1. Введение

Будем рассматривать задачу гарантированного оценивания в следующем виде:

$$\mbox {найти}\qquad z=Fw$$ (1.1)

при условии

$$y=Aw+\xi, \quad w \in W, \quad \xi \in \Xi.$$ (1.2)

Здесь $A$ интерпретируется как оператор вход-выход для системы с неопределенными параметрами, $w$ - неопределенные параметры (возмущения), $y$ - измеряемый выход, $\xi$ - ошибка измерения. Множества $W,\Xi$ задают, соответственно, априорные ограничения на неопределенные параметры и ошибки измерения. Задача оценивания параметра $z=Fw$ состоит в восстановлении неизвестной величины $z$ по результатам измерения $y$.

Однозначно восстановить $z$ обычно не удается, и это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, невозможностью идентифицировать $z=Fw$ при точном измерении $y$ (отсутствие свойства наблюдаемости (идентифицируемости)). Во-вторых, наличие ошибок измерения не позволяет точно восстановить $z$ даже тогда, когда имеет место наблюдаемость.

Рассмотрим множество

$$\tilde{Z}(\tilde{y})=\{z=Fw: \tilde{y}=A w+\xi,w \in W, \xi \in \Xi\},$$ (1.3)

именуемое в теории гарантированного оценивания информационным множеством, совместимым с реализовавшимся сигналом $\tilde{y}$ [1,2]. В работе изучается зависимость $\tilde{Z}(\tilde{y})$ от ошибок измерения при стремлении уровня ошибок к нулю. Данная проблема тесно связана с устойчивостью решения задачи оценивания относительно ошибок измерений.

Уточним постановку задачи. Пусть $X,Y$ - вещественные гильбертовы пространства, $Z$ - вещественное банахово пространство. Пусть заданы операторы $A:X\rightarrow Y, F:X\rightarrow Z$. Пусть $W=\{w \in X :\langle w,w \rangle\leq\mu^{2}\}$, $\Xi=\{\xi \in Y : ( \xi, \xi ) \leq\delta^{2}\}$ где $\mu, \delta$ - заданные положительные числа, символами $\langle \cdot,\cdot \rangle$, $(\cdot,\cdot )$ обозначены скалярные произведения в $X,Y$, соответственно.

Наряду с множеством $\tilde{Z}(\tilde{y})$, определенным соотношением (1.3), рассмотрим следующие два множества. Множество

$$Z(y)=\{z=Fw:Aw=y,w\in W\}$$ (1.4)

назовем информационным множеством задачи, отвечающим точному измерению $y$. Мы далее предполагаем, что существует $w \in W$ такой, что $y=Aw$, следовательно, $Z(y)\neq\emptyset$. Множество

$$Z_{\alpha,\varepsilon}(y)=\{z=Fw:Aw+\xi=y,\langle w,w \rangle +{1\over \varepsilon} ( \xi,\xi )\leq\mu^{2}+\alpha\}$$ (1.5)

назовем регуляризованным информационным множеством [3]. Здесь $\alpha,\varepsilon$ - положительные параметры, называемые параметрами регуляризации.

Соотношения между $Z(y)$, $\tilde{Z}(\tilde{y})$ и $Z_{\alpha,\varepsilon}(\tilde{y})$ вытекают из следующего
утверждения [4].

Утверждение 1   Пусть $\Vert y-\tilde{y}\Vert\leq \delta$. Тогда $Z(y)\subset \tilde{Z}(\tilde{y}) \subset Z_{\alpha,\varepsilon}(\tilde{y})$ при $\delta^{2}/\varepsilon \leq \alpha$. Если операторы $A,F$ слабо замкнуты и $F$ вполне непрерывен, то $h(Z(y),Z_{\alpha,\varepsilon}(\tilde{y}))\rightarrow 0$ при $\varepsilon \rightarrow 0, \alpha \rightarrow 0, \delta^{2}/\varepsilon \leq \alpha$, где $h$ - хаусдорфово расстояние.

Заметим, что оператор $A$ называется слабо замкнутым (секвенциально слабо замкнутым), если для любой последовательности $w_n \in X$ из условий $w_n \rightharpoonup w$, $Aw_n \rightharpoonup y$ следует, что $Aw=y$. Здесь символ $\rightharpoonup$ обозначает слабую сходимость в соответствующем пространстве.

Рассмотрим в качестве примера оператор вход-выход для системы с неопределенными возмущениями

$${dx\over dt}=A(t,x)+B(t,x)u(t),x(t_0)=x^0, \quad t_0 \leq t \leq t_1$$ (1.6)

и уравнением измерений

$$y(t)=h_1(t,x(t))+h_2(t,x(t))u(t), \quad t_0 \leq t \leq t_1,$$ (1.7)

где $x \in \mathbb{R}^n, y \in \mathbb{R}^m, u \in \mathbb{R}^r$. Предполагается, что $A(t,x),B(t,x),$ $h_1(t,x)$, $h_2(t,x)$ непрерывны по $t,x$, липшицевы по $x$ и удовлетворяют условиям $\Vert A(t,x)\Vert\leq C_1(1+\Vert x\Vert)\Vert,\Vert B(t,x)\Vert\leq C_2$, а $h_1(t,x),h_2(t,x)$ непрерывны по $t,x$ . В качестве $w$ рассматриваем либо $w=(x^0,u(\cdot))$ либо $w=u(\cdot)$, $X=\mathbb{R}^n \times L_2^r \quad (X=L_2^r), \quad Y=L_2^m$. Пусть оператор $A$ определяется соотношениями (1.6),(1.7), тогда данный оператор является слабо замкнутым. Если

$$\quad Fw=x^0, \quad \mbox{или}\quad Fw=x(t^*,x^0,u(\cdot)),$$

где $t^*$ - фиксированная точка отрезка $[t_0,t_1]$, то $F$ слабо замкнут и вполне непрерывен.

Еcли $A,F$ - линейные непрерывные операторы, то множество $Z_{\alpha,\varepsilon}(y)$ есть эллипсоид, опорная функция которого $\rho(z^{*}\vert Z_{\alpha,\varepsilon}(y))$ описывается следующими соотношениями [4].

Утверждение 2   Пусть $A,F$ - линейные непрерывные операторы. Тогда

$$\rho(z^{*}\vert Z_{\alpha,\varepsilon}(y))=(\mu^{2}+\alpha-\... ...*},FCF^{*}z^{*}\rangle_Z^{1/2}+\langle z^{*},\hat{z}\rangle_Z,$$ (1.8)

где

$$\hat{z}=F\hat{w}(y,\varepsilon),$$ (1.9)

$$\hat{w}(y,\varepsilon)= \mathrm{argmin}\{\Vert A w-y\Vert^{2}+\varepsilon \Vert w\Vert^{2} : w \in X \},$$ (1.10)

$$\sigma=( y, (AA^*+\varepsilon I)^{-1}y),$$ (1.11)

$C$ - положительно определенный самосопряженный линейный оператор на $X$, удовлетворяющий условию

$$Cv=\mathrm{argmin}\{\Vert A w\Vert^{2}+\varepsilon \Vert w-v\Vert^{2} : w \in X \}, \quad \forall v \in X,$$ (1.12)

$A^{*},F^{*}$ - сопряженные операторы к $A,F$, $\langle \cdot, \cdot \rangle_Z$ обозначает билинейную форму, приводящую в двойственность $Z$ и $Z^*$.

Цель данной работы - изучить зависимость уклонения $\tilde{Z}(\tilde{y})$ от $Z(y)$ в хаусдорфовой метрике как функции величины погрешности $\delta$. Для этого используются оценки скорости сходимости $\tilde{Z}_{\alpha,\varepsilon}(\tilde{y})$ к $Z(y)$, основанные на результатах теории некорректных задач [5,6]. Отметим, что соотношения между минимаксными оценками в теории гарантированного оценивания и методами решения некорректных задач подробно исследованы в работах [7,8].

Для динамических алгоритмов регуляризации, основанных на конструкциях теории позиционных дифференциальных игр [9], оценки погрешности в задаче восстановления входа динамической системы с минимальной нормой приведены в [10,11]. В [12] для задачи оценивания $\Omega$-нормального входа системы оценки погрешности метода регуляризации получены путем редукции рассматриваемой задачи к операторному уравнению с нормально разрешимым оператором.