2. Постановка задачи о наилучшей траектории

Рассмотрим класс $\gamma$ гладких кривых (траекторий)

$$\Gamma=\{x=x(s):\ 0\le s\le 1\} \subset Q,$$

заданных посредством дифференцируемых вектор-функций $x(s)=$
$=(x_1(s),\ldots,x_n(s))$ и соединяющих две фиксированные точки $x^0,\ x^1\in Q:\ x(0)=x^0,\ x(1)=x^1.$ Возможность решения задачи навигации определяется свойством информативности геофизического поля вдоль траектории. Пусть для функций, заданных на $\Delta_T=\Delta+T\ (T\in {\Bbb R}^n)$, определена некоторая норма $\Vert\cdot\Vert _{\Delta_T}.$ Свойство информативности поля $F$ можно характеризовать посредством функции (см. [2])

$$J(\tau)=J_{\Delta}(\tau,F,\Gamma)=\sup_{T,T-Y\in \Gamma} \{... ...ert F(y+Y)-F(y)\Vert _{\Delta_T}\le \tau \}\quad (\tau\ge 0),$$ (1)

где $\vert Y\vert=(\sum\limits_{i=1}^n \vert Y_i\vert^2)^{1/2}$ - евклидова длина вектора $Y=(Y_1,\ldots,Y_n).$ Функцию $J(\tau)$ будем называть модулем информативности поля на $\Gamma;$ она показывает, что $\Vert t_1-t_2\Vert\le J(\tau)$, если $\Vert\varphi _{t_1}-\varphi _{t_2}\Vert _{\Delta}\le \tau.$

В случае, когда $t\in \Gamma$, задача навигации сводится к следующей

$$\inf \left\{ \Vert F(x+T)-\varphi (x)\Vert _{\Delta}:\ T\in \Gamma \right\}.$$ (2)

Максимальная ошибка привязки, осуществленной посредством решения задачи (2), есть

$$\sup \{\vert t-T\vert:\ T\in \arg(2)\}.$$

Пусть при решении задачи (2) найдена некоторая точка $T\in \Gamma,$ тогда по определению (1) будет

$$\vert t-T\vert\le J(\Vert F(y+T)-\varphi (y)\Vert _{\Delta}).$$

Эта оценка показывает, что важно знать поведение модуля информативности в окрестности нуля, в частности, величину производной

$$J'(0)=J_{\Delta}'(0,F,\Gamma)=\lim_{\tau\to +0}\frac{J(\tau)-J(0)}{\tau}.$$

В данной работе приводятся необходимые условия на гладкую траекторию, доставляющую нижнюю грань

$$\inf \{ J_{\Delta}'(0,F,\Gamma):\ \Gamma\in \gamma\}.$$ (3)