В работе предлагаются конечно-разностные операторы (КРО)
для аппроксимационных схем (АС) решения уравнений
Гамильтона-Якоби
(УГЯ). В основе конструкций лежат
результаты теории оптимального гарантированного управления,
выпуклого и негладкого анализа.
УГЯ исследуются в задачах классической механики, теории управления, теории дифференциальных игр, физики, геометрической оптики. Проблема определения решения УГЯ и его численного построения привлекала многих авторов в начале 60-х годов. В настоящее время существуют различные по форме, но эквивалентные по существу определения обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби [1]-[5]. Определения вводятся на основе замены уравнения парой дифференциальных неравенств.
Данная работа выполнена на базе конструкций теории позиционных дифференциальных игр, разработанной Н.Н.Красовским, А.И. Субботиным [6,7] и их сотрудниками, и объединившей методы решения широкого круга проблем - от теорем существования до создания численных алгоритмов.
Следует отметить, что различные КРО, доставляющие численные решения для УГЯ, рассматривались в рамках теории вязкостных решений [4, 8-10]. Была предложена общая схема доказательства сходимости АС и получена оценка скорости сходимости. Кроме того, рассматривались явные схемы типа Лакса-Фридрихса [11], подробно изучалась неявная схема.
Исследовались АС с операторами типа Годунова [12] и Лакса-Фридрихса, в которых использовались локальные аппроксимации, имеющие порядок выше первого (соответствующего кусочно-линейной аппроксимации). Рассматривались операторы типа ``максимин'' и ``минимакс'' в рамках схемы Годунова [9], указывались случаи, когда эти соотношения дают точную формулу для вязкостного решения в задаче Римана.
Ниже дается краткий обзор некоторых результатов [13]-[21], полученных авторами при решении проблемы численной аппроксимации задачи Коши для УГЯ. Приводятся различные АС со скоростью сходимости порядка квадратного корня из шага разбиения временного отрезка. Предлагаемые АС были применены для решения конкретных задач гарантированного управления. В таких задачах обобщенное (минимаксное) решение уравнения Гамильтона-Якоби (Беллмана-Айзекса) является функцией оптимального гарантированного результата (функцией цены). В работе приведены примеры вычисления функции цены с использованием АС.