2. Эволюция многозначных состояний

Здесь мы дадим точные формулировки и напомним некоторые известные результаты, необходимые в дальнейшем.

Изложение основывается на понятиях непрерывности и измеримости многозначных функций (см., например, [5]).

Символом $\mbox{Conv\,} {\Bbb R}^{n}$ будем обозначать множество всех непустых выпуклых компактных подмножеств конечномерного евклидова пространства ${\Bbb R}^n$ и символом $\mbox{Comp\,} {\Bbb R}^{n}$ - множество всех непустых компактных подмножеств ${\Bbb R}^n$.

Рассмотрим дифференциальное включение (1.1), где $x\in {\Bbb R}^n$, правая часть $\cal F$ есть непрерывная многозначная функция ( ${\cal F}:[t_0,t_1]\times {\Bbb R}^{n}\rightarrow \mbox{Conv\,} {\Bbb R}^{n}$), удовлетворяющая условию Липшица с константой $L>0$, а именно,

$$h({\cal F}(t,x),{\cal F}(t,y))\leq L\parallel x-y\parallel \ \ \ \ \forall x,y\in {\Bbb R}^n.$$

Здесь $h(A,B)$ - расстояние Хаусдорфа между множествами $A,B \subseteq {\Bbb R}^n$:

$$h(A,B)=\max \ \{h^+ (A,B),\ h^- (A,B)\},$$

где $h^+ (A,B), h^- (A,B)$ - соответствующие полурасстояния Хаусдорфа между $A,B$,

$$h^+(A,B)=\sup \{d(x,B)\mid x\in A\}, h^- (A,B)= h^+ (B,A),$$

$$d(x,A)=\inf\ \{\parallel x-y\parallel \mid y\in A\}.$$

Пусть дано $X_0\in \mbox{Comp\,} {\Bbb R}^n$. Обозначим $x[t]=x(t,t_0,x_0)$ ( $t\in T=[t_0,t_1]$) траекторию (решение в смысле Каратеодори) дифференциального включения (1.1), исходящую из начальной точки $x[t_0]=x_0\in X_0$.

Напомним, что решение в смысле Каратеодори на интервале $T$ есть абсолютно непрерывная функция $x[t]\ \ (t\in T)$, удовлетворяющая включению

$${d\over dt}\ x[t]=\dot x[t]\in {\cal F}(t,x[t])$$ (2.1)

при почти всех $t\in T$.

Будем считать, что все решения $\{x[t]=x(t,t_0,x_0) \mid x_0\in X_0\}$ продолжимы до момента $t_1$ (например, предположим, что выполнено известное условие продолжимости [7]).

Пусть многозначное отображение $Y(t)$ непрерывно, ( $Y:T\rightarrow \mbox{Conv\,} {\Bbb R}^{n})$, $X_0\subseteq Y(t_0)$.

Напомним следующее определение [2,13].

Определение 2.1   Траектория $x[t]=x(t,t_0,x_0)\ (x_0\in X_0,\ t\in T)$ дифференциального включения (2.1) называется выживающей на $[t_0,\tau ]$, если

$$x[t]\in Y(t)\ \ \ \mbox{при всех}\ \ t\in [t_0,\tau ].$$ (2.2)

Предположим, что существует по крайней мере одно решение $x^{*} [t]=x^{*}(t,t_0,x_0^{*})$ включения (2.1) (с начальной точкой $x^{*}[t_{0}]= x_0^{*}\in X_0$), удовлетворяющее требованию выживаемости (2.2) при $\tau =t_1$.

Обозначим ${\cal X} (\cdot ,t_0,X_0)$ множество всех решений включения (2.1), исходящих из всего начального множества $X_0$. Пусть ${\cal X}[t]={\cal X }(t,t_0,X_0)$ означает его $t$-сечение в момент времени $t$.

Подмножество из ${\cal X} (\cdot ,t_0,X_0)$, состоящее из всех решений (2.1), выживающих на $[t_0,\tau ]$, будет обозначаться как $X (\,\cdot\, ,\tau ,t_0,X_0)$, а его $s$-сечения - как $X (s ,\tau ,t_0,X_0)$, $s\in [t_0,\tau]$. Для краткости записи будем использовать символ $X[\tau ]$ для этих временных сечений в момент $\tau$:

$$X[\tau ]=X (\tau ,t_0,X_0)=X (\tau ,\tau ,t_0,X_0)$$

Известно, что обе многозначные функции ${\cal X} (t,t_0,X_0)$, $X (t,t_0,X_0)$,

$${\cal X}:T\times T\times \mbox{Comp\,} {\Bbb R}^{n}\rightarrow \mbox{Comp\,} {\Bbb R}^{n},$$

$$X:T\times T\times \mbox{Comp\,} {\Bbb R}^{n}\rightarrow \mbox{Comp\,} {\Bbb R}^{n},$$

удовлетворяют свойству полугруппы:

$${\cal X} (t,\tau ,{\cal X} (\tau ,t_0,X_0)) = {\cal X} (t,t_0,X_0),\ \ \ \ t_0\leq \tau \leq t\leq t_1,$$

$$X (t,\tau ,X (\tau ,t_0,X_0)) = X (t,t_0,X_0),\ \ \ \ t_0\leq \tau \leq t\leq t_1,$$

и, следовательно, каждая из них определяет соответствующую обобщенную динамическую систему с многозначными траекториями [4,17,13]. Многозначные функции ${\cal X}[t]$ и $X[t]$ ( $t\in T$) будут называться, соответственно, траекторной трубкой и выживающей траекторной трубкой (или выживающей трубкой). Данные понятия можно трактовать как многозначные аналоги классических (однозначных) траекторий систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Один из подходов к описанию динамики многозначных состояний
неопределенных динамических систем основан на понятии эволюционного уравнения, которое получило название уравнения интегральной воронки [11,13,15,8]. Напомним кратко основную конструкцию указанного эволюционного соотношения, приведенного в отмеченных работах, где также сформулированы достаточные условия, при которых оно выполняется.

Рассмотрим "уравнение":

$$\lim_{\sigma \rightarrow +0}\sigma ^{-1}h({\cal X}[t+\sigma ... ...} (x+\sigma {\cal F}(t,x)) ) = 0, \ \ \ \ t \in T = [t_0, t_1]$$ (2.3)

с "начальным условием":

$${\cal X}[t_0]=X_0.$$ (2.4)

Заметим, что это уравнение превращается в обыкновенное дифференциальное, как только пропадает неопределенность в системе, когда
${\cal F}(t,x) = \{f(t,x)\}$ и ${\cal X}[t]= \{x[t]\}$ ($X_0 = \{x_0\}$) являются однозначными функциями.

Теорема 2.1   Многозначная функция ${\cal X}[t]\!\!\!\!\!=\!\!\!\!\!{\cal X}(t,t_0,X_0)$ является
единственным многозначным решением эволюционного уравнения (2.3)-(2.4).

Другой вариант уравнения интегральной воронки (2.3) использует
Хаусдорфово полурасстояние $h^+$ [14]. При этом для такого рода уравнений теряется свойство единственности многозначных решений, и в качестве "компенсации" приходится рассматривать понятие максимального по включению решения.

Приведем еще один вариант эволюционного уравнения, описывающего динамику выживающих трубок $X[t] = X(t,t_0,X_0)$:

$$\lim_{\sigma \rightarrow +0}\sigma ^{-1}h \left(X[t+\sigma ]... ... X[t]} (x+\sigma {\cal F}(t,x)) \bigcap Y(t+\sigma )\right)=0,$$ (2.5)

$$X[t_0]=X_0 \ \ \ \ (t_0 \leq t \leq t_1).$$ (2.6)

Следующая теорема доказана в [13,8] при достаточно жестких предположениях относительно функций ${\cal F}(t,x)$ и $Y(t)$, включающих, однако, рассматриваемый билинейный случай.

Теорема 2.2   Многозначная функция $X[t] = X(t,t_0,X_0)$ есть единственное решение уравнения (2.5)-(2.6).

Отметим, что соответствующие аналоги последнего уравнения в терминах полурасстояний $h^+$ и $h^-$ можно найти в [15,14].