next up previous
Next: 5 Построение множеств информационной Up: ANANIEV Previous: 3 Случайные информационные множества

4. Условные множества информационной надежности

Рассуждения предыдущего пункта показывают, что множества (3.10) в определенной мере дают представление о степени совместимости принадлежащих им элементов с проведенными измерениями $ y^t$. Эту степень можно в определенном смысле увеличить, если ввести более широкие, чем (3.10), множества.


О п р е д е л е н и е 4.1. Условным множеством информационной надежности назовем совокупность

$\displaystyle \widetilde{X}_t(y^t,\alpha )=\Bigl\{x\in
X:P\{ x\in X_t(y^t,\xi^t)\}\ge
$

$\displaystyle \ge \alpha P\{y_t\in g(\mathcal{H}_t(y^{t-1},\xi^t),\xi_t)\}\Bigr\},$ (4.1)

где $ \alpha \in [0,1]$ и вероятность подсчитывается согласно безусловному распределению вектора $ \xi^t$ при зафиксированных элементах $ x$ и $ y^t$.


Ясно, что выполняется включение

$\displaystyle \overline{X}_t(y^t,\alpha )\subseteq\widetilde{X}_t(y^t,\alpha ).$ (4.2)

Поэтому, если $ x\in \overline{X}_t(y^t,\alpha )$, то всегда $ x\in \widetilde{X}_t(y^t,\alpha _1)$, где $ \alpha _1>\alpha $, в том случае, когда параметр $ \alpha $ в (4.1) умножается на ненулевую вероятность. Обсудим новое понятие на примерах предыдущего пункта.


П р и м е р 4.2. Рассмотрим систему примера 3.7. Имеем равенство

$\displaystyle \{\xi_1:y_1\in
g(\mathcal{H}_1(\xi_1),\xi_1)\}=\{\xi_1:y_1-1<\xi_1<y_1+1\},$

и вероятность данного события равна $ F(1+y_1)-F(y_1-1+0)$. Следовательно,

$\displaystyle \widetilde{X}_1(y_1,\alpha )=\{x:F(y_1-x+1-\vert x\vert)- F(y_1-x-1+\vert x\vert+0)\ge$    
$\displaystyle \ge\alpha (F(y_1+1)-F(y_1-1+0))\}.$    

В частном случае, когда величина $ \xi_1$ принимает два значения $ -1$ и $ 1$ с равной вероятностью $ 1/2$, имеем $ \widetilde{X}_1(y_1,\alpha )=\overline{X}_1(y_1,\alpha /2)$. Данные равенства имеют место при $ 0<\alpha \le 1$. Таким образом, в этом частном случае условные множества информационной надежности не пусты при всех $ \alpha $.


П р и м е р 4.3. Для системы примера 3.8 получаем равенство

$\displaystyle \{\eta_1:y_1\in
g(\mathcal{H}_1(\eta_1),\eta_1)\}=\{\eta_1:y_1-\delta <\eta_1<y_1+\delta \},$

и вероятность этого события равна $ G(y_1+\delta )-G(y_1-\delta +0)$. Здесь, по-прежнему, все множества $ \widetilde{X}_1(y_1,\alpha )$ будут пустыми, если хотя бы одна из функций $ F(x)$ или $ G(x)$ будет непрерывной. В случае, когда величины $ \xi_1,\eta_1$ независимо принимают два значения $ -1$ и $ 1$ с равной вероятностью $ 1/2$, имеем $ \widetilde{X}_1(y_1,\alpha )=\overline{X}_1(y_1,\alpha /2)$. Эти множества не пусты при
$ 0<\alpha \le 1/2$.


П р и м е р 4.4. Рассмотрим систему примера 3.9 с предположениями (3.12). Тогда

$\displaystyle \{\xi^t:y_t\in
g(\mathcal{H}_t(y^{t-1},\xi^t),\xi_t)\}=\{\xi^t:\kappa _t(y^t,\xi^t)+\inf_{v_t\in
V}h(v_t)<1\}. $

Следовательно,

$\displaystyle \widetilde{X}_t(y^t,\alpha )=\Bigl\{x\in
X:P\{h(\overline{f}(x,\o...
..._t,\xi_t)))<1-\kappa _t\}\ge \alpha
P\{\kappa _t<1-\inf_{v\in V}h(v)\}\Bigr\}.$

Вероятность в левой части неравенства, определяющего данное множество, уже подсчитана в примере 3.9. Распределение величины $ \kappa _2$ есть мера $ p_{\kappa }(d\kappa _2\vert y^2)=\int\limits_{\Xi}p_h(\Xi
d\kappa _2\vert\xi_1,y^2) P_{\Xi}(d\xi_1)$. Тогда распределение величины $ \kappa _t$ при заданном $ \kappa _{t-1},\;t\ge 2$, имеет вид $ p_{\kappa }(d\kappa _t-\kappa _{t-1}\vert y_{t-1}^t)$. Отсюда получаем

$\displaystyle P\{\kappa _t<1-\inf_{v\in V}h(v)\}=\int\limits_{R_+}\ldots \int\l...
...\kappa _t:\kappa _t+\kappa _{t-1}<1-\inf_{v\in V}h(v)\}\vert y_{t-1}^t)\,\times$    
$\displaystyle \times \,p_{\kappa }(d\kappa _{t-1}-\kappa _{t-2}\vert y_{t-2}^{t-1}) \ldots p_{\kappa }(d\kappa _2\vert y^2).$    

Для небольшого числа шагов данная вероятность может быть подсчитана заранее.


next up previous
Next: 5 Построение множеств информационной Up: ANANIEV Previous: 3 Случайные информационные множества
2003-06-05