4. Регуляризация достижимых множеств

В предыдущем разделе намечена процедура, исполняющая фактически роль регуляризации МДЭ в терминах некоторого модельного ТП. В последних утверждениях раздела 3 в качестве такового использовалось ТП $(V, \tau_2)$. Разумеется, последнее можно выбрать различными способами, оперируя затем операторами $p$ и $q$ (см. предложение 3.4) с целью представления отображения $s$ раздела 2 в виде $s = q \circ p$. Заметим, что $(V, \tau_2)$ объективно использовалось в качестве $({\bf K}, \tau^{(3)})$ раздела 2, если $(U,\tau_1)$ трактовать в виде версии $({\bf X},\tau^{(1)})$; при этом $p$ является аналогом погружения $m$. В связи с задачей раздела 2 вполне естественным является желание распорядиться выбором данного модельного ТП $(V, \tau_2)$ в целях аналогичной обработки оператора $h$, т.е. желание связать проблему "исправления" МДЭ с вопросом расширения этого (целевого) оператора $h$. В этой части наилучшим выходом, по-видимому, было бы осуществление компактификации с соблюдением некоторых естественных аналогов исходных условий (см., например, теорему 2.5.2 [6]); разумеется, компактификации (расширения) такого типа имеют много общего с компактификациями, используемыми в общей топологии (см. [19]-[22]). Однако вышеупомянутые дополнительные условия, порожденные, в частности, необходимостью "усовершенствования" вполне определенного целевого оператора (аналог $h$ раздела 2) допускают возможность подобной компактификации задачи далеко не всегда; см. в этой связи пример [7, стр. 156] при некоторых простых его изменениях. В тех случаях, когда компактификация задачи (реализуемая, кстати, в [4] в классе метризуемых компактов) невозможна, имеет смысл использовать ряд других возможностей асимптотической реализации элементов "целевого" ТП (см. $({\bf H},\tau^{(2)})$ раздела 2); см. в этом плане примеры [6, стр. 140-142] и [7, стр. 1,2,16-19]. По этой причине представляется целесообразным исследование расширений, не сводящихся, вообще говоря, к компактификациям не только в связи с регуляризацией МДЭ (см., например, (3.14), где МП, "заменяющее" исходное МДЭ, вырождаются в стандартное МДЭ модельного ТП), но и в плане регуляризации ДМ. В изложении конструкций такого рода мы в значительной мере ориентируемся на построения заключительной части [10], опуская аналогичные в идейном отношении доказательства и ограничиваясь, по возможности, сводкой необходимых утверждений. Из простейших свойств непрерывных операторов вытекает

Предложение 4.1   [10]. Пусть $X$ - непустое множество с оснащением ${\cal X} \in {\cal B}[X]$, $(V,\tilde\tau_1)$, $V \not= \emptyset$, и $(W,\tilde\tau_2)$, $W \not= \emptyset$, - два ТП, $\alpha \in V^X$ и $\beta \in C(V,\tilde\tau_1,W,\tilde\tau_2)$. Тогда

$$\beta^1((\tilde\tau_1 \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal X} \mid... ..._2 \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal X} \mid \beta \circ \alpha];$$ (4.1)

если к тому же $\beta$ есть почти совершенное [22, стр. 287] в смысле $(V,\tilde\tau_1)$ и $(W,\tilde\tau_2)$ отображение, то (4.1) превращается в равенство.

Отметим, что в [7, стр. 114-123] указан конкретный класс задач управления с интегральными ограничениями, не компактифицируемых, вообще говоря, в смысле [6, стр. 41], но удовлетворяющих второй части утверждения предложения 4.1 (речь идет об исследовании асимптотики ОД линейных управляемых систем). В связи с обращением (4.1) в равенство и секвенциальной реализацией последнего полезно иметь в виду предложение 3.3.1 [7] (именно, имеется в виду случай, когда ${\cal X} \in {\cal B}_{\cal N}(X)$ и $(W,\tilde\tau_2)$ есть ТП с первой аксиомой счетности). В то же время теорему 2.5.2 [6, стр. 41] имеет смысл дополнить следующим положением.

Предложение 4.2   Пусть $X$ - непустое множество с оснащением ${\cal X} \in {\cal B}_{\cal N}(X)$; $(V,\tilde\tau_1)$, $V \not= \emptyset$,- счетно-компактное ТП [22, стр. 304]; $(W,\tilde\tau_2)$, $W \not= \emptyset$, есть $T_1$-пространство [22, стр. 69]; $\alpha \in V^X$; $\beta$ - замкнутое [22, стр. 62] в смысле $(V,\tilde\tau_1)$ и $(W,\tilde\tau_2)$ отображение из $V$ в $W$. Тогда (4.1) превращается в равенство.

Основной момент в обосновании предложения 4.2 связан с применением теоремы 3.10.2 [22]. Заметим, что вторая часть предложения 4.1 может рассматриваться как локальная, в некотором смысле, версия теоремы 2.5.2 [6]. В свою очередь, и предложение 4.2 может быть "локализовано" (мы понимаем далее счетно-компактные множества в произвольном ТП в соответствии с [21, стр. 239], что согласуется с [19,20,22]).

Предложение 4.3   Пусть $X$ - непустое множество с оснащением ${\cal X} \in {\cal B}_{\cal N}(X)$; $(V,\tilde\tau_1)$, $V \not= \emptyset$, и $(W,\tilde\tau_2)$, $W \not= \emptyset$, - два ТП; $\alpha \in V^X$; оператор $\beta \in W^V$ есть замкнутое [22, стр. 62], относительно $(V,\tilde\tau_1)$ и $(W,\tilde\tau_2)$ отображение, у которого при любом $w \in W$ множество $\beta^{-1}(\{w\})$ счетно-компактно в ТП $(V,\tilde\tau_1)$. Тогда (4.1) превращается в равенство.

Доказательство аналогично рассуждениям, применяемым в заключительной части [10] при обосновании положения, подобного второй части предложения 4.1, но использующее, в отличие от [10], известную теорему 3.10.2 [22]. Предложения 4.2 и 4.3 определяют некоторые дополнительные возможности, связанные с использованием счетно-компактных версий расширения пространств (см. замечания о соотношении компактных и счетно-компактных ТП в [22, гл. 3]). Здесь же полезно отметить, что упоминавшаяся теорема 2.5.2 [6, стр. 41] извлекается из предложения 4.1 (см. вторую часть утверждения). Дело в том, что, если ТП $(V,\tilde\tau_1)$ компактно, а ТП $(W,\tilde\tau_2)$ - хаусдорфово, то $C(V,\tilde\tau_1,W,\tilde\tau_2)$ есть множество всех почти совершенных отображений (в смысле $\tilde\tau_1$, $\tilde\tau_2$) из $V$ в $W$.

Предложение 4.4   Пусть $X$ - непустое множество с оснащением ${\cal X} \in {\cal B}[X]$; $(V,\tilde\tau_1)$, $V \not= \emptyset$, и $(W,\tilde\tau_2)$, $W \not= \emptyset$, - два ТП, причем ТП $(W,\tilde\tau_2)$ является хаусдорфовым; $\alpha \in V^X$; $\beta \in C(V,\tilde\tau_1,W,\tilde\tau_2)$. Тогда

$$(({\bf c}\tilde\tau_1, \tilde\tau_2) \textrm{-} \mathrm{LIM}... ...(\tilde\tau_1 \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal X} \mid \alpha]).$$ (4.2)

Доказательство является, по сути дела, локальной версией теоремы 2.5.2 [6, стр. 41], и мы ограничимся схемой, фиксируя произвольный элемент $w$ множества в левой части (4.2). Для данной точки $w \in W$ можно указать непустое НМ $(D, \preceq)$ и оператор $\varphi \in {\cal M}_{\bf c}(D,X,V,\tilde\tau_1,\alpha)$ со свойством

$$({\cal X} \subset (X \textrm{-} \mathrm{ass})[D; \preceq; \v... ...a \circ \alpha \circ \varphi) \stackrel{\tilde\tau_2}{\to} w).$$ (4.3)

Используя (3.3), подбираем для $\varphi \in X^D$ множество ${\Bbb K} \in (\tilde\tau_1 \textrm{-} \mathrm{comp})[V]$ со свойством $(\alpha \circ \varphi)^1(D) \subset {\Bbb K}$ и рассматриваем ${\Bbb U} \stackrel{\triangle}{=} \alpha^{-1}({\Bbb K}) \in 2^X$. Разумеется, $\varphi \in {\Bbb U}^D$, а $(\alpha \mid {\Bbb U})$ действует из ${\Bbb U}$ в ${\Bbb K}$, т.е. $(\alpha \mid {\Bbb U}) \in {\Bbb K}^{\Bbb U}$. Пусть $\theta_1 \stackrel{\triangle}{=} \tilde\tau_1 \mid_{\Bbb K}$, так что $({\Bbb K},\theta_1)$ есть компактное ТП. Кроме того, введем ${\Bbb W} \stackrel{\triangle}{=}\beta^1({\Bbb K})$ и $\theta_2 \stackrel{\triangle}{=}(\tilde\tau_2 \mid_{\Bbb W})$, получая компакт [22, стр. 208] $({\Bbb W},\theta_2)$, ${\Bbb W} \not= \emptyset$, причем $\tilde\beta \stackrel{\triangle}{=}(\beta \mid {\Bbb K}) \in C({\Bbb K},\theta_1,{\Bbb W},\theta_2)$. Разумеется, $\tilde\beta$ есть почти совершенное относительно $({\Bbb K},\theta_1)$ и $({\Bbb W},\theta_2)$ отображение. Следовательно, в силу предложения 4.1 имеем для ${\cal X}_1 \stackrel{\triangle}{=}\{H \cap {\Bbb U}: \ H \in {\cal X}\} \in {\cal B}[{\Bbb U}]$ равенство

$$(\theta_2 \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal X}_1 \mid\tilde\beta... ... \mathrm{LIM})[{\cal X}_1 \mid (\alpha \mid {\Bbb U})]) \subset$$

$$\subset \beta^1(\bigcap_{H \in {\cal X}_1} \mathrm{cl}(\alph... ...(\tilde\tau_1 \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal X} \mid \alpha]),$$ (4.4)

причем $w$ есть элемент первого (крайнего слева) множества в (4.4). Действительно, $\tilde\beta \circ (\alpha \mid {\Bbb U}) \circ \varphi = \beta \circ \alpha \circ \varphi \in {\Bbb W}^D$ и, в силу (4.3), $(D, \preceq, \tilde\beta \circ (\alpha \mid {\Bbb U}) \circ \varphi)$ сходится к $w$ в $(W,\tilde\tau_2)$. Имеем в силу отделимости $(W,\tilde\tau_2)$, что ${\Bbb W} \in {\cal F}_\tau$, где $\tau = \tilde\tau_2$, а тогда $w \in {\Bbb W}$ по теореме Биркгофа. Имеем с очевидностью

$$(D, \preceq, \tilde\beta \circ (\alpha \mid {\Bbb U}) \circ \varphi) \stackrel{\theta_2}{\to} w,$$

что, в сочетании с (4.3), означает (см. (3.2)) требуемое свойство $w \in\linebreak (\theta_2 \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal X}_1 \mid \tilde\beta \circ (\alpha \mid {\Bbb U})]$. С учетом (4.4) получаем $w \in \beta^1((\tilde\tau_1 \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal X} \mid \alpha])$. Вложение (4.2) установлено.

Далее используем несколько отличное от [19,22] определение локально компактного ТП (стандартное определение [19,21], [22] достаточно для последующего): ТП $(X,\tau)$ называем далее локально компактным, если $\forall\,x \in X: \ N_\tau(x) \cap (\tau \textrm{-} \mathrm{comp})[X] \not= \emptyset$. В этой связи напомним понятие локально квазикомпактного ТП в смысле [20, стр. 151].

Предложение 4.5   Пусть $X$ - непустое множество с оснащением ${\cal X} \in {\cal B}[X]$; $(V,\tilde\tau_1)$, $V \not= \emptyset$, - локально компактное ТП; $(W,\tilde\tau_2)$ - хаусдорфово ТП; $\alpha \in V^X$; $\beta \in C(V,\tilde\tau_1,W,\tilde\tau_2)$. Тогда

$$(({\bf c}\tilde\tau_1, \tilde\tau_2) \textrm{-} \mathrm{LIM}... ...(\tilde\tau_1 \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal X} \mid \alpha]).$$

С х е м а д о к а з а т е л ь с т в а. Пусть $w \in \beta^1((\tilde\tau_1 \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal X} \mid \alpha])$, а $v \in (\tilde\tau_1 \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal X} \mid \alpha]$ обладает свойством $w = \beta(v)$. Для точки $v$ воспользуемся представлением на основе (3.2), подбирая направленность $({\bf D}, \preceq, {\bf g})$ в $X$ со свойствами

$$({\cal X} \subset (X \textrm{-} \mathrm{ass})[{\bf D}; \prec... ...preceq, \alpha \circ {\bf g}) \stackrel{\tilde\tau_1}{\to} v).$$ (4.5)

При этом ${\bf g} \in X^{\bf D}$ и $\alpha \circ {\bf g} \in V^{\bf D}$. Используя локальную компактность $(V,\tilde\tau_1)$, подберем ${\bf C} \in N_{\tilde\tau_1}(v) \cap (\tilde\tau_1 \textrm{-} \mathrm{comp})[V]$. Разумеется, в силу (4.5) имеет место ${\bf C} \in (V \textrm{-} \mathrm{ass})[{\bf D}; \preceq; \alpha \circ {\bf g}]$. Пусть ${\bf d} \in {\bf D}$ таково, что $(\alpha \circ {\bf g})(d) \in {\bf C}$ при $d \in {\bf D}$ со свойством ${\bf d}\preceq d$; определяем $D \stackrel{\triangle}{=}\{d \in {\bf D} \mid {\bf d} \preceq d\}$ с оснащением в виде направления $\prec$ этого множества $D$ (конфинального в $({\bf D}, \preceq)$), для которого $def \ \forall\, d_1 \in D$ $\forall\,d_2 \in D: \ (d_1 \prec d_2) \Longleftrightarrow (d_1 \preceq d_2)$. Полагая $\bar {\bf g} \stackrel{\triangle}{=}({\bf g} \mid D)$, имеем в виде $(D,\prec,\bar {\bf g})$ направленность в $X$, а в виде $(D,\prec,\alpha \circ \bar {\bf g})$ - направленность в ${\bf C}$, сходящуюся к $v$ в $(V,\tilde\tau_1)$. С другой стороны, из (4.5) легко следует вложение ${\cal X} \subset (X \textrm{-} \mathrm{ass})[D;\prec;\bar {\bf g}]$. Итак, $\bar {\bf g} \in {\cal M}_{\bf c}(D,X,V,\tilde\tau_1,\alpha)$ обладает свойствами

$$({\cal X} \subset (X \textrm{-} \mathrm{ass})[D;\prec;\bar {... ...rc \alpha \circ \bar {\bf g}) \stackrel{\tilde\tau_2}{\to} w).$$ (4.6)

В последнем утверждении (4.6) учтено свойство непрерывности $\beta$. Но
$(D,\prec)$ есть НМ и потому (см. (3.2), (3.4), (4.6))

$$w \in (({\bf c}\tilde\tau_1, \tilde\tau_2) \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal X} \mid \alpha; \beta \circ \alpha],$$

чем и завершается обоснование вложения

$$\beta^1((\tilde\tau_1 \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal X} \mid ... ...trm{-} \mathrm{LIM})[{\cal X} \mid \alpha; \beta \circ \alpha].$$

С учетом предложения 4.4 получаем требуемое равенство.