.$$ (2.9)

Таким образом, оценки уклонения $Z_{\alpha,\varepsilon}(\tilde{y})$ и, следовательно, $\tilde{Z}(\tilde{y})$ от $Z(y)$ сводятся к оценкам скорости сходимости регуляризаторов Тихонова $\hat{w}$ и $u_{\varepsilon}$ к нормальным решениям $\bar{w}$ и $\bar{u}$ уравнений $Aw=y$, $A u=-A f$ соответственно. Предположим, что $\bar{w}$ и $\bar{u}$ истокообразно представимы, то есть существуют $\bar{p}, \bar{q} \in Y^*$, такие что $\bar{w}=A^*\bar{p},\; \bar{u}=A^*\bar{q}$. В этом случае (см.,например,[14,15])

$$\Vert\hat{w}-\bar{w}\Vert\leq \sqrt{\varepsilon}\Vert\bar{p}\... ...repsilon}-\bar{u}\Vert\leq \sqrt{\varepsilon}\Vert\bar{q}\Vert.$$

Из приведенных неравенств и теоремы 1 получаем

Следствие 1   Пусть $\bar{w},\bar{u}$ истокообразно представимы, то есть существуют $\bar{p}, \bar{q} \in Y^*$, такие что $\bar{w}=A^*\bar{p},\; \bar{u}=A^*\bar{q}$. Тогда при $\Vert \tilde{y}-y \Vert \leq \delta, \; \delta^2/\varepsilon \leq \alpha$ имеют место неравенства

$$0 \leq \rho(z^{*}\vert Z_{\alpha,\varepsilon}(\tilde{y})) - \rho(z^{*}\vert Z(y)) \leq \Phi (\alpha,\varepsilon, \tilde{y}),$$

где

$$\Phi (\alpha,\varepsilon, \tilde{y})=[\phi(\alpha,\varepsilon... ...n}\Vert\bar{p}\Vert+\frac{\delta}{\sqrt{\varepsilon}} \right),$$

$$\phi(\alpha,\varepsilon, \tilde{y})=\Vert f\Vert^2\left(\alph... ...(\mu^2+\alpha)\Vert f\Vert\Vert\bar{q}\Vert\sqrt{\varepsilon}.$$

Если выполнены условия $\Vert\bar{w}\Vert^2< \mu^2, \bar{u} \neq -f$, то

$$\Phi (\alpha,\varepsilon, \tilde{y})= {1\over 2}(\mu^2-\Vert\... ...n}\Vert\bar{p}\Vert+\frac{\delta}{\sqrt{\varepsilon}} \right).$$

При выборе $\varepsilon=\delta,\alpha= \delta^2/\varepsilon$ получаем

Следствие 2   Пусть $\bar{w},\bar{u}$ истокообразно представимы и $\Vert \tilde{y}-y \Vert \leq \delta$. Тогда

$$0 \leq \rho(z^{*}\vert\tilde{Z}(\tilde{y})) - \rho(z^{*}\vert Z(y)) \leq \phi(\delta),$$

где

$$\phi(\delta)=O(\delta^{1/4})\; (\phi(\delta)=O(\delta^{1/2})\... ... \mbox{при}\ \ \;\Vert\bar{w}\Vert^2< \mu^2, \bar{u} \neq -f).$$

Условие истокообразной представимости $A$ является достаточно сильным условием. Оно не всегда выполняется, если, например, оператор $A$ есть оператор вход-выход для линейной динамической системы вида (1.6), (1.7) (при $A(t,x)=A(t)x\;$, $B(t,x)=B(t)\;$, $h_1(t,x)=C(t)x$, $h_2(t,x)=D(t)$). В [12] применительно к задаче восстановления входа линейной динамической системы предложено ослабление условий истокообразной представимости, при выполнении которых оценка уклонения $\hat{w}$ от $\bar{w}$ имеет порядок $O(\delta^{1/k})$ для некоторого натурального числа $k$.

Оценка погрешности может быть улучшена, если оператор $A$ нормально разрешим, то есть имеет замкнутую область значений $AX$. В этом случае (см.[14]) найдутся константы $C_1,C_2$, не зависящие от $y,\varepsilon,\delta$, такие что

$$\Vert\hat{w}-\bar{w}\Vert \leq C_1\Vert\tilde{y}\Vert\varepsi... ...d \Vert u_{\varepsilon}-u\Vert\leq C_1\Vert Af\Vert\varepsilon.$$

Правая часть неравенства (2.6) может быть записана в виде

$$\Psi (\alpha,\varepsilon, \tilde{y})=[\omega_1(\alpha,\varep... ...t z^*\Vert\Vert F\Vert\omega_2(\alpha,\varepsilon, \tilde{y}),$$ (2.10)

где

$$\begin{array}{c} \displaystyle \omega_1=\Vert z^*\Vert^2\Ver... ...\ [2ex] \omega_2=C_1\Vert\tilde{y}\Vert\varepsilon. \end{array}$$ (2.11)

Отметим, что для нормально разрешимого оператора выполнение равенств $\bar{u}=A^*q^*,\;A\bar{u}=-Af$ для некоторого $q^* \in Y^*$ необходимо и достаточно для того, чтобы $\bar{u}$ было нормальным решением уравнения $A u=-A f$. Условие $\bar{u}\neq -f$, фигурирующее в теореме 1, заменим более сильным условием

$$\inf\{\Vert F^*z^*+A^*q^*\Vert^2:q^*\in Y^*,z^* \in Z^*, \Vert z^*\Vert=1\}=\gamma >0.$$ (2.12)

При фиксированном $z^*$ нижняя грань по $q^*$ в 2.12 достигается (это следует из замкнутости $A^*Y^*$, имеющей место для нормально разрешимого оператора ). Записывая условия минимума, получим $A(F^*z^*+A^*q^*)=0$. Следовательно $\bar{u}=A^*q^*$ - нормальное решение уравнения $A u=-A f$ при $f=F^*z^*$. Отсюда следует, что $\langle \bar{u}, f\rangle = -\Vert \bar{u}\Vert^2$ и

$$\langle f+\bar{u}, f\rangle = \Vert F^*z^*\Vert^2-\Vert A^*q^*\Vert^2 \\ =\Vert F^*z^*+A^*q^*\Vert^2 \geq \gamma.$$

Таким образом, при выполнении неравенства $\Vert\bar{w}\Vert^2 < \mu^2$ и условия (2.12) функцию $\Psi$ в правой части неравенства (2.6) можно взять равной

$$\Psi = {1\over 2}(\mu^2-\Vert\bar{w}\Vert^2)^{-1/2}\gamma^{-1... ...t z^*\Vert\Vert F\Vert\omega_2(\alpha,\varepsilon, \tilde{y}).$$ (2.13)

Учитывая, что хаусдорфово расстояние между выпуклыми ограниченными множествами $A,B$ удовлетворяет равенству

$$h(A,B)= \sup\{\vert\rho(z^*\vert A)-\rho(z^*\vert B)\vert:\Vert z^*\Vert=1\},$$

получим следующую оценку, вычисляя в неравенстве (2.6) супремум по $\{z^*:\Vert z^*\Vert=1\}$.

Теорема 2   Пусть оператор нормально разрешим. Пусть $\delta^2/\varepsilon \leq \alpha$, $\Vert \tilde{y}-y \Vert \leq \delta$. Тогда

$$2\Vert F\Vert\Vert\hat{w}-\bar{w} \Vert \leq h(Z_{\alpha,\var... ...n}(\tilde{y}),Z(y)) \leq \Psi (\alpha,\varepsilon, \tilde{y}),$$ (2.14)

где функция $\Psi(\alpha,\varepsilon, \tilde{y})$ определяется соотношениями $(\ref{t2a})$, $(\ref{t3a})$ (соотношениями $(\ref{t2a})$, $(\ref{t6})$, если выполнено условие $(\ref{t5})$ и $\Vert\bar{w}\Vert^2 < \mu^2$) при $\Vert z^*\Vert=1$.

При выборе $\varepsilon=\delta,\alpha= \delta^2/\varepsilon$ получаем

Следствие 3   Пусть оператор $A$ нормально разрешим и $\Vert \tilde{y}-y \Vert \leq \delta$. Тогда

$$0 \leq h(\tilde{Z}(\tilde{y}),Z(y)) \leq \phi(\delta),$$

где $\phi(\delta)=O(\delta^{1/2})$ $(\phi(\delta)=O(\delta)$ если выполнено условие $(\ref{t5})$ и
$\Vert\bar{w}\Vert^2 < \mu^2$).

Заметим, что оператор $A$ нормально разрешим, если пространства $X$ или $Y$ конечномерны. В следующем разделе рассматривается случай конечномерного $Y$, при этом дается прямой вывод оценок погрешности, основанный на использовании теорем двойственности в задачах выпуклого программирования, и уточняются константы, фигурирующие в оценках.