Некоторые свойства $\omega \in \Omega$

Пусть ${\cal G}_0^{(*)}$ -- алгебра всех множеств $H$, $H \subset {\bf I}$, измеримых по Жордану относительно (счетно-аддитивной) меры $l_0$, продолжающей $l$ на алгебру $\cal A$ подмножеств ${\bf I}$, порожденную ${\cal I}$. Тогда для множеств из ${\cal G}_0^{(*)}$ имеет место совпадение, при $\omega \in \Omega$, значений меры Лебега и $\omega$. Как следствие, для канторового дисконтинуума $P_0$: $\omega(P_0)=0$.

Если $\omega \in \Omega$ и $(x_i)_{i \in {\cal N}}$ -- сходящаяся последовательность в ${\bf I}$, то $\omega (\{x_i: i \in {\cal N}\})=0$.

Вместе с тем, для непрерывных функций $f: {\bf I}\to {\bold R}$ имеет место $\forall \omega \in \Omega$:

$$\int\limits_{{\bf I}} f \, d\omega=(R)\int\limits_0^1 f(t)\,dt,$$

где слева используется простейший интеграл по к.-а. мере , а справа -- интеграл Римана.