3. Некоторые сведения

В последующих построениях будут использоваться общие свойства ТП как на уровне исходной постановки, где эти ТП являются параметрами задачи, так и на уровне моделей, подбираемых в интересах получения требуемых представлений для регуляризированных версий решения исходной задачи. По этой причине мы не фиксируем множества, оснащаемые топологиями, что предполагает известную аккуратность в формулировках. Последняя, в свою очередь, требует введения достаточно развитой системы обозначений и основных понятий.

Далее используются кванторы и логические связки, символы: $def$ (по определению) и $\stackrel{\triangle}{=}$ (равенство по определению). Семейство всех (всех непустых) подмножеств множества $X$ обозначаем через ${\cal P}(X)$ (через $2^X$). Для множества всех отображений из множества $A$ в множество $B$ используем традиционное [24, стр. 77] обозначение $B^A$; в упомянутых условиях для $f \in B^A$ и $C \in {\cal P}(A)$ через $(f \mid C)$ (через $f^1(C)$) обозначаем сужение $f$ на $C$ (образ множества $C$ при отображении $f$); см., например, [19, стр. 26]. Через ${\Bbb R}$ обозначаем множество всех вещественных чисел, ${\cal N} \stackrel{\triangle}{=}\{1; 2;...\} \in {\cal P}({\Bbb R})$ есть натуральный ряд. Разумеется, если $H$ - множество, то $H^{\cal N}$ есть множество всех последовательностей в $H$. В качестве множеств в упомянутых определениях могут, конечно, использоваться семейства (множеств); в частности, далее будут использоваться множественнозначные отображения, т.е. отображения, значениями которых являются множества. Для пустого множества, одноэлементных множеств и неупорядоченных пар используем традиционные обозначения $\emptyset$, $\{x\}$, $\{y;z\}$; в последнем случае не исключается возможность $y = z$.

Если $X$ - множество, то через ${\cal B}[X]$ обозначаем множество всех семейств $\Xi \in 2^{{\cal P}(X)}$ таких, что $\forall\,A \in \Xi$ $\forall\,B \in \Xi$ $\exists\,C \in \Xi: \ C \subset A \cap B$; тогда ${\cal B}_0[X] \stackrel{\triangle}{=} \{{\cal X} \in {\cal B}[X]\mid \emptyset \not\in {\cal X}\}$ есть [20] множество всех базисов фильтров $X$. Наконец, в согласии с [7, стр. 37] полагаем, что, для произвольного множества $X$, ${\cal B}_{\cal N}(X)$ есть $def$ множество всех семейств $\Xi \in {\cal B}[X]$, для каждого из которых $\exists\, (H_i)_{i \in {\cal N}} \in \Xi^{\cal N}$ $\forall\,H \in \Xi$ $\exists\,k \in {\cal N}: \ H_k \subset H$; семейства из ${\cal B}_{\cal N}(X)$ интерпретируем, как элементы ${\cal B}[X]$ со счетной базой. Далее используется стандартное определение фильтра (см., например, [21, стр. 100], [22, стр. 91, 92]) в произвольном множестве. В частности, если $(D, \preceq, f)$ есть направленность [19, гл. 2] в множестве $B$, т.е. $(D, \preceq)$ есть непустое направленное множество (НМ) [22, стр. 27] и $f \in B^D$, то

$$(B\textrm{-}\mathrm{ass})[D; \preceq; \varphi] \stackrel{\triangle}{=}$$

$$\stackrel{\triangle}{=}\{H \in {\cal P}(B) \mid \exists\,d \... ...(d \preceq \sigma) \ \Longrightarrow (\varphi(\sigma) \in H)\}$$ (3.1)

есть фильтр $B$, ассоциированный [21, стр. 102] с $(D, \preceq, \varphi)$. В терминах (3.1) определяется сходимость (по Мору - Смиту) направленностей в произвольном ТП. Условимся о некоторых обозначениях топологического характера. Если $(X,\tau)$ есть ТП и $M \in {\cal P}(X)$, то: 1) $\tau \mid_M$ есть $def$ топология $M$, индуцированная [19, стр. 77] из $(X,\tau)$ (при $\theta \stackrel{\triangle}{=}\tau \mid_M$ в виде $(M,\theta)$ имеем подпространство ТП $(X,\tau)$); 2) $\mathrm{cl}(M,\tau)$ есть $def$ замыкание $M$ в $(X,\tau)$ (см. [19]-[22]); 3) ${\Bbb N}_\tau[M]$ есть $def$ семейство всех окрестностей [20, стр. 19] $M$ в $(X,\tau)$ (при $M \not= \emptyset$ семейство ${\Bbb N}_\tau[M]$ - фильтр $X$), обладающее очевидным свойством: ${\Bbb N}_\tau^0[M] \stackrel{\triangle}{=}\{G \in \tau \mid M \subset G\} = {\Bbb N}_\tau[M] \cap \tau$. Для произвольного ТП $(X,\tau)$ через ${\cal F}_\tau$ обозначаем семейство всех $\tau$-замкнутых (замкнутых в $(X,\tau)$) подмножеств $X$, а при $x \in X$ вводим фильтр $N_\tau(x) \stackrel{\triangle}{=}{\Bbb N}_\tau[\{x\}]$, порождаемый базисом $N^0_\tau(x) \stackrel{\triangle}{=}\{G \in \tau \mid x \in G\} \in {\cal B}_0[X]$ открытых окрестностей $x$. Напомним определение сходимости по Мору - Смиту: если $(X,\tau)$ есть ТП и $(D, \preceq, f)$ - направленность в $X$, то сходимость $(D, \preceq, f)$ к $x \in X$ в $(X,\tau)$ отождествляется со свойством $N_\tau(x) \subset (X \textrm{-} \mathrm{ass})[D; \preceq; f]$ (последнее эквивалентно свойству $N^0_\tau(x) \subset (X \textrm{-} \mathrm{ass})[D; \preceq; f]$); для обозначения упомянутой сходимости $(D, \preceq, f)$ к $x$ используем выражение $(D,\preceq,f) \stackrel{\tau}{\to} x$. Сходимость последовательностей в ТП рассматривается, как частный случай вышеупомянутой сходимости по Мору - Смиту. Введем в рассмотрение предельные операции, приводящие к МП.

Если $U$ - непустое множество с оснащением ${\cal U} \in {\cal B}[U]$, $(V,\tau)$ есть ТП и $f \in V^U$, то (см. [6, стр. 39, 40], [7, стр. 35]) множество $(\tau \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal U} \mid f] \in {\cal F}_\tau$, определяемое в виде пересечения всех множеств $\mathrm{cl}(f^1(M),\tau)$, $M \in {\cal U}$, есть одновременно множество всех $v \in V$, для каждого из которых можно указать такую направленность $(D, \preceq, \varphi)$ в $U$, что

$$({\cal U} \subset (U \textrm{-} \mathrm{ass})[D; \preceq; \v... ...\ \& \ ((D, \preceq, f \circ \varphi) \stackrel{\tau}{\to} v),$$ (3.2)

где (здесь и ниже) символ $\circ$ используется для обозначения суперпозиций отображений. В силу (3.2) имеем, что $(\tau \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal U} \mid f]$ (подобные пределы рассматривались, в частности, в [23]) есть МП в классе приближенных решений-направленностей; при "минимальных" дополнительных предположениях $(\tau \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal U} \mid f]$ есть "обычное" МП, допускающее исчерпывающую реализацию в классе секвенциальных приближенных решений (см. предложение 3.3.1 в [7, стр. 38]). В связи со свойством (3.2) возможен несколько иной взгляд на построение предельных множеств. Именно, за основу можно принять как раз (3.2), накладывая на приближенные решения те или иные дополнительные условия и рассматривая при этих условиях соответствующее множество обобщенных пределов. В качестве одного из таких условий уместно по ряду причин (см. [7, гл. 3, 4]) использовать требование "компактифицируемости" приближенных решений при погружении в подходящее ТП.

Если $({\bf T},\tau)$ есть ТП, то через $(\tau \textrm{-} \mathrm{comp})[{\bf T}]$ обозначаем семейство всех компактных [22, стр. 196] в $({\bf T},\tau)$ подмножеств ${\bf T}$. В связи с общими свойствами компактных множеств, определяемых в терминах подпространств исходного ТП, см. [19]-[23]. Если $D$ и $X$ - непустые множества, $({\bf T},\theta)$ - ТП и ${\bf m} \in {\bf T}^X$, то

$${\cal M}_{\bf c}(D,X,{\bf T},\theta,{\bf m}) \stackrel{\triangle}{=}$$

$$\stackrel{\triangle}{=}\{\varphi \in X^D \mid \exists\,K \in... ...mp})[{\bf T}]: \quad ({\bf m} \circ \varphi)^1(D) \subset K\}.$$ (3.3)

В (3.3) используются "компактифицируемые" посредством триплета
$({\bf T},\theta,{\bf m})$ операторы из $D$ в $X$; этот триплет можно связать с соответствующей обобщенной задачей, т.е. с конструкцией расширения. Если $U$ - непустое множество с оснащением ${\cal U} \in {\cal B}[U]$, $(V,\tau)$ и $({\bf T},\theta)$ - два ТП, $f \in V^U$ и ${\bf m} \in {\bf T}^U$, то через

$$(({\bf c}\theta,\tau) \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal U} \mid {\bf m}; f]$$ (3.4)

обозначаем множество всех $v \in V$, для каждого из которых существуют НМ $(D, \preceq)$, $D \not= \emptyset$, и оператор $\varphi \in {\cal M}_{\bf c}(D,U,{\bf T},\theta,{\bf m})$ такие, что для направленности $(D, \preceq, \varphi)$ имеет место (3.2). Таким образом, в условиях, определяющих (3.2), и при дополнительных соглашениях относительно $({\bf T},\theta,{\bf m})$, соответствующих (3.3), мы ввели в рассмотрение МП (3.4), составленное из тех и только тех $v \in V$, которые реализуются (в пределе) посредством (3.2) на некотором компактифицируемом в смысле (3.3) приближенном решении (направленности). Из этих соображений непосредственно следует, что в условиях, определяющих (3.4), вложение

$$(({\bf c}\theta,\tau) \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal U} \mid ... ... m}; f] \subset (\tau \textrm{-} \mathrm{LIM})[{\cal U} \mid f]$$

характеризует естественный эффект "стабилизатора" типа (3.3), подобный обсуждаемым в [7, стр. 84, 113] и связываемый в [7] с понятием "аттрактора ограниченной сходимости". Для вышеупомянутых конкретных версий МП [7] существенно, на самом деле, лишь использование "компактифицируемых" отображений - элементов (3.3).

В дальнейшем часто используется следующая конкретизация семейств из ${\cal B}[U]$, где $U$ - множество. Если $U$ и $V$ - множества, $t \in V^U$ и ${\cal V} \in {\cal P}({\cal P}(V))$, то полагаем $t^{-1}[{\cal V}] \stackrel{\triangle}{=}\{t^{-1}(H): \ H \in {\cal V}\}$; если же ${\cal V} \in {\cal B}[V]$, то $t^{-1}[{\cal V}] \in {\cal B}[U]$. В частности (см. раздел 2), если $U$ - непустое множество, $(V,\tau)$ есть ТП, $t \in V^U$ и $M \in {\cal P}(V)$, то всегда $t^{-1}[{\Bbb N}_\tau[M]] \in {\cal B}[U]$; вместо ${\Bbb N}_\tau[M]$ может использоваться то или иное семейство ${\cal G}$ "характерных" окрестностей (например, в случае метризуемого ТП $(V,\tau)$ обычно используются $\varepsilon$-окрестности $M$, $\varepsilon > 0$). Следуя в идейном отношении [25], рассмотрим одну такую возможность. Если $(X,\tau)$, $X \not= \emptyset$, - ТП, $Q$ - непустое множество и $M \in {\cal P}(X)$, то полагаем, что ${\cal O}_M(Q,\tau)$ есть $def$ множество всех $\Lambda \in {\cal P}(X)^{X \times Q}$ (т.е. множество всех операторов, сопоставляющих каждой паре $(\tilde x, \tilde q)$, где $\tilde x \in X$ и $\tilde q \in Q$, подмножество $X$) таких, что $\forall\, x \in M$ $\forall\,q \in Q: \ \Lambda (x,q) \in N_\tau(x)$; разумеется, при $\Lambda _* \in {\cal O}_M(Q,\tau)$ и $q^* \in Q$ имеем в виде объединения всех множеств $\Lambda _*({\bf m}, q^*)$, ${\bf m} \in M$, элемент семейства ${\Bbb N}_\tau[M]$ (всех $\tau$-окрестностей $M$). Если $(X,\tau)$, $Q$ и $M$ удовлетворяют условиям предыдущего определения, $\Lambda \in {\cal O}_X(Q,\tau)$ и при всяком выборе $x \in X \backslash M$ существует $q \in Q$, для которого $\Lambda (x,q)$ и объединение всех множеств $\Lambda ({\bf m},q)$, ${\bf m} \in M$, не пересекаются, то $M \in {\cal F}_\tau$; элементы ${\cal O}_X(Q,\tau)$ называем далее окрестностнозначными отображениями. Уместно рассмотреть, в связи с используемой конструкцией МП, несколько более узкий класс окрестностнозначных отображений вышеупомянутого типа, привлекая идею равномерных "уточнений" соответствующих окрестностей. Если $(X,\tau)$, $X \not= \emptyset$, - ТП, $Q$ - непустое множество и $M \in {\cal P}(X)$, то через $(\mathrm{UNIF})[Q; \tau \mid M]$ обозначаем множество всех $\Lambda \in {\cal O}_X(Q,\tau)$ таких, что

$$\forall\,q_1 \in Q \ \forall\,q_2 \in Q \ \exists\,q_3 \in Q \ \forall\,{\bf m} \in M: \ \Lambda ({\bf m},q_3) \subset$$

$$\subset \Lambda ({\bf m},q_1) \bigcap \Lambda ({\bf m},q_2);$$ (3.5)

если $\tilde\Lambda \in (\mathrm{UNIF})[Q; \tau \mid M]$, то справедливо свойство

$${\cal U}(Q, \tau, M \mid \tilde\Lambda ) \stackrel{\triangle... ...\mu \in M} \tilde\Lambda (\mu,q): \ q \in Q\} \in {\cal B}[X].$$ (3.6)

Семейства (3.6) будут использоваться в ряде случаев вместо ${\Bbb N}_\tau[M]$ с последующим построением (всякий раз) прообраза соответствующего семейства; свойство (3.5), используемое при этом для равномерного в пределах $M$ "уточнения" окрестности естественно для многих конкретных постановок.

Всюду в дальнейшем используем традиционное обозначение: если
$(U,\tau_1)$, $U \not= \emptyset$, и $(V, \tau_2)$, $V \not= \emptyset$, - суть ТП, то $C(U,\tau_1, V,\tau_2)$ есть $def$ множество всех непрерывных, в смысле $(U,\tau_1)$ и $(V, \tau_2)$, отображений из множества $V^U$.

Предложение 3.1   [25]. Пусть $X$ и $Q$ - непустые множества; $(U,\tau_1)$ и $(V, \tau_2)$ - два ТП; $M \in {\cal P}(U)$; $\Lambda \in (\mathrm{UNIF})[Q; \tau_1 \mid M]$; $\alpha \in U^X$; $\beta \in V^X$. Кроме того, пусть

$$(\exists\,{\bf g} \in C(V,\tau_2,U,\tau_1): \ \alpha = {\bf g} \circ \beta) \ \&$$

$$\& \ (\forall\,u \in U \backslash M \ \exists\,q \in Q: \qua... ...ap (\bigcup\limits_{\nu \in M} \Lambda (\nu,q)) = \emptyset ).$$ (3.7)

Тогда $(\tau_2 \textrm{-} \mathrm{LIM})[\alpha^{-1}[{\Bbb N}_{\tau_1}[M]] \mid \beta] ... ...{-} \mathrm{LIM})[\alpha^{-1}[{\cal U}(Q,{\tau_1},M\mid \Lambda )] \mid \beta].$

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя (3.7), подберем ${\bf g} \in C(V, \tau_2,U,\tau_1)$ со свойством $\alpha = {\bf g} \circ \beta$. Пусть $\mu \in (\tau_2 \textrm{-} \mathrm{LIM})[\alpha^{-1}[{\cal U}(Q,{\tau_1},M\mid \Lambda )] \mid \beta]$. Используя (3.2), подберем для данной точки $\mu \in V$ такую направленность $(D,\preceq,\rho)$ в $X$, что

$$(\alpha^{-1}[{\cal U}(Q,{\tau_1},M\mid \Lambda )] \subset$$

$$\subset (X \textrm{-} \mathrm{ass})[D;\preceq;\rho]) \ \& \ ((D,\preceq,\beta \circ \rho) \stackrel{\tau_2}{\to} \mu).$$ (3.8)

Допустим, что ${\bf g}(\mu) \in U \backslash M$. Тогда, используя второе свойство в (3.7), подберем $q_* \in Q$ так, что $\Lambda ({\bf g}(\mu),q_*)$ и объединение $\Lambda _*$ всех множеств $\Lambda ({\bf m},q_*)$, ${\bf m} \in M$, не пересекаются; $\Lambda _* \in {\cal U}(Q,\tau_1, M\mid \Lambda )$ и $\alpha^{-1}(\Lambda _*) \in (X \textrm{-} \mathrm{ass})[D; \preceq; \rho]$ в силу первого утверждения (3.8). Вместе с тем $\Lambda ({\bf g}(\mu),q_*) \in N_{\tau_1}({\bf g}(\mu))$ и, по выбору непрерывного оператора ${\bf g}$, имеем (см. второе свойство в (3.8)), что $\Lambda ({\bf g}(\mu),q_*) \in (U \textrm{-} \mathrm{ass})[D;\preceq;\alpha \circ \rho]$. Тогда из аксиом фильтра имеем $\alpha^{-1}(\Lambda _* \cap \Lambda ({\bf g}(\mu),q_*)) = \alpha^{-1}(\Lambda _... ...-1}(\Lambda ({\bf g}(\mu),q_*)) \in (X \textrm{-} \mathrm{ass})[D;\preceq;\rho]$, что невозможно, ибо $\Lambda _* \cap \Lambda ({\bf g}(\mu), q_*) = \emptyset$. Противоречие означает, что ${\bf g}(\mu) \in M$ и, следовательно, ${\Bbb N}_{\tau_1}[M] \subset N_{\tau_1}({\bf g}(\mu))$. Это обстоятельство доставляет свойство $\alpha^{-1}[{\Bbb N}_{\tau_1}[M]] \subset (X \textrm{-} \mathrm{ass})[D;\preceq;\rho]$. В самом деле, если $P \in {\Bbb N}_{\tau_1}[M]$, то в силу (3.8), непрерывности ${\bf g}$ и свойства $P \in N_{\tau_1}({\bf g}(\mu))$ имеет место $P \in (U \textrm{-} \mathrm{ass})[D;\preceq;\alpha \circ \rho]$ (учтено представление $\alpha$ в терминах ${\bf g}$) и, как следствие $\alpha^{-1}(P) \in (X \textrm{-} \mathrm{ass})[D;\preceq;\rho]$, что и доказывает (в силу произвольности выбора $P$) требуемое вложение. Комбинируя последнее, а также (3.2) и (3.8), получаем, что $\mu \in (\tau_2 \textrm{-} \mathrm{LIM})[\alpha^{-1}[{\Bbb N}_{\tau_1}[M]] \mid \beta]$, чем фактически и завершается доказательство.

Предложение 3.2   Пусть кортеж $(X,Q,U,\tau_1,V,\tau_2,M,\Lambda ,\alpha,\beta)$
удовлетворяет всем условиям предложения 3.1, включая свойство (3.7). Пусть, кроме того, $({\bf T},\theta)$ есть ТП и ${\bf m} \in {\bf T}^X$. Тогда

$$(({\bf c}\theta,\tau_2) \textrm{-} \mathrm{LIM})[\alpha^{-1}[{\Bbb N}_{\tau_1}[M]] \mid {\bf m};\beta] =$$

$$=(({\bf c}\theta,\tau_2) \textrm{-} \mathrm{LIM})[\alpha^{-1}[{\cal U}(Q,\tau_1, M \mid \Lambda )] \mid {\bf m};\beta].$$

Доказательство аналогично предыдущему.

З а м е ч а н и е 3.1. Отметим совсем простой пример, мотивирующий специальное исследование конструкций, ориентированных на установление факта совпадения МП при использовании различных семейств окрестностей множества $M$ (см. формулировки предложений 3.1, 3.2). Пусть $(U,\tau_1)$ есть плоскость ${\Bbb R}^2$ в естественной топологии покоординатной сходимости, а $M$ есть (замкнутое) множество всех векторов $x = (x_i)_{i \in \overline {1,2}} \in {\Bbb R}^2$ таких, что $(x_1 \le 0) \vee (x_2 \le 0)$. Сравним семейство ${\cal G}_1 \stackrel{\triangle}{=} {\Bbb N}_{\tau_1}[M]$ всех окрестностей $M$ и семейство ${\cal G}_2$ всех открытых евклидовых $\varepsilon$-окрестностей $M$ ( $\varepsilon \in ]0,\infty[$). Легко видеть, что $U \backslash M = {\Bbb R}^2 \backslash M$ есть множество всех $x \in {\Bbb R}^2$ со строго положительными компонентами. Рассмотрим множество $H_1$ всех $(x_i)_{i \in \overline {1,2}} \in U \backslash M$ таких, что $x_2 < (x_1)^{-1}$. Тогда $G_1 \stackrel{\triangle}{=}M \cup H_1 \in {\cal G}_1$ обладает свойством: при всяком $G_2 \in {\cal G}_2$ имеет место $G_2 \backslash G_1 \not= \emptyset$. Итак, семейство ${\cal G}_2$ не образует фундаментальной системы окрестностей $M$. В то же время ${\cal G}_2$ можно истолковать в виде (3.6) при надлежащем выборе параметров. Действительно, достаточно полагать в (3.5), (3.6): $(X,\tau) = (U,\tau_1)$, т.е. $X = {\Bbb R}^2$ в топологии покоординатной сходимости; $Q = ]0,\infty[$. Кроме того, при $x \in X$ и $q \in Q$ предполагаем теперь, что $\tilde\Lambda (x,q)$ есть открытый круг (эвклидов шар в ${\Bbb R}^2$) с центром $x$ и радиусом $q$. При этих условиях реализуется отображение $\tilde\Lambda \in (\mathrm{UNIF})[Q; \tau \mid M]$ и ${\cal G}_2 = {\cal U}(Q,\tau,M \mid \tilde\Lambda )$. Теперь имеет смысл вернуться к предложению 3.1, что, в свою очередь, связано с проверкой (3.7); нетривиальность самого утверждения данного предложения мотивируется теперь "неэквивалентностью" ${\cal G}_1$ и ${\cal G}_2$. В связи с (3.7) отметим, что вторая часть условия (3.7), т.е. свойство отделимости "с окрестностью" заданного типа, очевидным образом следует при $\Lambda = \tilde\Lambda$ из факта замкнутости $M$. Проверки, стало быть, требует лишь первая часть (3.7), т.е. представимость $\alpha$ в виде "непрерывной суперпозиции". Представляется, что поиск представлений такого типа является, по сути дела, одной из основных задач теории расширений.

Возвращаясь к анализу общих конструкций расширения пространств, отметим

Предложение 3.3   Пусть $X$ - непустое множество, $(U,\tau_1)$, $U \not= \emptyset$, и $(V, \tau_2)$, $V \not= \emptyset$, - два ТП, $p \in V^X$, $q \in C(V,\tau_2,U,\tau_1)$ и $M \in {\cal P}(U)$. Пусть, кроме того, $V = \mathrm{cl}(p^1(X),\tau_2)$. Тогда

$$q^{-1}(M) \subset (\tau_2 \textrm{-} \mathrm{LIM})[(q \circ p)^{-1}[{\Bbb N}_{\tau_1}[M]] \mid p].$$ (3.9)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть $v_0 \in q^{-1}(M)$, т.е. $v_0 \in V$ обладает свойством $q(v_0) \in M$. Выберем произвольно $H^* \in (q \circ p)^{-1}[{\Bbb N}_{\tau_1}[M]]$, после чего подберем $H_* \in {\Bbb N}_{\tau_1}[M]$ так, что при этом $H^* = (q \circ p)^{-1}(H_*)$. Пусть $G_* \in {\Bbb N}_{\tau_1}^0[M]$ таково, что $G_* \subset H_*$. Тогда $G_* \in N_{\tau_1}^0(q(v_0))$ и, в силу непрерывности оператора $q$, имеет место $q^{-1}(G_*) \in N^0_{\tau_2}(v_0)$. Если $G \in N_{\tau_2}^0(v_0)$, то $G \cap q^{-1}(G_*) \in N^0_{\tau_2}(v_0)$ и, в силу свойства $v_0 \in \mathrm{cl}(p^1(X),\tau_2)$, имеет место

$$G \bigcap q^{-1}(G_*) \bigcap p^{1}(X) \not= \emptyset .$$ (3.10)

Поскольку выбор $G$ был произвольным, имеем из (3.10) свойство $v_0 \in \mathrm{cl}(q^{-1}(G_*) \cap p^1(X), \tau_2)$. Пусть теперь $v_* \in q^{-1}(G_*) \cap p^1(X)$, а $x_* \in X$ обладает свойством $v_* = p(x_*)$, что означает, в частности, $x_* \in p^{-1}(q^{-1}(G_*))$ или $x_* \in (q \circ p)^{-1}(G_*)$. Мы установили, что $v_* \in p^1((q \circ p)^{-1}(G_*))$. Поскольку выбор $v_*$ был произвольным, имеем вложение $q^{-1}(G_*) \cap p^1(X) \subset p^1((q \circ p)^{-1}(G_*))$, которое наследуется замыканиями в $(V, \tau_2)$. По ранее установленному свойству $v_0$ получаем, что $v_0 \in \mathrm{cl}(p^1((q \circ p)^{-1}(G_*)),\tau_2)$ и уж тем более $v_0 \in \mathrm{cl}(p^1(H^*),\tau_2)$. Но и выбор $H^*$ был произвольным, а тогда $v_0 \in (\tau_2 \textrm{-} \mathrm{LIM})[(q \circ p)^{-1}[{\Bbb N}_{\tau_1}[M]] \mid p]$, чем и завершается доказатель-
ство (3.9).

Следствие 3.1   Пусть $X$, $(U,\tau_1)$, $(V, \tau_2)$, $p$, $q$ и $M$ удовлетворяют всем условиям предложения $3.3$, включая плотность $p^1(X)$ в ТП $(V, \tau_2)$. Пусть, кроме того,

$$\forall\,u \in U \backslash M \quad \exists\,H_1 \in N_{\tau... ...,H_2 \in {\Bbb N}_{\tau_1}[M]: \ H_1 \bigcap H_2 = \emptyset .$$ (3.11)

Тогда $(\tau_2 \textrm{-} \mathrm{LIM})[(q \circ p)^{-1}[{\Bbb N}_{\tau_1}[M]] \mid p] = q^{-1}(M).$

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для $\tilde H \in {\cal P}(U)$ имеем $p^1(p^{-1}(q^{-1}(\tilde H))) \subset q^{-1}(\tilde H)$, а потому

$$\Omega \stackrel{\triangle}{=}(\tau_2 \textrm{-} \mathrm{LIM})[(q \circ p)^{-1}[{\Bbb N}_{\tau_1}[M]] \mid p] =$$

$$= \bigcap_{H \in {\Bbb N}_{\tau_1}[M]} \mathrm{cl}(p^1((q \ci... ...{\tau_1}[M]} \mathrm{cl}(p^1(p^{-1}(q^{-1}(H))),\tau_2) \subset$$

$$\subset \bigcap_{H \in {\Bbb N}_{\tau_1}[M]} \mathrm{cl}(q^{... ...ap_{H \in {\Bbb N}_{\tau_1}[M]} q^{-1}(\mathrm{cl}(H,\tau_1)).$$ (3.12)

Мы использовали в (3.12) известное свойство непрерывных отображений [19, стр. 122]. Пусть $v \in V \backslash q^{-1}(M)$. Тогда $q(v) \in U \backslash M$ и, согласно (3.11), для некоторых $H_1 \in N_{\tau_1}(q(v))$ и $H_2 \in {\Bbb N}_{\tau_1}[M]$ имеет место $H_1 \cap H_2 = \emptyset$. Фиксируем упомянутые множества $H_1$ и $H_2$. Ясно, что $q(v) \not\in \mathrm{cl}(H_2,\tau_1)$ и $v \not\in q^{-1}(\mathrm{cl}(H_2,\tau_1))$. Но в силу (3.12) $\Omega \subset q^{-1}(\mathrm{cl}(H_2,\tau_1))$. Следовательно, $v \in V \backslash \Omega$. Вложение $V \backslash q^{-1}(M) \subset V \backslash \Omega$ установлено. Тогда $\Omega \subset q^{-1}(M)$, что и завершает, в силу предложения 3.3, доказательство следствия.

Отметим, что условие (3.11) охватывает типичный для конструкций расширения задач управления случай, когда $M$ есть замкнутое множество в регулярном [19, стр. 154] ТП.

Полезно отметить утверждение, получаемое соединением предложения 3.1 и следствия 3.1.

Предложение 3.4   Пусть $X$, $(U,\tau_1)$, $(V, \tau_2)$, $p$, $q$ и $M$ удовлетворяют всем условиям предложения 3.3, включая свойство $V = \mathrm{cl}(p^1(X),\tau_2)$. Кроме того, пусть $Q$ - непустое множество и $\Lambda \in (\mathrm{UNIF})[Q; \tau_1 \mid M]$, причем

$$\forall\,u \in U \backslash M \quad \exists\,\tilde q \in Q:... ...bigcup_{\mu \in M} \Lambda (\mu,\tilde q)\right) = \emptyset .$$ (3.13)

Тогда справедливы следующие равенства

$$(\tau_2 \textrm{-} \mathrm{LIM})[(q \circ p)^{-1}[{\Bbb N}_{\tau_1}[M]] \mid p] =$$

$$=(\tau_2 \textrm{-} \mathrm{LIM})[(q \circ p)^{-1}[{\cal U}(Q,\tau_1,M \mid \Lambda )] \mid p] = q^{-1}(M).$$ (3.14)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из предложения 3.3 имеем вложение (3.9). Далее, поскольку $\Lambda$ - окрестностнозначное отображение, то при $u \in U$ и $q \in Q$ имеет место $\Lambda (u,q) \in N_\tau(u)$. Кроме того, в силу (3.6) имеем свойство ${\cal U}(Q,\tau_1,M \mid \Lambda ) \subset {\Bbb N}_{\tau_1}[M]$ (мы учли здесь очевидное вложение ${\cal O}_X(Q,\tau_1) \subset {\cal O}_M(Q,\tau_1)$). В силу (3.6), (3.13) и двух последних замечаний об окрестностях точек и множеств в ТП $(U,\tau_1)$ мы получаем, что в рассматриваемом случае справедливо (3.11). Поэтому выполнено утверждение следствия 3.1, т.е.

$$(\tau_2 \textrm{-} \mathrm{LIM})[(q \circ p)^{-1}[{\Bbb N}_{\tau_1}[M]] \mid p] = q^{-1}(M).$$ (3.15)

Рассмотрим теперь конкретизацию предложения 3.1 при условии, что $\alpha = q \circ p$ и $\beta = p$. Поскольку $q \in C(V,\tau_2,U,\tau_1)$, то (см.(3.13)) имеем (3.7) и согласно предложению 3.1 получаем из (3.15) цепочку равенств (3.14).

Предложение 3.4 определяет общие условия весьма универсальной реализации МП в виде решения стандартной задачи, или, короче, условия "универсальной" стандартной реализации этих МП (см. в этой связи замечание 3.1). Данные МП (см. предложения 3.1, 3.4 и следствие предложения 3.3) объективно играют роль регуляризаций МДЭ исходной задачи. Равенство (3.14) определяет структуру этой регуляризации (напомним, что множество $M$ в условиях предложения 3.4 с необходимостью замкнуто в $(U,\tau_1)$).

З а м е ч а н и е 3.2. Вернемся к предложению 3.3. Пусть $X$, $(U,\tau_1)$, $(V, \tau_2)$, $p$, $q$ и $M$ удовлетворяют всем условиям предложения 3.3, включая плотность $p^1(X)$ в $(V, \tau_2)$. Согласно (3.9) любой элемент $q^{-1}(M)$ допускает асимптотическую реализацию посредством некоторого приближенного решения со свойствами, подобными (3.2). Имеет смысл отметить одну простую возможность, фиксируя $v \in q^{-1}(M)$. Прежде всего $v \in \mathrm{cl}(p^1(X), \tau_2)$, а потому существует направленность $(D, \preceq, f)$ в $X$, для которой $(D, \preceq, p \circ f) \stackrel{\tau_2}{\to} v$; назовем каждую направленность такого типа $v$-аппроксимирующей (мы учли здесь известную теорему Биркгофа [22, стр. 89]; см. также комментарий в [22, стр. 96]). Оказывается, для асимптотической реализации $v$ в смысле, подобном (3.2), можно использовать любую $v$-аппроксимирующую направленность. Действительно, пусть $(D, \preceq, f)$ есть направленность в $X$ с вышеупомянутым свойством сходимости $(D, \preceq, p \circ f)$ к $v$ в ТП $(V, \tau_2)$ (мы знаем уже, что такая направленность существует). Покажем, что

$$(q \circ p)^{-1} [{\Bbb N}_{\tau_1}[M]] \subset (X \textrm{-} \mathrm{ass})[D; \preceq; f].$$ (3.16)

Пусть $A \in (q \circ p)^{-1} [{\Bbb N}_{\tau_1}[M]]$, а $B \in {\Bbb N}_{\tau_1}[M]$ обладает свойством $A = (q \circ p)^{-1} (B)$. Поскольку $q(v) \in M$, то $B \in N_{\tau_1}(q(v))$. С другой стороны, из непрерывности $q$ следует по выбору $(D, \preceq, f)$ сходимость

$$(D, \preceq, q \circ p \circ f) \stackrel{\tau_1}{\to} q(v).$$

Эта сходимость означает, что $B \in (U \textrm{-} \mathrm{ass})[D; \preceq; q \circ p \circ f]$ и, стало быть, $(q \circ p)(f(d)) \in B$ с некоторого момента. Но в этом случае, $f(d) \in A$ с некоторого момента, т.е. $A \in (X \textrm{-} \mathrm{ass})[D; \preceq; f]$, чем и завершается обоснование (3.16). Следовательно, $(D, \preceq, f)$ есть направленность в $X$, для которой

$$((q \circ p)^{-1} [{\Bbb N}_{\tau_1}[M]] \subset (X \textrm{... ...f]) \ \& \ ((D, \preceq, p \circ f) \stackrel{\tau_2}{\to} v).$$ (3.17)

Итак, $(D, \preceq, f)$ реализует согласно (3.17) (т.е. в виде, аналогичном (3.2)) точку $v$, рассматриваемую, как элемент $(\tau_2 \textrm{-} \mathrm{LIM})[(q \circ p)^{-1}[{\Bbb N}_{\tau_1}[M]] \mid p]$. Заметим, кстати, что таким образом можно реализовать "в пределе" все точки последнего множества, если выполнено условие (3.11), т.е. в условиях следствия 3.1. Итак, если все условия последнего выполняются, то для построения достаточного "комплекса" приближенных решений можно ограничиться аппроксимативными конструкциями в ТП $(V, \tau_2)$ для точек из $q^{-1}(M)$, "забывая" об окрестностях $M$ в $(U,\tau_1)$ и о проблеме соблюдения ограничений, порождаемых этими окрестностями.