3. Конечномерные наблюдения

Итак, пусть $Y=\mathbb{R}^n$, $(\cdot,\cdot )$ обозначает скалярное произведение в $\mathbb{R}^n$, $f=F^*z^*,z^* \in Z^*$. Величины

$$z_{\max}(y)=\rho(z^{*}\vert Z(y)),\quad z_{\max}^{\varepsilo... ...\tilde{y})= \rho(z^{*}\vert Z_{\alpha,\varepsilon}(\tilde{y}))$$

определяются из решения следующих экстремальных задач:

$$z_{\max}(y)=\max\left\langle f,w\right\rangle$$ (3.1)

при ограничениях

$$\left\langle w,w\right\rangle \leq\mu^{2},\quad Aw=y$$ (3.2)

и

$$z_{\max}^{\varepsilon,\alpha}(\tilde{y})=\max\left\langle f,w\right\rangle$$ (3.3)

при ограничениях

$$\left\langle w,w\right\rangle +\frac{1}{\varepsilon}(\xi,\xi)\leq\mu^{2}+\alpha,\ \ \ \ Aw+\xi=\tilde{y}.$$ (3.4)

Найдем $z_{\max}^{\varepsilon,\alpha} (\tilde{y}),z_{\max}(y)$ из решения двойственных экстремальных задач. Из теоремы двойственности для задач выпуклого программирования [13] следует, что

$$z_{\max}(y)=\inf\{\varphi_{\mu}(\lambda):\lambda\in \mathbb{R... ...varphi _{\nu}^{\varepsilon}(\lambda):\lambda\in \mathbb{R}^n\},$$

где

$$\varphi_{\mu}(\lambda)=\mu\Vert A^{\ast}\lambda-f\Vert + (\lambda,y),$$

$$\varphi_{\nu}^{\varepsilon}(\lambda)=\nu\sqrt{\Vert A^{\ast}\... ...{2}% +\varepsilon\Vert\lambda\Vert^{2}}+( \lambda,\tilde {y}) ,$$

$\nu=\sqrt{\mu^{2}+\alpha},$ $\Vert\lambda\Vert$ - евклидова норма в $\mathbb{R}^n$ . Величины нижних граней в приведенных выражениях конечны.

Представим $\varphi_{\mu}(\lambda)$ в следующем виде:

$$\varphi_{\mu}(\lambda)=\mu\sqrt{\lambda^{\top}Q\lambda+b^{\top}\lambda +c}+(\lambda,y) ,$$

где $Q=AA^{\ast},$ $b=-2Af, c=\Vert f\Vert^{2}, \quad A^{\ast}$ - сопряженный к $A$ оператор.

Учитывая, что $y=Aw,$ $\left\langle w,w\right\rangle \leq\mu^{2}$, имеем

$$\vert(\lambda,y) \vert\leq\vert(\lambda ,Aw) \vert=\vert\left... ...\mu\Vert A^{\ast}\lambda\Vert=\mu\sqrt{\lambda^{\top}Q\lambda}.$$

Пусть $T$ - ортогональное преобразование, приводящее $Q$ к диагональному виду:

$$Q=T^{\ast}D T, \quad D=\mathrm{diag}\{d_{1}^{2},d_{2}^{2},...,d_{n}^{2}\}.$$

После замены $x=T\lambda$ получим

$$z_{\max}(y)=\inf\{\psi_{\mu}(x):x\in \mathbb{R}^n\},$$

$$\psi_{\mu}(x)=\mu\sqrt{x^{\top}Dx+e^{\top}x+c}+k^{\top}x, \quad e=T^{\ast}b, \quad k=T^{\ast}y.$$

Обозначим $I=\{i:d_{i}^{2}>0\}.$ Из условия

$$x^{\top}Dx+e^{\top}% x+c=\sum\limits_{i=1}^{n}(d_{i}^{2}x_{i}^{2}+e_{i}x_{i})+c\geq0$$

следует $e_{i}=0,$ $i\notin I.$ В силу того, что $\inf\{\psi_{\mu}(x):x\in \mathbb{R}^n\} > - \infty$ имеем $k_{i}=0,i\notin I$, и

$$\vert( k,x) \vert\leq\mu\left ( \sum\limits_{i=1}^{n}d_{i}^{2}x_{i}^{2} \right )^{1/2} , \quad \forall x\in \mathbb{R}^n,$$

откуда следует, что

$$\sum\limits_{i\in I}k_{i}^{2}d_{i}^{-2}\leq\mu^{2}.$$

Заметим, что если $Aw=y,$ где $\left\langle w,w\right\rangle \leq(\mu-\beta)^{2},$ $\beta>0,$ то

$$\vert(k,x) \vert\leq(\mu-\beta)\left ( \sum\limits_{i\in I}d_... ...d \sum\limits_{i\in I}k_{i}^{2}d_{i}^{- 2}\leq(\mu -\beta)^{2}.$$

В этом случае $\inf\{\psi_{\mu}(x):x\in \mathbb{R}^n\}$ достигается. Считая данное условие выполненным, представим $\psi_{\mu}(x)$ в виде

$$\psi_{\mu}(x)=\mu\left ( \sum\limits_{i\in I}d_{i}^{2}(x_{i}-x_{i}^{0})^{2}% +a \right )^{1/2}+k^{\top}x,$$

где $x_{i}^{0}=-\frac{e_{i}}{2d_{i}^{2}},$ $a=c-\sum\limits_{i\in I}\frac {e_{i}^{2}}{4d_{i}^{2}},$ причем $a\geq0.$

Приравнивая нулю производные $\psi_{\mu}(x)$ в точке минимума, получим

$$\mu\frac{d_{i}^{2}(x_{i}-x_{i}^{0})}{v}+k_{i}=0$$

(в предположении, что $v\neq0$ ), где обозначено

$$v=\left (\sum\limits_{i\in I}d_{i}^{2}(x_{i}-x_{i}^{0})^{2}+a \right )^{1/2} \quad .$$

Умножив каждое из равенств $d_{i}^{2}(x_{i}-x_{i}^{0})=-\frac{k_{i}}{\mu}v$ на $(x_{i}-x_{i}^{0})$ и сложив, получим

$$\sum\limits_{i\in I}d_{i}^{2}(x_{i}-x_{i}^{0})^{2}=\sum\limits_{i\in I}% \frac{k_{i}^{2}}{\mu^{2}d_{i}^{2}}v^{2}.$$

Следовательно,

$$v=\frac{\sqrt{a}}{\left ( 1-\sum\limits_{i\in I}\frac{k_{i}^{2}}{\mu^{2}% d_{i}^{2}}\right )^{1/2}}$$

и после подстановки $x_{i}=x_{i}^{0}-\frac{k_{i}^{{}}}{\mu^{{}% }d_{i}^{2}}v^{{}}$ получим

$$\inf\psi_{\mu}(x)=\mu\left ( \left( 1-\sum\limits_{i\in I}\f... ...2}-\sum\limits_{i\in I}\frac{k_{i}e_{i}^{{}}}{2d_{i}^{2}}\; .$$ (3.5)

Приведенные рассуждения справедливы, если в точке минимума

$$\sum\limits_{i\in I}d_{i}^{2}(x_{i}-x_{i}^{0})^{2}+a\neq0.$$

Равенство нулю возможно только при $a=c-\sum\limits_{i\in I}\frac{e_{i}^{2}}{4d_{i}^{2}}=0.$

Если учесть, что

$$\sum\limits_{i\in I}d_{i}^{2}(x_{i}-x_{i}^{0})^{2}+a=\Vert A^{\ast}\lambda-f\Vert^{2},$$

то в этом случае $f=A^{\ast}\lambda,$ где $\lambda=Tx^{0}.$ Тогда для любого $w$

$$\left\langle f,w\right\rangle =\left\langle A^{\ast}\lambda,w\right\rangle =(\lambda,A w)=(\lambda,y)=(k,x^{0}),$$

следовательно,

$$\inf\psi_{\mu}(x)=(k,x^{0})=-\sum\limits_{i\in I}\frac{k_{i}e_{i}^{{}}% }{2d_{i}^{2}},$$

и мы снова приходим к формуле (3.5) .

Если условие $1-\sum\limits_{i\in I}\frac{k_{i}^{2}}{\mu^{2}d_{i}^{2}}>0$ не выполнено, то $\inf\{\psi_{\mu}(x):x\in \mathbb{R}^n\},$ вообще говоря, не достигается. В этом случае рассмотрим функцию $\psi_{\mu+\beta}(x)$ при $\beta>0.$ Для произвольного $\sigma>0$ выберем $x_{\sigma}$ так, что

$$\psi_{\mu}(x_{\sigma})\leq\inf \{\psi_{\mu}(x):x\in \mathbb{R}^n\}+\frac{\sigma}{2}.$$

При достаточно малом $\beta$

$$\psi_{\mu+\beta}(x_{\sigma})\leq\psi_{\mu}(x_{\sigma})+\frac{\sigma}{2}.$$

Отсюда

$$\inf\psi_{\mu+\beta}\leq\inf\psi_{\mu}+\sigma,$$

то есть $\inf\psi _{\mu+\beta}\rightarrow\inf\psi_{\mu}$ при $\beta\rightarrow0.$ Выписывая для $\inf\psi_{\mu+\beta}$ формулу (3.5) и переходя к пределу при $\beta \rightarrow0,$ получим, что (3.5) дает величину $\inf\psi_{\mu}$ и в том случае, когда нижняя грань не достигается.

Обратимся к формуле для $z_{\max}^{\varepsilon,\alpha}(\tilde{y})$. Минимизируемая функция имеет вид

$$\varphi_{\nu }^{\varepsilon}(\lambda)=\nu\sqrt{\Vert A^{\ast}... ...rt ^{2}+\varepsilon\Vert\lambda\Vert^{2}}+( \lambda,\tilde{y})$$

где $\nu=\sqrt{\mu^{2}+\alpha},$ $\Vert y-\tilde{y}\Vert\leq\delta.$

Представим $\tilde{y}$ в виде $\tilde{y}=Aw+\eta,$ где $\Vert w\Vert\leq\mu,$ $\Vert \eta\Vert\leq\sigma.$ Тогда

$$\vert(\lambda,\tilde{y})\vert\leq\vert\left\langle A^{\ast}\l... ...t{ \lambda^{\top}Q\lambda}+\delta\sqrt {\Vert\lambda\Vert^{2}}.$$

После замены $x=T\lambda$ получим

$$\vert(\tilde{k},x)\vert\leq\mu \left ( \sum\limits_{i\in I}d_... ...left (\sum x_{i}^{2}\right )^{1/2},\quad \tilde {k}=T\tilde{y},$$

для любого $x\in \mathbb{R}^n,$ следовательно,

$$\vert\tilde{k_{i}}\vert\leq(\mu\vert d_{i} \vert+\delta).$$

Если $\frac{\delta^{2}}{\varepsilon}\leq$ $\alpha$ , то

$$(\mu\vert d_{i}\vert+\delta )\leq(\mu\vert{d_{i}}\vert+\sqrt{... ...\alpha})\leq\sqrt{\mu ^{2}+\alpha}\sqrt{d_{i}^{2}+\varepsilon},$$

причем при $\delta^{2}% /\varepsilon<\alpha$ неравенство строгое.

Таким образом, нижняя грань $\varphi_{\mu}^{\varepsilon,\alpha}(\lambda)$ при $\delta^{2}/\varepsilon<$ $\alpha$ достигается. Проводя далее рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим

$$z_{\max}^{\varepsilon,\alpha }(\tilde{y})=\nu\left ( \left(1... ...c{e_{i}^{2}}{4(d_{i}^{2}+\varepsilon)} \right)\right )^{1/2} %$$

$$-\sum\limits_{i\in I}\frac{\tilde{k}_{i}e_{i}}{2(d_{i}% ^{2}+\varepsilon)}\;.$$

Обозначим

$$\hat{z}=\sum\limits_{i\in I}\frac{\tilde {k}_{i}e_{i}}{2(d_... ...d \bar{z} = \sum\limits_{i\in I}\frac{k_{i}e_{i}}{2d_{i}^{2}},$$

тогда

$$\vert\hat{z}-\bar{z}\vert\leq\left\vert \sum\limits_{i\in I}\... ...ac{k_{i}e_{i}}{2d_{i}^{2}(d_{i}^{2}+\varepsilon )}\right\vert,$$ (3.6)

где $l=\tilde{k}-k$ . Учитывая, что $c-\sum\limits_{i\in I}\frac{e_{i}^{2}}{4d_{i}^{2}}\geq0,$ получим

$$\left (\ \sum\limits_{i\in I}\frac{e_{i}^{2}}{d_{i}^{2}}\right )^{1/2} \leq2\sqrt{c}=2\Vert f\Vert,$$

$$\left\vert \sum\limits_{i\in I}\frac{l_{i}e_{i}}{d_{i}}\right... ...ght )^{1/2}% =2\Vert l\Vert\Vert f\Vert\leq2\delta\Vert f\Vert,$$

$$\left\vert \sum\limits_{i\in I}\frac{k_{i}e_{i}}{d_{i}^{3}}\r... ..._{i}^{2}} \right )^{1/2}\leq\frac{2\mu}{d_{\min} }\Vert f\Vert,$$

где $d_{\min}=\min\{d_{i}:i\in I\}.$ Из последних неравенств и неравенства (3.6) получаем

$$\vert\hat{z}-\bar{z}\vert\leq \Vert f\Vert\left(\frac{1}{d_{\min}}\delta +\frac{\mu}{d_{\min}^2}\varepsilon\right).$$ (3.7)

Обозначим

$$B=\mu^2-\sum\limits_{i\in I}\frac{k_{i}^{2}}{d_{i}^{2}}, \quad C=c-\sum \limits_{i\in I}\frac{e_{i}^{2}}{4d_{i}^{2}},$$

$$\widetilde{B}=\mu^2+\alpha-\sum \limits_{i=1}^{n}\frac{\tild... ...sum\limits_{i\in I}\frac{e_{i}^{2}}{4(d_{i}^{2}+\varepsilon)}.$$

Тогда

$$\left\vert \widetilde{C}-C \right\vert \leq\left\vert \sum\l... ...% {d_{i}^{2}}=\frac{1}{d_{\min}^2}\Vert f\Vert^{2}\varepsilon.$$ (3.8)

Разность $\widetilde{B}-B$ представим в виде

$$\widetilde{B}-B=\alpha+ \sum\limits_{i\notin I}\frac{\tilde{... ...{i}^{2})+\varepsilon k_i^2}% {d_i^2(d_{i}^{2}+\varepsilon)}\;.$$ (3.9)

Так как

$$0\leq \sum\limits_{i\notin I}\frac{\tilde{k}_{i}^{2}}{d_{i}% ... ...ilde k_i-k_i)^2 \leq {\delta^2 \over \varepsilon} \leq \alpha,$$

то

$$0\leq \alpha-\sum\limits_{i\notin I}\frac{\tilde{k}_{i}^{2}}{d_{i} ^{2}+\varepsilon} \leq \alpha .$$

Третье слагаемое в (3.9) оценим сверху следующим образом, учитывая, что $k_i^2-\tilde{k}_{i}^{2}=-2k_il_i-l_i^2$, $\Vert l\Vert\leq \delta$, $\Vert k\Vert\leq \mu$

$$\left \vert \sum\limits_{i\in I}\frac{d_i^2(-2k_il_i-l_i^2)+\... ...}l_i\vert}{d_{i}}+\sum\limits_{i\in I}\frac{l_i^2}{\varepsilon}$$

$$\leq \frac{\mu^2}{d_{\min}^2}\varepsilon + \frac{2\mu}{d_{\min}}\delta +{\delta^2 \over \varepsilon}.$$

Таким образом, при $\delta^2/\varepsilon \leq \alpha$

$$\left \vert\widetilde{B}-B\right \vert=2\alpha+\frac{\mu^2}{d_{\min}^2}\varepsilon + \frac{2\mu}{d_{\min}}\delta.$$ (3.10)

Из (3.8), (3.10) следует

$$\left\vert \widetilde{B}\widetilde{C}-BC\right\vert \leq \omega(\alpha,\delta,\varepsilon),$$

где

$$\omega(\alpha,\delta,\varepsilon)= \Vert f\Vert^2\left(2\alph... ...ha}{d_{\min}^2}\varepsilon+\frac{2\mu}{d_{\min}}\delta\right).$$ (3.11)

Окончательно получаем следующее утверждение.

Теорема 3   Пусть пространство $Y$ конечномерно. Пусть $\delta^2/\varepsilon \leq \alpha$, $\Vert \tilde{y}-y \Vert \leq \delta$. Тогда

$$h(Z_{\alpha,\varepsilon}(\tilde{y}),Z(y)) \leq \Psi (\alpha,\varepsilon, \delta),$$ (3.12)

где

$$\Psi(\alpha,\varepsilon, \delta)= \Vert F\Vert\left(\left(2 \... ...1}{d_{\min}}\delta +\frac{\mu}{d_{\min}^2}\varepsilon \right ).$$

Обозначим $D_1=\mathrm{diag}\{p_1,p_2,\dots,p_n\}$, где $p_i=d_i^{-1},i \in I, p_i=0, i \notin I$. При $f=F^*z^*$ получим

$$\sum\limits_{i\in I}\frac{e_{i}^{2}}{d_{i}^{2}}=\Vert D_1e\Vert^2=4\Vert Gz^*\Vert^2,$$

где $G=D_1T^*AF^*$. Таким образом, $C=\Vert F^*z^*\Vert^2-\Vert Gz^*\Vert^2$. Аналог условия (2.12) принимает здесь следующий вид

$$\inf \{\Vert F^*z^*\Vert^2-\Vert Gz^*\Vert^2:\Vert z^*\Vert=1\}=\gamma >0.$$ (3.13)

При выполнении условия (3.13) и неравенства $B>0$ функцию $\Psi$ в (3.12) можно выбрать в следующем виде

$$\Psi= \Vert F\Vert\left(\frac12\Vert F\Vert(B\gamma)^{-1/2}\l... ...}{d_{\min}}\delta +\frac{\mu}{d_{\min}^2}\varepsilon \right ).$$