В теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными
первого порядка в последние годы получил развитие новый подход к
определению обобщенного решения задачи Коши, основанный на замене
уравнения парой дифференциальных неравенств. В рамках этого подхода
были получены теоремы существования, единственности и корректности
глобального решения для широкого класса нелинейных дифференциальных
уравнений в частных производных первого порядка с различными краевыми
и начальными условиями. Первые результаты, относящиеся к этому
направлению, возникли как развитие исследований, которые проводились в
теории позиционных дифференциальных игр (см., например, [1-7]).
Важное место в этой теории занимает функция гарантированного результата,
которая, как правило, является недифференцируемой функцией и обладает
свойствами 
и 
-стабильности. Свойство 
-стабильности
(-стабильности) означает слабую инвариантность
надграфика (подграфика) функции относительно
некоторого семейства дифференциальных включений (см.
[1, 3, 6]). Эти свойства можно выразить в форме дифференциальных
неравенств, в основе которых лежат производные по направлениям. Такие
неравенства были введены в работах [4-6, 8-10] для определения
обобщенных (минимаксных) решений уравнения Беллмана-Айзекса.
Отметим, что в работах [11, 12] было предложено определение
вязких решений уравнения Гамильтона-Якоби. Определение вязкого
решения по форме отличается от определения минимаксного решения.
Однако впоследствии в работах [13, 14] была доказана их эквивалентность.
Доказательство их эквивалентности опирается
на возможность овыпукления контингентных конусов и производных по
направлениям, используемых в определениях минимаксных решений
(см., [8, 13, 15]).
Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка методами идемпотентного анализа исследовались в работах [16, 17]. Также отметим работы [18, 19], в которых введены обобщенные решения и доказана их единственность для уравнений с выпуклым гамильтонианом.
В данной работе рассматриваются левосторонние решения (ЛР) уравнения Гамильтона-Якоби, т.е. нелинейного дифференциального уравнения с частными производными первого порядка. В теории минимаксных решений (см., например, [8, 9]) решение должно удовлетворять терминальному условию, т.е. условию на правом конце промежутка времени. При этом условия, определяющие минимаксные решения, являются правосторонними, т.е. здесь используются правосторонние варианты слабой инвариантности, производные по направлению, правосторонние относительно времени. Понятно, что решение задачи Коши с начальным условием на левом конце, определенное на левосторонних вариантах слабой инвариантности отличается от обычного минимаксного решения простой заменой времени на правостороннее. Однако отличительной особенностью ЛР, рассматриваемых в данной работе, является то, что начальное условие задано на левом конце, а основные условия, которым должно удовлетворять ЛР, являются правосторонними. Отметим, что в работе ЛР изучаются в случае, когда гамильтониан уравнения вогнут по импульсной переменной.
ЛР рассматриваются в классе полунепрерывных снизу функций и определяются с помощью конструкций негладкого анализа, которые применяются для определения минимаксных решений. На примерах показывается, что в рамках предположений, гарантирующих существование, единственность и непрерывность минимаксных решений, ЛР могут не существовать, либо могут оказаться не единственными. Это показывает, что ЛР качественно отличаются от минимаксных решений.
Далее исследованы свойства ЛР. Доказана, что замкнутая нижняя огибающая ЛР также является ЛР. Сформулировано достаточное условие существование ЛР и дано его описание в терминах производных по направлениям.