3. Билинейные динамические системы

Рассмотрим дифференциальное включение

$$\dot x\in {\cal A}(t)x+P(t),\ \ \ \ x(t_0)=x_0\in X_0,$$ (3.1)

при ограничениях

$$x(t)\in Y(t),\ \ \ \ t_0\leq t\leq t_1,$$

где правая часть ${\cal F}(t,x)={\cal A}(t)x+P(t)$ является билинейной функцией относительно пары переменных, фазового вектора $x$ и многозначного отображения $\cal A$.

Предположим, что отображение ${\cal A}(\cdot )$ непрерывно на $[t_0,t_1]$, со значениями во множестве $\mbox{Conv\,} \Re ^n$ выпуклых и компактных подмножеств пространства $\Re ^n$ всех $n\times n$-матриц.

Включение (3.1) моделирует неопределенную динамическую систему с априори неизвестной матрицей, для которой дано лишь описание в терминах включений: $A(t)\in {\cal A}(t)$, $h(t)\in P(t)$ и $x_0\in X_0$ [13].

Нетрудно показать, что множества ${\cal X}[t]={\cal X }(t,t_0,X_0)$ (а также $X[t] = X(t,t_0,X_0)$ ) могут оказаться невыпуклыми для таких "почти линейных"
дифференциальных систем (см. примеры в [8]). Однако при подходящих предположениях эти множества обладают другими геометрическими характеристиками.

Напомним следующее определение.

Определение 3.1   Множество $Z\subseteq {\Bbb R}^n$ называется звездным (с центром $c$), если $c+\lambda (Z-c) \subseteq Z$ для всех $\lambda \in [0,1]$.

Множество всех звездных компактных подмножеств $Z\subseteq {\Bbb R}^n$ с центром $c$ обозначим символом $\mbox{St} (c,{\Bbb R}^n)$ и с центром в начале координат $0\in {\Bbb R}^n$ - символом $\mathrm{St} ({\Bbb R}^n)$, $S=\{x \in {\Bbb R}^n : \vert\vert x\vert\vert \leq 1 \}$.

Предположение 3.1  

(i) При всех $t\in [t_0,t_1]$ справедливо включение $0\in P(t)$.

(ii) Существует $\epsilon >0$ такое, что

$$\epsilon S\subseteq Y(t)\ \ \ \ \forall t\in [t_0,t_1].$$

(iii) Верно включение $0 \in X_0$.

Справедливо следующее свойство [13].

Теорема 3.1   В предположении 3.1 $t$-сечения ${\cal X}[t]$, $X[t]$ являются
звездными и компактными множествами при всех $t\in T$ (${\cal X}[t]$, $X[t] \in \mathrm{St}({\Bbb R}^n)).$

Для рассматриваемой билинейной системы можно уточнить формулировки теорем 2.1, 2.2 предыдущего раздела.

Введем предварительно обозначение:

$${\cal M}\ast X=\{z\in {\Bbb R}^n:\ z=Mx,\ M\in {\cal M},\ x\in X\},$$

где ${\cal M}\in \mbox{Conv\,} \Re ^n$, $X\in \mbox{Conv\,} {\Bbb R}^n$.

Тогда эволюционное уравнение, описывающее динамику звездных траекторных трубок, приобретает вид, указанный ниже.

Теорема 3.2   Выживающая трубка $X[t] = X(t,t_0,X_0)$ билинейного дифференциального включения (3.1) является единственным решением эволюционного уравнения

$$\lim_{\sigma \rightarrow +0}\sigma ^{-1}h(X[t+\sigma ],((I+\sigma {\cal A}(t))\ast X[t]+\sigma P(t)) \bigcap Y(t+\sigma ))=0$$ (3.2)

с начальным условием

$$X[t_0]=X_0,\ \ \ \ t_0\leq t\leq t_1.$$