2. Задача об асимптотической достижимости в топологическом пространстве

Рассмотрим на содержательном уровне одну абстрактную модель задачи о построении ОД (термин заимствован в теории управления: см.[1]-[3] и др.), фиксируя непустые множества ${\bf F}$, ${\bf X}$ и ${\bf H}$, а также операторы $s$ и $h$, действующие из ${\bf F}$ (пространство решений) в ${\bf X}$ и ${\bf H}$ соответственно; фиксируем, кроме того, множество ${\bf Y}$, ${\bf Y} \subset {\bf X}$. Рассмотрим условие $s(f) \in {\bf Y}$ на выбор $f \in {\bf F}$; тогда $s^{-1}({\bf Y})$ (прообраз ${\bf Y}$) есть МДЭ для данного условия, а $h^1(s^{-1}({\bf Y}))$ - образ упомянутого МДЭ при действии $h$ - аналог ОД [1]-[3], именуемый далее достижимым множеством (ДМ). Данную задачу определения ДМ при ${\bf Y}$-ограничении на выбор решения $f \in {\bf F}$ называем стандартной; в ней ${\bf F}$, ${\bf X}$, ${\bf H}$, $s$, $h$ и ${\bf Y}$ играют роль параметров, при которых определяется обычное МДЭ и его образ при действии соответствующего (целевого) оператора вход-выход рассматриваемой "системы". Обращаясь к постановкам [4, гл. III, IV], можно в качестве примера отметить задачу о построении ОД при фазовых ограничениях на траектории управляемого процесса и геометрических ограничениях на выбор самих управлений. В упомянутых постановках [4] типичным является эффект неустойчивости при ослаблении соответствующего варианта ${\bf Y}$-ограничения (при ослаблении фазовых ограничений), которая, однако, является до некоторой степени "полезной", поскольку ей отвечает (скачкообразное) расширение ОД, т.е. фактическое расширение наших возможностей. Строгое оформление последнего тезиса связано с топологическим оснащением про-
странств ${\bf X}$ и ${\bf H}$.

Пусть $\tau^{(1)}$ и $\tau^{(2)}$ - суть топологии ${\bf X}$ и ${\bf H}$ соответственно. Введение $\tau^{(2)}$ представляется "бесспорным": $\tau^{(2)}$ есть инструмент построения асимптотического аналога ДМ. Конкретный выбор $\tau^{(2)}$ следует, конечно, согласовать с параметрами исследуемой задачи; очень часто в задачах управления $({\bf H},\tau^{(2)})$ есть метризуемое ТП. Конкретный вариант $\tau^{(1)}$, напротив, зачастую не определяется однозначно параметрами задачи. Более того, сама целесообразность рассмотрения ${\bf X}$ как ТП не вполне очевидна. На самом деле, по существу, здесь речь идет о некоторых правилах замены ${\bf Y}$ надмножествами; относительно последних обычно допускается возможность представления ${\bf Y}$ в виде их "предела". Эту конструкцию можно легко реализовать, заменяя ${\bf Y}$ окрестностями в той или иной топологии ${\bf X}$. В этом качестве и предполагается использовать $\tau^{(1)}$. Для каждой окрестности $G$ множества ${\bf Y}$ в $({\bf X},\tau^{(1)})$ мы конструируем $h^1(s^{-1}(G))$, после чего определяем в $({\bf H},\tau^{(2)})$ естественный предел семейства $\{h^1(s^{-1}(G)): \ G \in {\cal G}\}$, где ${\cal G}$ - некоторое семейство допустимых окрестностей ${\bf Y}$ в $({\bf X},\tau^{(1)})$. Этот предел имеет смысл МП и зависит, вообще говоря, от $\tau^{(2)}$, ${\cal G}$. Мы будем, однако, стремиться к построению весьма универсальных представлений для МП такого типа. (По сути дела, речь пойдет в ряде случаев о "границах" такой универсальности для естественных, в теории расширения пространств, представлений на основе моделей, использующих вспомогательные ТП и их непрерывные преобразования). Итак, поиск достаточно универсальных МП, играющих роль регуляризаций ДМ, составляет основную цель работы. Принцип построения расширений будет базироваться всякий раз на идее введения вспомогательного ТП $({\bf K}, \tau^{(3)})$, ${\bf K} \not= \emptyset$, и трех отображений: отображения $m$ из ${\bf F}$ в ${\bf K}$, именуемого погружением, а также непрерывных операторов $g$ и $\omega$, действующих из $({\bf K}, \tau^{(3)})$ в $({\bf X},\tau^{(1)})$ и $({\bf H},\tau^{(2)})$ соответственно. Если при этом топология $\tau^{(1)}$ допускает варьирование, то требуется также сохранение отображением $g$ непрерывности в пределах допустимых изменений $\tau^{(1)}$. Кроме того, мы требуем, чтобы обеспечивались равенства $s = g \circ m$ и $h = \omega \circ m$. Тогда при некоторых условиях, выяснение которых будет предметом исследования, искомое МП совпадает с $\omega^1(g^{-1}({\bf Y}))$, т.е. регуляризация задачи определения ДМ сводится здесь к построению стандартной задачи о достижимости. Ее параметры, однако, отличны, вообще говоря, от аналогичных параметров исходной (стандартной) задачи.