Свойства множества $\Omega$

ТЕОРЕМА 1. Множество $\Omega$ есть непустой выпуклый компакт в $*$-слабой топологии пространства всех ограниченных к.-а. мер на ${\cal J}$.
ТЕОРЕМА 2. Множество $\Omega$ содержит подмножество мощности континуума.
ТЕОРЕМА 3. Множество $\Omega$ состоит только из неатомических к.-а. мер: если $\mu \in \Omega$, $E \in {\cal J}$ и $\mu(E) > 0$, то

$$\exists A \in {\cal J}:(A \subset E) \ \& \ (\mu(A) \in ]0,\mu(E)[).$$

Предложение. Если $\omega \in \Omega$, то образ ${\cal J}$ при отображении $\omega$ есть отрезок ${\bf I}$: $\{\omega(H): H \in {\cal J}\}=[0,1].$

Замечание. Всякий элемент множества $\Omega$ является чисто к.-а. мерой, не обладающей свойством "ограниченной инвариантности". Именно, если $\omega \in \Omega$ и $c \in ]0,1]$, то можно указать множество $S \in {\cal J}$ и число $\alpha \in {\bf I}$ со свойством $S_\alpha \stackrel{\triangle}{=} \{s+\alpha: s \in S\} \in {\cal J}$, для которых $(\omega(S)=c) \ \& \ (\omega(S_\alpha)=0)$.