4. О наилучшей траектории

Укажем необходимые условия на кривую $\Gamma,$ реализующую точную нижнюю грань (3) функционала

$$\Phi(\Gamma)=J_{\Delta}'(0,F,\Gamma)$$ (6)

на классе $\gamma$ кривых $\Gamma\subset Q,$ задаваемых посредством непрерывно дифференцируемых вектор-функций

$$x=\{ x_i(s):\ 0\le s\le 1\}_{i=1}^n,\quad x(0)=x^0,\quad x(1)=x^1\quad (x^0,x^1\in Q).$$ (7)

Далее понадобятся следующие факты.

Теорема 1 (В.Ф.Демьянов см.[3])   Пусть $U\subset {\Bbb R}$ - открытое множество, $V$ - компакт, вещественная функция $\psi(u,v)$ имеет правую производную $\psi_u'(u,v)$ по $u,$ которая непрерывна по $v$ при $(u,v)\in U\times V,$ тогда функция

$$\Psi(u)=\max\{\psi(u,v):\ v\in V\}\quad (u\in U)$$

имеет правую производную $\Psi'$ на $U$ и

$$\Psi'(u)=\max \{ \psi_u'(u,v):\ v\in V(u)\},$$

где $V(u)= \{ v\in V:\ \psi(u,v)=\Psi(u)\}.$

Пусть $X$ - нормированное пространство, $z\in X.$ Линейный функционал $f=f_z\in X^*$ называется опорным в точке $z,$ если

$$\Vert f\Vert=\Vert z\Vert,\quad f(z)=\Vert z\Vert^2.$$

Теорема 2 (см., напр., [4])   Если норма $\Vert\cdot\Vert$ пространства $X$ дифференцируема по Гато в точке $z,$ то опорный функционал $f_z$ определяется однозначно и

$$\lim_{\alpha\to 0} \frac{\Vert z+\alpha y\Vert-\Vert z\Vert}{\alpha}=f_z(y)\quad (y\in X).$$ (8)

Следующие утверждения эквивалентны:

- норма $\Vert\cdot\Vert$ дифференцируема по Гато в точке $z\in X;$

- отображение $z\mapsto f_z$ сильно-слабо непрерывно в точке $z.$

Обозначим

$${\cal T}(\Gamma)=\arg(5)$$

- множество точек $T\in \Gamma,$ на которых достигается верхняя грань (5), $s_T$ - значение параметра $s,\ 0\le s_T\le 1,$ для которого $T=x(s_T)\ (T\in \Gamma),$

$${\cal D}(s)=\left\Vert \sum\limits_{i=1}^n F_i'(y) x_i'(s) \right\Vert _{\Delta_T}\cdot \vert x'(s)\vert^{-1},$$

$$z=z_T(y)=\left[ \sum\limits_{i=1}^n F_i'(y) x_i'(s_T)\right... ...mits_{i=1}^n F_i'(y) x_i'(s_T) \right\Vert _{\Delta_T}^{-1},$$ (9)

$f_z=f_{z_T}$ - опорный функционал для нормы $\Vert\cdot\Vert _{\Delta_T}$ в точке $z,$

$$r_i(s_T)=x_i'(s_T)-\vert x'(s_T)\vert^2 f_z(F_i').$$

Теорема 3   Пусть норма $\Vert\cdot\Vert _{\Delta_T}$ дифференцируема по Гато, кривая $\Gamma\in \gamma$ принадлежит внутренности области $Q$ и, кроме того, ${\cal D}(s_T)\not\equiv \mbox{const}$ на $[0,1].$ Если $\Gamma$ доставляет нижнюю грань $(\ref{b3}),$ то существует точка $T\in {\cal T}(\Gamma)$ такая, что

$$x_i'(s_T)=f_z(F_i')\vert x'(s_T)\vert^2\quad (i=1,\ldots,n).$$ (10)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимым условием минимума функционала (6) является справедливость неравенства

$$\Phi'(\Gamma,\widetilde \Gamma)=\lim_{\alpha\to +0} \frac{... ...(\Gamma+\alpha \widetilde \Gamma)-\Phi(\Gamma)}{\alpha} \ge 0$$ (11)

для любой гладкой кривой $\widetilde \Gamma$

$$\widetilde \Gamma=\{ \widetilde x(s)=(\widetilde x_1(s),\ld... ...s)):\ 0\le s\le 1\},\quad \widetilde x(0)=\widetilde x(1)=0.$$ (12)

В соответствии с теоремой 1

$$\Phi'(\Gamma,\widetilde \Gamma)=\sup_{T\in {\cal T}(\Gamma)... ...lde x_i')\right\Vert _{\Delta_T}} \right\vert _{\alpha=+0}=$$

$$=\sup_{T\in {\cal T}(\Gamma)} \frac{1}{\left\Vert \sum\lim... ...m\limits_{i=1}^n x_i' \widetilde x_i'}{\vert x'\vert}-\right.$$

$$\left.\left. -\vert x'\vert \frac{d}{d\alpha} \frac{{\left... ...i'\right\Vert _{\Delta_T}} \right\vert _{\alpha=+0} \right],$$

где $x_i'=x_i'(s_T),\ \widetilde x_i'=\widetilde x_i(s_T),\ F_i'=F_{y_i}'.$ Применяя (8), выразим производную $\Phi'(\Gamma)$ через опорный функционал нормы $\Vert\cdot\Vert _{\Delta_T}$ в точке $z=z_T$ (см. (9)):

$$\Phi'(\Gamma,\widetilde \Gamma)=\sup_{T\in {\cal T}(\Gamma)... ...um\limits_{i=1}^n F_i'(y)x_i'\right\Vert _{\Delta_T}} \times$$

$$\times \left[ \frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i' \widehat x_i'... ...t( \sum\limits_{i=1}^n F_i'(y) \widetilde x_i'\right)\right].$$ (13)

Необходимое условие (11) экстремальности траектории $\Gamma$ сводится к справедливости неравенства

$$\sup_{T\in {\cal T}(\Gamma)} \sum_{i=1}^n r_i(s_T) \widetilde x_i'(s_T)\ge 0$$ (14)

для любой гладкой кривой (12). Поскольку норма $\Vert\cdot\Vert _{\Delta_T}$ дифференцируема по Гато, функции $r_i (s)$ непрерывны (см. теорему 2). Так как множество ${\cal T}(\Gamma)$ компактно, то ввиду (14) для любой $\widetilde \Gamma$ найдется точка $T=T_{\widetilde \Gamma}\in {\cal T}(\Gamma),$ для которой

$$\sum_{i=1}^n r_i(s_T) \widetilde x_i'(s_T)\ge 0.$$ (15)

Для каждого номера $i=1,\ldots,n$ найдется непрерывная на $[0,1]$ функция $q_i=q_i(s)$ такая, что

$$q_i(s)=0\ \ \mbox{при}\ \ x(s)\in {\cal T}(\Gamma)\ \ \mbox{и}\ \ \int\limits_0^1 [r_i(s)-q_i(s)]\ ds=0.$$ (16)

Положим

$$\widetilde x_i'=q_i(s)-r_i(s),\ \ \mbox{т.е.}\ \ \widetilde x_i=\int\limits_0^s [q_i(\tau)-r_i(\tau)]\ d\tau,$$ (17)

тогда $\widetilde x_i(0)= \widetilde x_i(1)=0$ и для $s_T$ таких, что $x(s_T)=T\in {\cal T}(\Gamma)$ имеем

$$\sum_{i=1}^n r_i(s_T) \widetilde x_i'(s_T)=-\sum_{i=1}^n r_i(s_T)^2.$$ (18)

Поэтому точка $T=x(s_T)\in {\cal T}(\Gamma),$ для которой выполняется неравенство (15), удовлетворяет условиям

$$r_i(s_T)=0\quad (i=1,\ldots,n).$$

Теорема доказана.

Следствие. Пусть $\Vert\cdot\Vert _{\Delta_T}$ есть норма пространства $L_p\ (1<p<\infty),\ F$ - дифференцируемая вещественная функция и $F_i=F_{y_i}'\in L_p.$ Если $\Gamma$ является решением задачи $(\ref{b3}),$ то существует точка $T=x(s_T)\in {\cal T}(\Gamma)$ такая, что

$$x_i'(s_T)=\vert x'(s_T)\vert^2 \int\limits_{\Delta_T} F_i'(... ...T(y)\vert^{p-1} \mathrm{sign}z_T(y)\ dy\quad (i=1,\ldots,n),$$

а в случае $p=2$

$$x_i'(s_T) \left\Vert \sum_{k=1}^n F_k'(y) x_k'(s_T)\right\... ..._{k=1}^n x_k'(s_T) \int\limits_{\Delta_T} F_i'(y) F_k'(y)\ dy$$

$$\hspace{6cm}(i=1,\ldots,n).$$

З а м е ч а н и е. Теорема 3 дает основу итерационного алгоритма поиска оптимальной траектории. Предположим, на некотором шаге найдена траектория $\Gamma \in \gamma,$ не являющаяся оптимальной. Тогда не существует точки $T\in {\cal T}(\Gamma),$ удовлетворяющей соотношениям (10). Построим функции $q_i\ (i=1,\ldots,n),$ обладающие свойствами (16), и в соответствии с (17) определим $\widetilde x=\{ x_i(s)\}_{i=1}^n.$ В силу (18), (13) и компактности множества ${\cal T}(\Gamma)$ выполняется неравенство $\Phi'(\Gamma,\widetilde \Gamma)<0$, а значит, при малых $\lambda\ (\lambda>0)$ получаем $\Phi(\Gamma+\lambda \widetilde \Gamma)<\Phi(\Gamma).$

Поступила 19.04.2000