В настоящем разделе мы возвращаемся к задаче раздела 2, комбинируя в
интересах ее исследования конструкции разделов 2 и 3. Напомним, что:
- непустое множество;
и
- заданные ТП,
и
Нас интересуют вопросы
регуляризации задачи о построении ДМ
посредством МП, отвечающих процедуре замены множества
его
окрестностями в ТП
Пусть
-
семейство всех окрестностей
в
)).
Естественной регуляризацией "обычного" ДМ является МП
![]() |
(5.1) |
![]() |
(5.2) |
![]() |
(5.3) |
З а м е ч а н и е 5.1. Модель со свойствами (5.2), (5.3) мы полагаем заданной. В настоящее время для широкого круга задач управления имеется ряд конкретных версий данной модели (см., в частности, конструкции [4, гл. III,IV] для случая задач управления с геометрическими ограничениями на выбор управлений и [6]-[10], где рассматривались задачи управления с интегральными ограничениями; соответствующие конкретизации могут относиться при этом к вопросам регуляризации ОД и пучков траекторий).
З а м е ч а н и е 5.2. Последнее в (5.3) условие фактически не является
ограничением. Действительно, пусть
кортеж
удовлетворяет только
(5.2) и двум первым условиям в (5.3). В этом случае введем в рассмотрение
множество
с топологией
а также следующие операторы-сужения
![]() |
(5.4) |
![]() |
(5.5) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если
то, подбирая
со свойством
имеем
и
что означает свойство
а тогда
Итак, первое вложение в (5.5) установлено. Для обоснования второго
вложения воспользуемся предложением 3.3, в котором
Из (5.3) имеем справедливость основного условия предложения 3.3, а тогда
верно (3.9), т.е.
есть подмножество множества
откуда следует
второе вложение в (5.5). Для проверки последнего в (5.5) вложения
воспользуемся предложением 4.1, полагая в отношении параметров
последнего, что
из (4.1)
имеем поэтому (см. (5.3)) вложение
![]() |
(5.6) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если и
выбраны, как при доказательстве
теоремы 5.1, то можно определить стационарную последовательность
в
для которой
Разумеется, натуральный ряд
превращается в НМ посредством обычной упорядоченности
,
порождает направленность
Поскольку
то
Заметим, что
при этом
Кроме того,
есть стационарная
последовательность, для которой
В итоге получаем вариант (3.2):
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно предложению 5.3 имеет место
![]() |
(5.7) |
![]() |
(5.8) |
![]() |
(5.9) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Конкретизируем предложение 4.5, полагая в его условиях:
Тогда (см.(5.3))
![]() |
(5.10) |
Теоремы 5.1, 5.2 наглядно характеризуют
как весьма общую регуляризацию ДМ
Замену
![]() |
(5.11) |
Фиксируем в дальнейшем непустое множество и
окрестностнозначное отображение
Тем самым в ТП
введено
семейство
![]() |
(5.12) |
П р и м е ч а н и е. Условие 5.2 естественно для многих постановок
прикладных задач, связанных с соблюдением ограничений. Примеры такого рода
уже отмечались. Сейчас заметим только, что оно выполнено в случае
метризуемого ТП
замкнутого множества
в этом ТП и отображения
сопоставляющего,
при
паре
,
в виде
открытый шар (в метрике, порождающей топологию
) множества
с центром в
и радиусом
Возвращаясь к общему случаю, отметим
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из предложений 5.3 и 5.5 получаем совпадение
множеств
и
Воспользуемся предложением 3.1, полагая в его условиях:
Первое условие в (3.7) следует из (5.3).
Второе условие в (3.7) вытекает из условия 5.2. Следовательно,
Отметим, что при выполнении условия 5.2 вообще
В связи с предложением 5.6 отметим одну возможность применения предложений
4.2, 4.3 для представления регуляризаций ДМ
в терминах
![]() |
(5.13) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий предложения следует, что
см. в этой связи [7, стр. 37]. Далее, из предложения 5.6
следует, что
Воспользуемся
предложением 4.2 в следующей его редакции:
Тогда все условия предложения 4.2
выполнены и
![]() |
(5.14) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий легко следует, что
Из предложения 5.6 имеем равенство
Рассмотрим следующую конкретизацию предложения 4.3:
Тогда все условия предложения 4.3
выполняются и, как следствие, имеем
З а м е ч а н и е 5.3. Предложения 5.7, 5.8 ориентированы в значительной мере на случай
метризуемого или
псевдометризуемого ТП
в условиях, когда
определяется в виде семейства
-окрестностей замкнутого
в
множества
при переборе
всевозможных
о такой реализации
уже говорилось ранее. При этом
в упомянутом конкретном случае. Заметим, что предложения 5.7, 5.8 можно легко
дополнить их аналогами, касающимися
предполагая наличие
у
счетной базы и выполнение условия 5.1, что позволяет
использовать предложение 5.3 в сочетании с предположениями о счетной
компактности
и о принадлежности
классу
-пространств, либо в сочетании
с предположением о квазисовершенности
(замкнутость
и свойство счетной компактности
-прообразов одноэлементных
подмножеств области значений), используемом в предложении 5.8.
![]() |
(5.15) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предложения 5.5 условие 5.1 выполняется,
а тогда в силу теоремы 5.1 мы имеем совпадение следующих трех множеств:
В силу предложения
5.6 имеем совпадение
и
Рассмотрим следующую конкретизацию предложения 4.1:
Тогда с учетом (5.3) получаем равенство
![]() |
(5.16) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверка первого вложения в (5.16) осуществляется
так же, как и в предложении 5.2. Поэтому ограничимся обсуждением
второго вложения. При этом используется версия предложения 4.4 в условиях,
когда
Тогда с учетом (5.3) получаем вложение
![]() |
(5.17) |
![]() |
(5.18) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предложения 5.6 имеем систему равенств
![]() |
(5.19) |
Из положений настоящего раздела следует, что множество
при некоторых естественных и весьма
общих условиях является по сути дела регуляризацией "обычного" ДМ
Эта регуляризация, оперирующая МП,
снова сводится к решению стандартной задачи, связанной с выбором
ОЭ
из множества
(модельное пространство) при ограничении
Предлагаемая регуляризация является в известной
мере "универсальной", поскольку обслуживает асимптотические версии
исходной задачи (т.е. версии с применением МП) для семейств
со свойством
(см. замечание после предложения 5.6). На самом же деле
здесь имеются и другие возможности, которые, в частности, были реализованы
в [7, стр. 25-26] при использовании в качестве ОЭ к.-а. мер с одним
специальным свойством (слабой абсолютной непрерывности относительно
заданной меры).
З а м е ч а н и е 5.4. Отметим одно очевидное обстоятельство, касающееся способов асимптотической
реализации элементов
действуя в духе
замечания 3.2. Именно, если
то подбираем точку
обладающую свойством
В силу (5.3) имеем
Далее конструируем
произвольную направленность
в
со свойством
![]() |
(5.20) |
![]() |
(5.21) |
![]() |
(5.22) |
![]() |
(5.23) |