4. Условные множества информационной надежности

Рассуждения предыдущего пункта показывают, что множества (3.10) в определенной мере дают представление о степени совместимости принадлежащих им элементов с проведенными измерениями $y^t$. Эту степень можно в определенном смысле увеличить, если ввести более широкие, чем (3.10), множества.

О п р е д е л е н и е 4.1. Условным множеством информационной надежности назовем совокупность

$$\widetilde{X}_t(y^t,\alpha )=\Bigl\{x\in X:P\{ x\in X_t(y^t,\xi^t)\}\ge$$

$$\ge \alpha P\{y_t\in g(\mathcal{H}_t(y^{t-1},\xi^t),\xi_t)\}\Bigr\},$$ (4.1)

где $\alpha \in [0,1]$ и вероятность подсчитывается согласно безусловному распределению вектора $\xi^t$ при зафиксированных элементах $x$ и $y^t$.

Ясно, что выполняется включение

$$\overline{X}_t(y^t,\alpha )\subseteq\widetilde{X}_t(y^t,\alpha ).$$ (4.2)

Поэтому, если $x\in \overline{X}_t(y^t,\alpha )$, то всегда $x\in \widetilde{X}_t(y^t,\alpha _1)$, где $\alpha _1>\alpha$, в том случае, когда параметр $\alpha$ в (4.1) умножается на ненулевую вероятность. Обсудим новое понятие на примерах предыдущего пункта.

П р и м е р 4.2. Рассмотрим систему примера 3.7. Имеем равенство

$$\{\xi_1:y_1\in g(\mathcal{H}_1(\xi_1),\xi_1)\}=\{\xi_1:y_1-1<\xi_1<y_1+1\},$$

и вероятность данного события равна $F(1+y_1)-F(y_1-1+0)$. Следовательно,

$$\widetilde{X}_1(y_1,\alpha )=\{x:F(y_1-x+1-\vert x\vert)- F(y_1-x-1+\vert x\vert+0)\ge$$

$$\ge\alpha (F(y_1+1)-F(y_1-1+0))\}.$$

В частном случае, когда величина $\xi_1$ принимает два значения $-1$ и $1$ с равной вероятностью $1/2$, имеем $\widetilde{X}_1(y_1,\alpha )=\overline{X}_1(y_1,\alpha /2)$. Данные равенства имеют место при $0<\alpha \le 1$. Таким образом, в этом частном случае условные множества информационной надежности не пусты при всех $\alpha$.

П р и м е р 4.3. Для системы примера 3.8 получаем равенство

$$\{\eta_1:y_1\in g(\mathcal{H}_1(\eta_1),\eta_1)\}=\{\eta_1:y_1-\delta <\eta_1<y_1+\delta \},$$

и вероятность этого события равна $G(y_1+\delta )-G(y_1-\delta +0)$. Здесь, по-прежнему, все множества $\widetilde{X}_1(y_1,\alpha )$ будут пустыми, если хотя бы одна из функций $F(x)$ или $G(x)$ будет непрерывной. В случае, когда величины $\xi_1,\eta_1$ независимо принимают два значения $-1$ и $1$ с равной вероятностью $1/2$, имеем $\widetilde{X}_1(y_1,\alpha )=\overline{X}_1(y_1,\alpha /2)$. Эти множества не пусты при
$0<\alpha \le 1/2$.

П р и м е р 4.4. Рассмотрим систему примера 3.9 с предположениями (3.12). Тогда

$$\{\xi^t:y_t\in g(\mathcal{H}_t(y^{t-1},\xi^t),\xi_t)\}=\{\xi^t:\kappa _t(y^t,\xi^t)+\inf_{v_t\in V}h(v_t)<1\}.$$

Следовательно,

$$\widetilde{X}_t(y^t,\alpha )=\Bigl\{x\in X:P\{h(\overline{f}(x,\o... ..._t,\xi_t)))<1-\kappa _t\}\ge \alpha P\{\kappa _t<1-\inf_{v\in V}h(v)\}\Bigr\}.$$

Вероятность в левой части неравенства, определяющего данное множество, уже подсчитана в примере 3.9. Распределение величины $\kappa _2$ есть мера $p_{\kappa }(d\kappa _2\vert y^2)=\int\limits_{\Xi}p_h(\Xi d\kappa _2\vert\xi_1,y^2) P_{\Xi}(d\xi_1)$. Тогда распределение величины $\kappa _t$ при заданном $\kappa _{t-1},\;t\ge 2$, имеет вид $p_{\kappa }(d\kappa _t-\kappa _{t-1}\vert y_{t-1}^t)$. Отсюда получаем

$$P\{\kappa _t<1-\inf_{v\in V}h(v)\}=\int\limits_{R_+}\ldots \int\l... ...\kappa _t:\kappa _t+\kappa _{t-1}<1-\inf_{v\in V}h(v)\}\vert y_{t-1}^t)\,\times$$

$$\times \,p_{\kappa }(d\kappa _{t-1}-\kappa _{t-2}\vert y_{t-2}^{t-1}) \ldots p_{\kappa }(d\kappa _2\vert y^2).$$

Для небольшого числа шагов данная вероятность может быть подсчитана заранее.