1. Вспомогательные утверждения

Пусть , m - целое неотрицательное. Через будем обозначать функции вида , где - одна из ветвей многозначной функции - одна из ветвей многозначной функции - полином степени m. Число будем называть порядком функции . В случаях, когда нет необходимости следить за значением индекса m, второй индекс у введенных функций будем опускать.

Лемма 1.1. Для любой функции существует функция
такая, что

При этом p=q, если не является корнем определяющего уравнения (0.9); p=q+i, если является i-кратным корнем определяющего уравнения .

Доказательство леммы легко вытекает из соотношения





и того, что для любых (максимальная кратность корня определяющего уравнения равна 2).

З а м е ч а н и е 1.1. Если , то функция определяется уравнением (1.1) однозначно. В противном случае она имеет вид

где i - кратность корня (i=1,2), полином определяется уравнением (1.1) однозначно и значение t=0 является i-кратным корнем полинома - произвольные постоянные.

Множество асимптотических при рядов вида

где - целое, , будем обозначать через . Фиксировав некоторое , выделим подмножество асимптотических рядов , старшие члены которых имеют порядок . Наряду с Y(x) будем использовать для элементов множеств обозначения . Иногда, если это не будет вызывать недоразумений, мы будем писать просто вместо .

В дальнейшем мы будем иметь дело с классами такими, что , где - корни определяющего уравнения (0.9), m - целое неотрицательное. Иногда будет удобно использовать некоторое специальное представление для ряда выделяя в нем слагаемые, являющиеся решениями однородного уравнения , т.е. записывая ряд Y(x) в виде

Здесь через обозначен такой асимптотический ряд, у которого все слагаемые порядков имеют множители вида где для для При этом, вообще говоря, ряд , где .

В классе рядов будем рассматривать уравнение , понимая под решением этого уравнения при . Нетрудно показать, что для любого и любого ряда существует множество рядов являющихся уравнения при . Для построения таких достаточно воспользоваться утверждением леммы 1.1. Из замечания 1.1 следует, что при , где m - целое неотрицательное, множество бесконечно, но справедлива

Лемма 1.2 первая лемма единственности. Пусть
, ряд , где , а ряды и являются уравнения при . Если в специальных представлениях (1.3) этих рядов для всех входящих в это представление слагаемых, то

Рассмотрим однородное уравнение Фиксируем линейно независимые решения этого уравнения, удовлетворяющие одному из условий (0.7), (0.8). Нетрудно проверить (см., например, [10], гл. V), что для выбранной ФСР имеют место соотношения

1) Для уравнений первого типа

где

при всех значениях коэффициента ;

где ряды ряды те же, что и в соотношениях (1.4), - некоторые постоянные.

2) Для уравнений второго типа

где



где ряды ряды определены соотношением (1.6), - некоторые константы.

Нетрудно привести и более конкретный вид рядов , соответствующих большему корню определяющего уравнения (0.9):

Здесь - целое неотрицательное,

З а м е ч а н и е 1.2. Если ряд и является при уравнения , то он имеет вид

где асимптотический ряд определяется рассматриваемым уравнением однозначно, а - некоторые постоянные.

2. Через всюду в дальнейшем будем обозначать , где параметр , область и ветвь многозначной функции определены во введении.

Множество асимптотических при рядов вида

где , будем обозначать через Фиксировав некоторое , выделим подмножество асимптотических рядов, старшие члены которых имеют порядок . Наряду с будем использовать для элементов множества обозначения , .

Пусть , где , - целое неотрицательное. Легко проверить, что специальное представление вида (1.3), т.е. представление, в котором выделены слагаемые, являющиеся решениями однородного уравнения принимает вид

Через здесь обозначен ряд, у которого все слагаемые порядка (j=1,2) имеют множители вида , где для для . При этом, вообще говоря, ряд , где

Обозначим В классе рядов будем рассматривать уравнение , понимая под решением этого уравнения при соответственно. Нетрудно проверить, что для любого ряда существует множество рядов являющихся уравнения при Для построения таких достаточно воспользоваться утверждением леммы 1.1. Из замечания 1.1 следует, что при , где m - целое неотрицательное, множество бесконечно, но справедлива

Лемма 1.3 вторая лемма единственности. Пусть ряд
, где а ряды и являются при одного и того же уравнения . Если в представлениях (1.10) этих рядов для всех входящих в это представление слагаемых, то

Рассмотрим однородное уравнение в областях соответственно. Нетрудно проверить, что решением этого уравнения является функция где
- решение уравнения Бесселя. Положим

где - модифицированные функции Бесселя. Функции являются линейно независимыми решениями уравнения и для них справедливы асимптотические представления вида

При этом (см., например, [11]) для , где - целое неотрицательное, ряды имеют вид

а для ряд имеет вид

а ряд по-прежнему имеет вид (1.13).

З а м е ч а н и е 1.3. Если ряд и является при уравнения то он имеет вид

где ряд и определяется рассматриваемым уравнением однозначно, - ряды (1.12), а - некоторые константы.