5. Множества притяжения как регуляризации достижимых множеств

В настоящем разделе мы возвращаемся к задаче раздела 2, комбинируя в интересах ее исследования конструкции разделов 2 и 3. Напомним, что: ${\bf F}$ - непустое множество; $({\bf X},{{\tau}^{(1)}})$ и $({\bf H},{{\tau}^{(2)}})$ - заданные ТП, ${\bf X} \ne \emptyset,\; {\bf H} \ne \emptyset;\;{\bf Y} \in {\cal P}({\bf X});\;s \in {{\bf X}^{\bf F}}$ и $h \in {\bf H}^{\bf F}.$ Нас интересуют вопросы регуляризации задачи о построении ДМ ${h^1}({s^{-1}}({\bf Y}))$ посредством МП, отвечающих процедуре замены множества ${\bf Y}$ его окрестностями в ТП $({\bf X},{{\tau}^{(1)}}).$ Пусть ${\cal Y} \stackrel{\triangle}{=}{{\Bbb N}_{{\tau}^{(1)}}}[{\bf Y}]\;({\cal Y}$ - семейство всех окрестностей ${\bf Y}$ в $({\bf X},{{\tau}^{(1)}}$)). Естественной регуляризацией "обычного" ДМ является МП

$$({{\tau}^{(2)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}] \mid h] \in {{\cal F}_{{\tau}^{(2)}}}.$$ (5.1)

Однако определение МП (5.1) может оказаться непростой задачей (см. в этой связи [7, гл. 3,4]). Кроме того, реализация элементов МП (5.1) может потребовать, на этапе выбора приближенных решений-направленностей (и, в частности, последовательностей) в ${\bf F}$, нарушения некоторых естественных для соответствующей конкретной постановки условий "физической осуществимости"; так, например, в примерах [6, стр. 140-142], [7, стр. 16-19] предельная реализация точек из множеств - конкретизаций (5.1) - может потребовать, грубо говоря, неограниченных энергозатрат в рассматриваемых (в [6,7]) задачах управления. В этой связи, наряду с МП (5.1), будем допускать к рассмотрению варианты МП (3.4). Так или иначе, но рассматриваемая далее (см. также раздел 2) схема будет предусматривать использование модели в виде ТП $({\bf K},{{\tau}^{(3)}}),\;{\bf K} \ne \emptyset,$ а также следующей тройки отображений

$$(m \in {{\bf K}^{\bf F}})\;\&\;(g \in C({\bf K},{{\tau}^{(3)... ...(\omega \in C({\bf K},{{\tau}^{(3)}},{\bf H}, {{\tau}^{(2)}});$$ (5.2)

постулируем, что кортеж $({\bf K},{{\tau}^{(3)}},m,g,\omega)$ удовлетворяет условиям

$$(s = g \circ m)\;\&\;(h = \omega \circ m)\;\&\;({\bf K} = {\mathrm{cl}}({m^1}({\bf F}),{{\tau}^{(3)}})).$$ (5.3)

З а м е ч а н и е 5.1. Модель со свойствами (5.2), (5.3) мы полагаем заданной. В настоящее время для широкого круга задач управления имеется ряд конкретных версий данной модели (см., в частности, конструкции [4, гл. III,IV] для случая задач управления с геометрическими ограничениями на выбор управлений и [6]-[10], где рассматривались задачи управления с интегральными ограничениями; соответствующие конкретизации могут относиться при этом к вопросам регуляризации ОД и пучков траекторий).

З а м е ч а н и е 5.2. Последнее в (5.3) условие фактически не является ограничением. Действительно, пусть кортеж $({\bf K},{{\tau}^{(3)}},m,g,\omega)$ удовлетворяет только (5.2) и двум первым условиям в (5.3). В этом случае введем в рассмотрение множество ${{\bf K}_1} \stackrel{\triangle}{=}{\mathrm{cl}}({m^1}({\bf F}),{{\tau}^{(3)}}) \in {2^{\bf K}}$ с топологией ${{\tau}_1^{(3)}} \stackrel{\triangle}{=}{{\tau}^{(3)}} \mid_{{\bf K}_1},$ а также следующие операторы-сужения

$$({g_1} \stackrel{\triangle}{=}(g \mid {{\bf K}_1}) \in C({{\bf K}_1},{{\tau}_1^{(3)}}, {\bf X},{{\tau}^{(1)}})) \ \ \&$$

$$\& \ \ ({{\omega}_1} \stackrel{\triangle}{=}(\omega \mid {{\... ...) \in C({{\bf K}_1},{{\tau}_1^{(3)}},{\bf H},{{\tau}^{(2)}})).$$ (5.4)

При этом $m:\;{\bf F} \longrightarrow {{\bf K}_1},$ а тогда из (5.3), (5.4) следуют равенства $s = {g_1} \circ m$ и $h = {{\omega}_1} \circ m.$ Но в этом случае кортеж $({{\bf K}_1},{{\tau}_1^{(3)}},m,{g_1}, {{\omega}_1})$ полностью заменяет исходную модель и удовлетворяет паре условий, аналогичных (5.2) и (5.3). Возвращаясь к общему случаю модели со свойствами (5.2), (5.3) отметим сразу

Предложение 5.1   Имеет место цепочка вложений

$$\begin{array}{c} {h^1}({s^{-1}}({\bf Y})) \subset {{\omega}^... ...xtrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}] \mid h]. \end{array}$$ (5.5)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если $z \in {h^1}({s^{-1}}({\bf Y})),$ то, подбирая $f \in {s^{-1}}({\bf Y})$ со свойством $z = h(f),$ имеем ${m(f)} \in {\bf K}$ и ${s(f)} = (g \circ m)(f) = g(m(f)) \in {\bf Y},$ что означает свойство $m(f) \in {g^{-1}}({\bf Y}),$ а тогда $z = (\omega \circ m)(f) = {\omega}(m(f)) \in {{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y})).$ Итак, первое вложение в (5.5) установлено. Для обоснования второго вложения воспользуемся предложением 3.3, в котором $X = {\bf F},\;(U,\tau) = ({\bf X},{{\tau}^{(1)}}),\; (V,{{\tau}_2}) = ({\bf K},{{\tau}^{(3)}}),\;p = m,\;q = g,\;M = {\bf Y}.$ Из (5.3) имеем справедливость основного условия предложения 3.3, а тогда верно (3.9), т.е. ${g^{-1}}({\bf Y})$ есть подмножество множества $({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}] \mid m],$ откуда следует второе вложение в (5.5). Для проверки последнего в (5.5) вложения воспользуемся предложением 4.1, полагая в отношении параметров последнего, что $X = {\bf F},\;{\cal X} = {s^{-1}}[{\cal Y}],\; (V,{{\tilde \tau}_1}) = ({\bf K}... ...(W,{{\tilde \tau}_2}) = ({\bf H},{{\tau}^{(2)}}),\;\alpha = m,\;\beta = \omega;$ из (4.1) имеем поэтому (см. (5.3)) вложение ${{\omega}^1}(({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}] \mid... ...bset ({{\tau}^{(2)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}] \mid h].\Box$

Предложение 5.2   Пусть $({\bf H},{{\tau}^{(2)}})$ есть хаусдорфово ТП. Тогда

$$\begin{array}{c} {h^1}({s^{-1}}({\bf Y})) \subset (({\bf c}{... ...xtrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}] \mid h]. \end{array}$$ (5.6)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если $z$ и $f$ выбраны, как при доказательстве теоремы 5.1, то можно определить стационарную последовательность ${\bf f} \stackrel{\triangle}{=}(f_i)_{i \in {\cal N}}$ в ${\bf F},$ для которой $\forall\,{j} \in {\cal N}:\;{f_j} \stackrel{\triangle}{=}f.$ Разумеется, натуральный ряд ${\cal N}$ превращается в НМ посредством обычной упорядоченности $\le$, ${\bf f}$ порождает направленность $({\cal N},\le,{\bf f}).$ Поскольку $\{m(f)\} \in ({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} \mathrm{comp})[{\bf K}],$ то ${\bf f} \in {{\cal M}_{\bf c}}({\cal N},{\bf F},{\bf K},{{\tau}^{(3)}},m).$ Заметим, что $\forall\,{H} \in {\cal Y}:\;{\bf Y} \subset H;$ при этом ${s(f)} \in {\bf Y}.$ Кроме того, $h \circ {\bf f}$ есть стационарная последовательность, для которой $(h \circ {\bf f})(i) \equiv h(f) = z.$ В итоге получаем вариант (3.2):

$$({s^{-1}}[{\cal Y}] \subset ({\bf F} \textrm{-} {\mathrm{ass... ... \circ {\bf f}) \stackrel{{{\tau}^{(2)}}}{\longrightarrow} z).$$

Это означает, что справедливо $z \in (({\bf c}{{\tau}^{(3)}},{{\tau}^{(2)}}) \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}] \mid m;h].$ Из данного рассуждения следует первое вложение в (5.6). Для доказательства второго воспользуемся предложением 4.4 в условиях следующей конкретизации его параметров: $X = {\bf F},\; {\cal X} = {s^{-1}}[{\cal Y}],\;(V,{{\tilde \tau}_1}) = ({\bf K}... ...W,{{\tilde \tau}_2}) = ({\bf H},{{\tau}^{(2)}}),\; \alpha = m,\;\beta = \omega.$ Тогда из (4.2), (5.2) и (5.3) имеем вложение

$$(({\bf c}{{\tau}^{(3)}},{{\tau}^{(2)}}) \textrm{-} {\mathrm{... ...{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}] \mid m]),$$

т.е. второе вложение в (5.6). Наконец, последнее (в (5.6)) вложение извлекается из предложения 5.1.$\Box$

Условие 5.1   $\forall\,{\bf x} \in {\bf X} \setminus {\bf Y}\;\exists{H_1} \in {N_{{\tau}^{(1)}}}({\bf x})\;\exists{H_2} \in {\cal Y}:\; {H_1} \cap {H_2} = \emptyset.$

Из следствия 3.1 и (5.3) получаем

Предложение 5.3   Пусть выполнено условие 5.1. Тогда

$${g^{-1}}({\bf Y}) = ({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}] \mid m].$$

Для доказательства достаточно конкретизировать параметры
следствия 3.1: $X = {\bf F},\;(U,{{\tau}_1}) = ({\bf X},{{\tau}^{(1)}}),\; (V,{{\tau}_2}) = ({\bf K},{{\tau}^{(3)}}),\;p = m,\;q =g,\;M = {\bf Y}.$ Тогда множество ${p^1}(X) = {m^1}({\bf F})$ всюду плотно в $V = {\bf K}$ в смысле ${{\tau}_2} = {{\tau}^{(3)}}.$ Условие (3.11) следует из условия 5.1 по определению ${\cal Y}.$ В силу (5.3) имеем теперь $s = q \circ p,$ а потому ${s^{-1}}[{\cal Y}] = {(q \circ p)^{-1}}[ {{\Bbb N}_{{\tau}_1}}[M]].$

Теорема 5.1   Пусть выполнено условие 5.1, а $\omega$ есть почти совершенное [22] в смысле ТП $({\bf K},{{\tau}^{(3)}})$ и $({\bf H},{{\tau}^{(2)}})$ отображение из ${\bf K}$ в ${\bf H}.$ Тогда

$${{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y})) = {{\omega}^1}(({{\tau}^{(3)... ...^{(2)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}] \mid h].$$

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно предложению 5.3 имеет место

$${{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y})) = {{\omega}^1}(({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}] \mid m]).$$ (5.7)

Теперь воспользуемся предложением 4.1 в следующей его конкретизации: $X = {\bf F},\; {\cal X} = {s^{-1}}[{\cal Y}],\;(V,{{\tilde \tau}_1}) = ({\bf K}... ...W,{{\tilde \tau}_2}) = ({\bf H},{{\tau}^{(2)}}),\; \alpha = m,\;\beta = \omega.$ Тогда, в согласии с (5.3) и предложением 4.1, имеем равенство

$${{\omega}^1}(({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{... ...^{(2)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}] \mid h].$$ (5.8)

Из (5.7), (5.8) вытекает утверждение теоремы.

Предложение 5.4   Пусть $({\bf H},{{\tau}^{(2)}})$ - хаусдорфово ТП и выполнено условие 5.1. Тогда

$${h^1}({s^{-1}}({\bf Y})) \subset (({\bf c}{{\tau}^{(3)}},{{\... ...}[{\cal Y}] \mid m;h] \subset {{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y})).$$

Доказательство получается комбинацией предложений 5.2, 5.3.

Теорема 5.2   Пусть $({\bf H},{{\tau}^{(2)}})$ - хаусдорфово, а $({\bf K},{{\tau}^{(3)}})$ - локально компактное ТП. Пусть, кроме того, выполнено условие 5.1. Тогда

$$(({\bf c}{{\tau}^{(3)}},{{\tau}^{(2)}}) \textrm{-} {\mathrm{... ...s^{-1}}[{\cal Y}] \mid m;h] = {{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y})).$$ (5.9)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Конкретизируем предложение 4.5, полагая в его условиях: $X = {\bf F},\; {\cal X} = {s^{-1}}[{\cal Y}],\;(V,{{\tilde \tau}_1}) = ({\bf K}... ...W,{{\tilde \tau}_2}) = ({\bf H},{{\tau}^{(2)}}),\; \alpha = m,\;\beta = \omega.$ Тогда (см.(5.3))

$$(({\bf c}{{\tau}^{(3)}},{{\tau}^{(2)}}) \textrm{-} {\mathrm{... ...{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}] \mid m]).$$ (5.10)

Из (5.10) и предложения 5.3 получаем (5.9).$\Box$

Теоремы 5.1, 5.2 наглядно характеризуют ${{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y}))$ как весьма общую регуляризацию ДМ ${h^1}({s^{-1}}({\bf Y})).$ Замену

$${h^1}({s^{-1}}({\bf Y})) \longrightarrow {{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y}))$$ (5.11)

можно, при достаточно общих условиях, интерпретировать, как корректное расширение задачи о построении ДМ. Отметим, кстати, что условие локальной компактности модельного ТП $({\bf K},{{\tau}^{(3)}})$ выполняется, например, в задачах, рассматриваемых в [7, гл. 4], [9,10] (см. в этой связи [7, стр. 55], [26, стр. 269]). В случае компактного модельного ТП реализуются дополнительные возможности в вопросах представления ДМ. Это обстоятельство определяет фактически более "удачный", в плане исследования некоторых конкретных классов линейных задач управления с интегральными ограничениями "нересурсного" характера, вариант расширения в классе неотрицательных к.-а. мер (векторных или "скалярных", в зависимости от постановки задачи) в [6,7,9,10,25,26] по сравнению с общим случаем знакопеременных к.-а. мер.

Фиксируем в дальнейшем непустое множество ${\bf Q}$ и окрестностнозначное отображение ${{\Lambda }_0} \in (\mathrm{UNIF})[{\bf Q};{{\tau}^{(1)}} \mid {\bf Y}].$ Тем самым в ТП $({\bf X},{{\tau}^{(1)}})$ введено семейство

$${\mathfrak Y} \stackrel{\triangle}{=}{\cal U}({\bf Q},{{\tau}^{(1)}},{\bf Y} \mid {{\Lambda }_0}) \in {\cal B}[{\bf X}],$$ (5.12)

${\mathfrak Y} \subset {\cal Y}$, которое содержит не все, вообще говоря, окрестности ${\bf Y}.$ Рассмотрим вариант ослабления ${\bf Y}$-ограничения, при котором допустимо использовать вместо ${\bf Y}$ лишь окрестности из ${\mathfrak Y}.$

Условие 5.2   $\forall\,{\bf x} \in {\bf X} \setminus {\bf Y}\;\exists{q} \in {\bf Q}:\; {{\La... ...bf x},q) \cap (\bigcup\limits_{y \in {\bf Y}}{{\Lambda }_0}(y, q)) = \emptyset.$

П р и м е ч а н и е. Условие 5.2 естественно для многих постановок прикладных задач, связанных с соблюдением ограничений. Примеры такого рода уже отмечались. Сейчас заметим только, что оно выполнено в случае метризуемого ТП $({\bf X},{{\tau}^{(1)}}),$ замкнутого множества ${\bf Y}$ в этом ТП и отображения ${\Lambda }_0,$ сопоставляющего, при ${\bf Q} = ]0,\infty[,$ паре $(x,q),\;x \in {\bf X},\;q \in ]0,\infty[$, в виде ${{\Lambda }_0}(x,q)$ открытый шар (в метрике, порождающей топологию ${{\tau}^{(1)}}$) множества ${\bf X}$ с центром в $x$ и радиусом $q.$

Возвращаясь к общему случаю, отметим

Предложение 5.5   Условие 5.2 достаточно для выполнения усло-
вия 5.1.

Доказательство следует из определений раздела 3.

Предложение 5.6   Пусть выполнено условие 5.2. Тогда

$${g^{-1}}({\bf Y}) = ({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}... ...}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \mid m].$$

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из предложений 5.3 и 5.5 получаем совпадение множеств ${g^{-1}}({\bf Y})$ и $({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}] \mid m].$ Воспользуемся предложением 3.1, полагая в его условиях: $X = {\bf F},\;Q = {\bf Q},\;(U,{{\tau}_1}) = ({\bf X},{{\tau}^{(1)}}),\; (V,{{\... ...au}^{(3)}}),\;M = {\bf Y},\;\Lambda = {{\Lambda }_0},\; \alpha = s,\;\beta = m.$ Первое условие в (3.7) следует из (5.3). Второе условие в (3.7) вытекает из условия 5.2. Следовательно,

$$({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}... ...}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \mid m].$$

Разумеется, мы учли (5.12). Предложение доказано.$\Box$

Отметим, что при выполнении условия 5.2 вообще $\forall\,{\cal X} \in {\cal B}[{\bf F}]:$

$$(s^{-1}[{\mathfrak Y}] \subset {\cal X} \subset s^{-1}[{\cal... ... ({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{\cal X} \mid m]).$$

Очевидные свойства такого рода в последующих утверждениях специально оговариваться не будут.

В связи с предложением 5.6 отметим одну возможность применения предложений 4.2, 4.3 для представления регуляризаций ДМ ${h^1}({s^{-1}}({\bf Y}))$ в терминах ${{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y})).$

Предложение 5.7   Пусть выполнено условие 5.2 и при этом ${\mathfrak Y} \in {{\cal B}_{\cal N}}({\bf X}).$ Кроме того, пусть $({\bf K},{{\tau}^{(3)}})$ есть счетно-компактное ТП, а
$({\bf H},{{\tau}^{(2)}})$ есть ${T_1}$-пространство. Пусть, наконец, $\omega$ есть замкнутое, в смысле ТП $({\bf K},{{\tau}^{(3)}})$ и $({\bf H},{{\tau}^{(2)}}),$ отображение из ${\bf K}$ в ${\bf H}.$ Тогда

$${{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y})) = ({{\tau}^{(2)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \mid h].$$ (5.13)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий предложения следует, что ${s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \in {{\cal B}_{\cal N}}({\bf F});$ см. в этой связи [7, стр. 37]. Далее, из предложения 5.6 следует, что ${g^{-1}}({\bf Y}) = ({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \mid m].$ Воспользуемся предложением 4.2 в следующей его редакции: $X = {\bf F},\; {\cal X} = {{s^{-1}}[{\mathfrak Y}]},\;(V,{{\tilde \tau}_1}) = (... ...W,{{\tilde \tau}_2}) = ({\bf H},{{\tau}^{(2)}}),\; \alpha = m,\;\beta = \omega.$ Тогда все условия предложения 4.2 выполнены и

$${{\omega}^1}(({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{... ...}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \mid h].$$ (5.14)

С учетом ранее установленного представления для ${g^{-1}}({\bf Y})$ и (5.14) получаем равенство (5.13).$\Box$

Предложение 5.8   Пусть выполнено условие 5.2 и при этом ${\mathfrak Y} \in {{\cal B}_{\cal N}}({\bf X}).$ Кроме того, пусть $\omega$ есть замкнутое, в смысле ТП $({\bf K},{{\tau}^{(3)}})$ и $({\bf H},{{\tau}^{(2)}}),$ отображение из ${\bf K}$ в ${\bf H},$ для которого при любом $z \in {\bf H}$ множество ${{\omega}^{-1}}(\{z\})$ счетно-компактно в ТП $({\bf K},{{\tau}^{(3)}}).$ Тогда справедливо равенство (5.13).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий легко следует, что ${s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \in {{\cal B}_{\cal N}}({\bf F}).$ Из предложения 5.6 имеем равенство ${g^{-1}}({\bf Y}) = ({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \mid m].$ Рассмотрим следующую конкретизацию предложения 4.3: $X = {\bf F},\; {\cal X} = {s^{-1}}[{\mathfrak Y}],\;(V,{{\tilde \tau}_1}) = ({\... ...W,{{\tilde \tau}_2}) = ({\bf H},{{\tau}^{(2)}}),\; \alpha = m,\;\beta = \omega.$ Тогда все условия предложения 4.3 выполняются и, как следствие, имеем

$${{\omega}^1}(({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{... ...}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \mid h],$$

где использовано (5.3). С учетом полученного ранее представления для ${g^{-1}}({\bf Y})$ имеем (5.13).

З а м е ч а н и е 5.3. Предложения 5.7, 5.8 ориентированы в значительной мере на случай метризуемого или псевдометризуемого ТП $({\bf X},{{\tau}^{(1)}})$ в условиях, когда ${\mathfrak Y}$ определяется в виде семейства $\varepsilon$-окрестностей замкнутого в $({\bf X},{{\tau}^{(1)}})$ множества ${\bf Y}$ при переборе всевозможных $\varepsilon \in ]0,\infty[;$ о такой реализации ${\mathfrak Y}$ уже говорилось ранее. При этом ${\mathfrak Y} \in {{\cal B}_{\cal N}}({\bf X})$ в упомянутом конкретном случае. Заметим, что предложения 5.7, 5.8 можно легко дополнить их аналогами, касающимися ${\cal Y},$ предполагая наличие у ${\cal Y}$ счетной базы и выполнение условия 5.1, что позволяет использовать предложение 5.3 в сочетании с предположениями о счетной компактности $({\bf K},{{\tau}^{(3)}})$ и о принадлежности $({\bf H},{{\tau}^{(2)}})$ классу $T_1$-пространств, либо в сочетании с предположением о квазисовершенности $\omega$ (замкнутость $\omega$ и свойство счетной компактности $\omega$-прообразов одноэлементных подмножеств области значений), используемом в предложении 5.8.

Теорема 5.3   Пусть выполнено условие 5.2, а $\omega$ есть почти совершенное [22], в смысле $({\bf K},{{\tau}^{(3)}})$ и $({\bf H},{{\tau}^{(2)}}),$ отображение из ${\bf K}$ в ${\bf H}.$ Тогда

$${{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y})) = ({{\tau}^{(2)}} \textrm{-}... ...}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \mid h].$$ (5.15)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предложения 5.5 условие 5.1 выполняется, а тогда в силу теоремы 5.1 мы имеем совпадение следующих трех множеств: ${{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y})),\;{{\omega}^1}(({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mat... ...id m]),\;({{\tau}^{(2)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}] \mid h].$ В силу предложения 5.6 имеем совпадение ${{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y}))$ и ${{\omega}^1}(({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \mid m]).$ Рассмотрим следующую конкретизацию предложения 4.1: $X = {\bf F},\; {\cal X} = {s^{-1}}[{\mathfrak Y}],\;(V,{{\tilde \tau}_1}) = ({\... ...,\;(W,{{\tilde \tau}_2}) = ({\bf H},\tau^{(2)}),\;\alpha = m,\; \beta = \omega.$ Тогда с учетом (5.3) получаем равенство

$${{\omega}^1}(({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{... ...}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \mid h],$$

чем и завершается доказательство (5.15) и теоремы в целом.$\Box$

Предложение 5.9   Пусть $({\bf H},{{\tau}^{(2)}})$ - хаусдорфово ТП и выполнено
условие 5.2. Тогда

$${h^1}({s^{-1}}({\bf Y})) \subset (({\bf c}{{\tau}^{(3)}},{{\... ...}[{\cal Y}] \mid m;h] \subset {{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y})).$$ (5.16)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверка первого вложения в (5.16) осуществляется так же, как и в предложении 5.2. Поэтому ограничимся обсуждением второго вложения. При этом используется версия предложения 4.4 в условиях, когда $X = {\bf F},\; {\cal X} = {s^{-1}}[{\mathfrak Y}],\;(V,{{\tilde \tau}_1}) = ({\... ...W,{{\tilde \tau}_2}) = ({\bf H},{{\tau}^{(2)}}),\; \alpha = m,\;\beta = \omega.$ Тогда с учетом (5.3) получаем вложение

$$(({\bf c}{{\tau}^{(3)}},{{\tau}^{(2)}}) \textrm{-} {\mathrm{... ...} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \mid m]).$$ (5.17)

Из предложения 5.6 следует, что ${{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y})) = {{\omega}^1}(({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \mid m]),$ чем и завершается (см.(5.17)) обоснование второго вложения в (5.16) и, следовательно, предложения в целом.

Теорема 5.4   Пусть выполнено условие 5.2, ТП $({\bf K},{{\tau}^{(3)}})$ локально
компактно, ТП $({\bf H},{{\tau}^{(2)}})$ является хаусдорфовым. Тогда

$${{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y})) = (({\bf c}{{\tau}^{(3)}},{{... ...)}}) \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}] \mid m;h] =$$

$$\qquad {}= (({\bf c}{{\tau}^{(3)}}, {{\tau}^{(2)}}) \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \mid m;h].$$ (5.18)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предложения 5.6 имеем систему равенств

$${{\omega}^1}(({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\cal Y}] \mid m]) =$$

$$={{\omega}^1}(({{\tau}^{(3)}} \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \mid m]) = {{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y}));$$ (5.19)

(5.19) обосновывает фактически утверждение (5.18). Рассмотрим следующую конкретизацию предложения 4.5: $X = {\bf F},\; ({\cal X} = {s^{-1}}[{\cal Y}])\;\vee\;({\cal X} = {s^{-1}}[{\ma... ...W,{{\tilde \tau}_2}) = ({\bf H},{{\tau}^{(2)}}),\;\alpha = m,\; \beta = \omega.$ Тогда в силу (5.3),(5.19) и предложения 4.5 получаем

$$(({\bf c}{{\tau}^{(3)}},{{\tau}^{(2)}}) \textrm{-} {\mathrm{... ...s^{-1}}[{\cal Y}] \mid m;h] = {{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y})) =$$

$$= (({\bf c}{{\tau}^{(3)}}, {{\tau}^{(2)}}) \textrm{-} {\mathrm{LIM}})[{s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \mid m;h].$$

Из (5.19) и последнего свойства вытекает (5.18), т.е. утверждение в целом.$\Box$

Из положений настоящего раздела следует, что множество ${{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y}))$ при некоторых естественных и весьма общих условиях является по сути дела регуляризацией "обычного" ДМ ${h^1}({s^{-1}}({\bf Y})).$ Эта регуляризация, оперирующая МП, снова сводится к решению стандартной задачи, связанной с выбором ОЭ $k$ из множества ${\bf K}$ (модельное пространство) при ограничении ${g(k)} \in {\bf Y}.$ Предлагаемая регуляризация является в известной мере "универсальной", поскольку обслуживает асимптотические версии исходной задачи (т.е. версии с применением МП) для семейств ${\cal X} \in {{\cal B}[{\bf F}]}$ со свойством ${s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \subset {\cal X} \subset {s^{-1}}[{\cal Y}]$ (см. замечание после предложения 5.6). На самом же деле здесь имеются и другие возможности, которые, в частности, были реализованы в [7, стр. 25-26] при использовании в качестве ОЭ к.-а. мер с одним специальным свойством (слабой абсолютной непрерывности относительно заданной меры).

З а м е ч а н и е 5.4. Отметим одно очевидное обстоятельство, касающееся способов асимптотической реализации элементов ${{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y})),$ действуя в духе замечания 3.2. Именно, если $z \in {{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y})),$ то подбираем точку $v \in {g^{-1}}({\bf Y}),$ обладающую свойством $z = {{\omega}(v)}.$ В силу (5.3) имеем $v \in {\mathrm{cl}}({m^1}({\bf F}),{{\tau}^{(3)}}).$ Далее конструируем произвольную направленность $(D, \preceq, f)$ в ${\bf F}$ со свойством

$$(D,\preceq,m \circ f) \stackrel{{\tau}^{(3)}}{\longrightarrow} v.$$ (5.20)

Направленность $(D, \preceq, f)$ со свойством (5.20) существует в силу теоремы Биркгофа. В силу непрерывности $\omega$ и представлений (5.3) из (5.20) имеем сходимость

$$(D,\preceq,h \circ f) \stackrel{{\tau}^{(2)}}{\longrightarrow} z;$$ (5.21)

(5.21) дополняется следующим положением о приближенном соблюдении ${\bf Y}$-ограничения. В самом деле, в силу непрерывности $g$ из (5.3) и (5.20) имеем, подобно замечанию 3.2, сходимость

$$(D,\preceq,s \circ f) \stackrel{{\tau}^{(1)}}{\longrightarrow} {g(v)}.$$ (5.22)

При этом по выбору $v$ имеем, что ${\cal Y} \subset {N_{{\tau}^{(1)}}}(g(v)).$ Стало быть, из (5.22) вытекает, что ${\cal Y} \subset ({\bf X} \textrm{-} {\mathrm{ass}})[D;\preceq;s \circ f]$ и, как следствие,

$${s^{-1}}[{\mathfrak Y}] \subset {s^{-1}}[{\cal Y}] \subset ({\bf F} \textrm{-} {\mathrm{ass}})[D;\preceq;f].$$ (5.23)

Из (5.21), (5.23) мы получаем утверждение о том, что $(D, \preceq, f)$ есть приближенное решение, доставляющее $z,$ как элемент последнего в (5.5) множества, в виде предела значений $h$ при соблюдении ограничений асимптотического характера, определяемых посредством ${s^{-1}}[{\cal Y}]$. Поскольку выбор $z$ был произвольным, мы получаем возможность асимптотической реализации всего множества ${{\omega}^1}({g^{-1}}({\bf Y}))$ посредством приближения, в смысле модельного ТП, элементов обобщенного МДЭ ${g^{-1}}({\bf Y})$ на основе последнего свойства в (5.3). Если же выполнены соответствующие дополнительные условия, то такой подход, использующий плотность ${m^1}({\bf F})$ в $({\bf K},{{\tau}^{(3)}}),$ позволяет исчерпывающим образом реализовать МП в ТП $({\bf H},{{\tau}^{(2)}})$ (см., например, теорему 5.3).