1 Введение

В теории гарантированного управления и оценивания в условиях неопределенности рассматриваются динамические системы, эволюция которых может зависеть не только от текущего фазового состояния объекта, но и от неопределенных возмущений или ошибок моделирования. Среди огромного числа публикаций, посвященных различным аспектам теории неопределенных динамических систем, отметим исследования [2,3,4,6,9,10,11,12,13,18,22], в рамках проблематики которых находятся и постановки задач данной работы.

Предполагается, что неопределенные факторы в математической модели динамической системы не имеют вероятностного описания, а известны лишь с точностью до множеств, их содержащих. В качестве модели динамики систем такого рода может быть взято дифференциальное
включение [13]

$$\dot x\in {\cal F}(t,x), x\in {\Bbb R}^n,$$ (1.1)

с неизвестным, но также ограниченным начальным состоянием $x(t_0)$:

$$x(t_0)=x^0, x^0\in X^0.$$ (1.2)

В задачах оценивания состояний неопределенных систем по результатам текущих измерений обычно предполагается заданным так называемое уравнение измерения:

$$y(t)=g(t,x,\xi(t)),$$ (1.3)

где функция $\xi(t)$ является неизвестной помехой ("шумом") измерения с априори известными ограничениями.

Последнее соотношение можно записать в виде включения (условия выживаемости) ([2,3])

$$x(t)\in Y(t),$$ (1.4)

где $Y(t)$ - заданная многозначная функция.

Одним из основных вопросов теории управления - оценивания в условиях неопределенности является проблема нахождения информационных множеств неопределенных динамических систем [11], или, в терминах теории дифференциальных включений, множеств всех решений $x[t]=$
$x(t,t_0,x^0)$ системы (1.1)-(1.2), а также подмножеств указанного семейства, состоящих из всех траекторий $x[t]=x(t,t_0,x^0)$, удовлетворяющих дополнительному условию выживаемости (1.4).

Таким образом, задача гарантированного оценивания состоит в описании множества

$$X[\cdot] = \bigcup \{x[\cdot]=x(\cdot,t_0,x^0)\}$$

решений системы (1.1)-(1.4) (траекторного пучка) и соответствующих сечений в момент времени $t$ ($t$-сечений) $X[t]$ этого множества,

$$X[t]=\bigcup \{x : x=x[t]=x(t,t_0,x^0),\ x(\cdot, t_0,x^0) \in X[\cdot]\},$$

совпадающего с множеством достижимости в момент $t$ (информационным множеством) рассматриваемой неопределенной системы. Отметим, что множество $X[t]$ можно трактовать как неулучшаемую многозначную оценку неизвестного состояния $x(t)$ системы (1.1)-(1.4).

Трубки решений $X[t]$, полученные с учетом условия (1.4), называются трубками выживающих траекторий, или просто выживающими трубками траекторий дифференциального включения. Проблемы существования выживающих траекторий рассматривались в теории дифференциальных включений [2], другие аспекты проблемы выживаемости (в том числе построение выживающих трубок, анализ их свойств) изучались также в несколько иной постановке в теории дифференциальных игр [9,10]. Данная работа продолжает исследования [11,13,15,14], посвященные анализу многозначной динамики систем, функционирующих в условиях неопределенности. Основная проблема, рассмотренная здесь, касается описания траекторных трубок дифференциальных включений билинейного типа, для которых $t$-сечения $X[t]$ траекторных трубок $X[\cdot]$ являются звездными множествами. Отметим, что звездные множества, вообще говоря, невыпуклы, поэтому техника опорных функций выпуклого анализа, характерная для исследования линейных неопределенных систем, здесь неприменима, и для описания траекторных трубок и их аппроксимаций выбран аппарат функций Минковского.