Б. М. Наймарк, А. Т. Исмаил-заде, А. И. Короткий, А. П. Суетов, И. А. Цепелев
Рассматривается трехмерная гидродинамическая модель формирования осадочных бассейнов, описываемая квазистационарными уравнениями движения вязкой несжимаемой жидкости. Физические параметры жидкости считаются переменными и задаются в начальный момент времени, в процессе движения их значения переносятся вместе со средой. Численный метод решения задачи основан на введении векторного потенциала для скорости движения среды и применении метода Галеркина со специальным базисом из трикубических сплайнов. Наличие некоторых геометрических симметрий в задаче позволило разбить ее на несколько независимых подзадач и использовать параллельные методы их решения. Математические и вычислительные аспекты построения и использования симметрий обсуждаются в последних параграфах.
Введение
Одной из важнейших задач современной геодинамики является выяснение механизмов образования осадочных бассейнов различного типа. Постоянное внимание многих ученых к этой проблеме обусловлено, помимо ее большой научной значимости, соображениями прикладного характера, так как с осадочными бассейнами связаны основные нефтегазовые запасы Земли.
Наиболее распространена модель образования осадочных бассейнов, в которой происходит растяжение среды, связанное с поднятием горячих нижних слоев и их последующим охлаждением [1]. Имеются также различные модификации этой модели с добавлением неоднородного по глубине растяжения литосферы [2, 3, 4], схемы сдвига, реализуемого по разлому [5, 6], комбинации сдвига различных типов [7, 8, 9] и другие. Такие модели не всегда могут объяснить расхождения между предсказанными и наблюдаемыми величинами растяжения коры, уменьшения ее толщины и ее прогиба.
Была предложена альтернативная модель, основанная на образовании утяжеленных эклогитовых тел на глубинах порядка 100 км [10], которая затем обобщалась на случаи разрывных параметров среды, плотности [11] и вязкости [12] и успешно применялась для моделирования ряда осадочных бассейнов. Предложенный там механизм заключается в погружении тяжелых тел (эклогитовых линз) в астеносфере, образовавшихся путем фильтрации базальтового расплава, его накопления в астеносферном выступе и последующего фазового перехода (типа базальт - эклогит). Погружение образовавшихся таким образом тяжелых тел вызывает прогиб земной поверхности, что и приводит к образованию осадочного бассейна. Процесс образования осадочного бассейна можно представить себе как результат погружения некоторого тела в очень вязкой жидкости. При разработке модели использовались упрощающие предположения. Некоторые из них состояли в следующем: не учитывались процессы эрозии и осадконакопления; модель считалась чисто механической и не учитывала тепловые эффекты; в модели была принята ньютоновская реология. К сожалению, альтернативная модель была двумерной и поэтому не могла учитывать сложных конфигураций, присущих многим осадочным бассейнам.
В данной работе рассматривается трехмерная модель. Используются классические уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. Кривизной земной поверхности мы пренебрегаем и используем прямоугольные декартовы координаты. Мы пренебрегаем также инерционными членами в уравнении движения, поскольку в задачах геодинамики числа Рейнольдса и скорости очень малы. Физические параметры жидкости считаются переменными и задаются в начальный момент времени. Значения плотности и вязкости переносятся средой.
Численное решение задачи основано на введении векторного потенциала для скорости движения среды (это избавляет от условия несжимаемости и давления в уравнениях движения) и его аппроксимации трикубическими сплайнами. Аппроксимация находится методом Галеркина, плотность и вязкость определяются из соответствующих уравнений с частными производными первого порядка или в результате решения некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений (нахождение характеристик и снос значений вдоль них). Численное решение подобных задач довольно трудно из-за большой размерности соответствующей системы линейных уравнений. Существенных продвижений здесь удалось достигнуть благодаря использованию специальных базисных элементов и некоторых симметрий основной краевой задачи. Это позволило разбить задачу на несколько независимых подзадач и решать их параллельно. В параграфе 1 содержится основной материал работы. Проблема нахождения и использования симметрий для разбиения задач на подзадачи обсуждается в параграфе 2 с общих позиций, и полученные там результаты используются в параграфе 3 в рамках предложенной модели.