3. Производная модуля информативности

В дальнейшем будем предполагать, что

- норма $\Vert\cdot\Vert _{\Delta_T}$ непрерывна по $T;$

- функция $F$ скалярная, дифференцируемая и ее частные производные $F_i'=\partial F/\partial x_i$ имеют равномерно ограниченную по $T\in Q$ норму $\Vert F_i'\Vert _{\Delta_T}\ (i=1,\ldots,n);$

- $J(\tau)\to 0$ при $\tau\to +0$ и, значит, ввиду компактности $Q,$ непрерывности функции $F$ и нормы $\Vert\cdot\Vert _{\Delta_T},$ будет $J(0)=0.$

Для $\tau>0$ найдутся $Y(\tau),\ T(\tau)$ экстремальные для (1), т.е.

$$\vert Y(\tau)\vert=J(\tau),\quad \tau=\Vert F(y+Y(\tau))-F(y)\Vert _{\Delta_{T(\tau)}}=$$

$$=\inf\{ \Vert F(y+Y(\tau))-F(y)\Vert _{\Delta_T}:\ T,\ T+Y\in \Gamma,\ \vert Y\vert=\vert Y(\tau)\vert\}.$$

Поэтому при $\tau>0$

$$\frac{J(\tau)-J(0)}{\tau}=\frac{J(\tau)}{\tau}=\frac{\vert ... ...u)\vert} {\Vert F(y+Y(\tau))-F(y)\Vert _{\Delta_{T(\tau)}}}=$$

$$=\left[ \inf_{T,T+Y\in \Gamma,\vert Y\vert=\vert Y(\tau)\ve... ...Vert F(y+Y)-F(y)\Vert _{\Delta_T}}{\vert Y\vert}\right]^{-1}.$$ (4)

В силу соотношения $J(\tau)\to 0\ (\tau\to 0)$ имеем $Y(\tau)\to 0\ (\tau\to 0).$ Перейдем к пределу в (4) при $\tau\to +0$:

$$J'(0)=\left[ \inf_{T\in \Gamma} \left\Vert \lim_{{T+Y\in \... ...+Y)-F(y)}{\vert Y\vert}\right\Vert _{\Delta_T}\right]^ {-1}.$$

Как легко видеть,

$$\lim_{{T+Y\in \Gamma \atop Y\to 0}} \frac{F(y+Y)-F(y)}{\vert Y\vert} =\frac{\partial F(y)}{\partial l_T}$$

есть производная от функции $F(y)$ в точке $y$ по направлению, задаваемому единичным касательным вектором $l_T$ к кривой $\Gamma$ в точке $T.$ Пусть $T=\{ x_i(s_T)\}_{i=1}^n\ (0\le s_T\le 1),$ тогда

$$l_T=\left\{ \frac{x_i'(s_T)}{\vert x'(s_T)\vert}\right\}^n... ...{\sum\limits_{i=1}^n F_i'(y) x_i'(s_T)}{\vert x'(s_T)\vert},$$

где $\vert x'(s_T)\vert=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n x_k'(s_T)^2},\ F_i'(y)=F_{y_i}',\ y=\{y_i\}_{i=1}^n.$ Итак,

$$J'(0)=\sup_{T\in \Gamma} \left\Vert \frac{\partial F(y)}{\p... ...um\limits_{i=1}^n F_i'(y) x_i'(s_T)\right\Vert _{\Delta_T}}.$$ (5)